数学几何必会定理

1 1 勾股定理 毕达哥拉斯定理 勾股定理 毕达哥拉斯定理 2 2 射影定理 欧几里得定理 射影定理 欧几里得定理 在 Rt ABC 中 ACB 90 cd 是斜边 ab 上的高 则有射影定理如下 CD2 AD DB BC2 BD BA AC2 AD AB AC BC AB CD 等积式 可用面积来证明 3 三角形的三条中线交于一点 并且 各中线被这个点分成 2 1 的两部分 4 四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5 间隔的连接六边形的边的中心所做出的两个三角形的重心是重合的 可忽略 6 6 三角形各边的垂直平分线交于一点三角形各边的垂直平分线交于一点 另 三角形五心另 三角形五心 重心重心定义 三角形的三条中线中线交于一点 这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍 该点叫做三角形的重心 外心外心定义 三角形的三边的垂直平分线垂直平分线交于一点 该点叫做三角形的外心 垂心垂心定义 三角形的三条高高交于一点 该点叫做三角形的垂心 内心内心定义 三角形的三内角平分线内角平分线交于一点 该点叫做三角形的内心 旁心旁心定义 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点 该点叫做三 角形的旁心 三角形有三个旁心 三角形的外心 垂心 重心在同一条直线上 三角形的外心 垂心 重心在同一条直线上 三角形的重心 三角形的三条中线交于一点 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 定理 三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍 三角形的内心 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这 个三角形叫做圆的外接三角形 三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点 这个交点到三角形三边的距离相等 就是三角形的内心 三角形有且只有一个内切圆 内切圆的半径公式 s 为三角形周长的一半 三角形的外心 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的外心 这个三 角形叫做这个圆的内接三角形 三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点 这个交点到三角形三个顶点的距离 相等 就是三角形的外心 三角形有且只有一个外接圆 设三角形 ABC 的外心为 O 垂心为 H 从 O 向 BC 边引垂线 设垂足为 L 则 AH 2OL 三角形的垂心 三角形的三条高线交于一点 三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心 锐角三角形的垂心在三角形内 直角三角形的垂心在直角的顶点 钝角三角形的垂心 在三角形外 三角形的旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆 旁切圆的圆心 叫做三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 这个交点到三角形一 边及其他两边延长线的距离相等 就是三角形的旁心 三角形有三个旁切圆 三个旁心 7 九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆 三角形中 三边中心 从各顶点向其对边所引 垂线的垂足 以及垂心与各顶点连线的中点 这九个点在同一个圆上 8 欧拉定理 三角形的外心 重心 九点圆圆心 垂心依次位于同一直线 欧拉线 上 9 库立奇大上定理 圆内接四边形的九点圆 圆周上有四点 过其中任三点作三 角形 这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上 我们把过这四个九点圆圆心的圆 叫做圆内接四边形的九点圆 10 中线定理 巴布斯定理 设三角形 ABC 的边 BC 的中点为 P 则有 AB 2 AC 2 2 AP 2 BP 2 11 斯图尔特定理 P 将三角形 ABC 的边 BC 分成 m 和 n 两段 则有 n AB2 m AC2 BC AP2 mn 12 波罗摩及多定理 圆内接四边形 ABCD 的对角线互相垂直时 连接 AB 中点 M 和对 角线交点 E 的直线垂直于 CD 13 阿波罗尼斯定理 到两定点 A B 的距离之比为定比 m n 值不为 1 的点 P 位于 将线段 AB 分成 m n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上 14 14 托勒密定理 设四边形托勒密定理 设四边形 ABCDABCD 内接于圆 则有内接于圆 则有 AB CD AD BC AC BDAB CD AD BC AC BD 15 15 以任意三角形以任意三角形 ABCABC 的边的边 BCBC CACA ABAB 为底边 分别向外作底角都是为底边 分别向外作底角都是 3030 度的等腰度的等腰 BDCBDC CEA CEA AFB AFB 则 则 DEF DEF 是正三角形是正三角形 16 爱尔可斯定理 定理 1 若 ABC 和 DEF 都是正三角形 则由线段 AD BE CF 的重心构成的三角形 也是正三角形 定理 2 若 ABC DEF GHI 都是正三角形 则由三角形 ADG BEH CFI 的重心构成的三角形是正三角形 17 17 梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 设 ABC 的三边 BC CA AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别 为 P Q R 则有 BP PC CQ QA AR RB 1 逆定理 略 逆定理 略 应用定理应用定理 1 1 设 ABC 的 A 的外角平分线交边 CA 于 Q C 的平分线交边 AB 于 R B 的平分线交边 CA 于 Q 则 P Q R 三点共线 应用定理应用定理 2 2 过任意 ABC 的三个顶点 A B C 作它的外接圆的切线 分别和 BC CA AB 的延长线交于点 P Q R 则 P Q R 三点共线 18 18 塞瓦定理塞瓦定理 设 ABC 的三个顶点 A B C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S 连接面成的 三条直线 分别与边 BC CA AB 或它们的延长线交于点 P Q R 则 BP PC CQ QA AR RB 1 逆定理逆定理 略 略 应用定理应用定理 1 1 三角形的三条中线交于一点 应用定理应用定理 2 2 设 ABC 的内切圆和边 BC CA AB 分别相切于点 R S T 则 AR BS CT 交于一点 19 19 西摩松定理西摩松定理 从 ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC CA AB 或其延长线作垂线 设其垂足分别 是 D E R 则 D E R 共线 这条直线叫西摩松线 逆定理 略 逆定理 略 20 史坦纳定理 设 ABC 的垂心为 H 其外接圆的任意点 P 这时关于 ABC 的点 P 的西摩松线通过线 段 PH 的中心 应用定理 ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC CA AB 的对称点和 ABC 的垂 心 H 同在一条 与西摩松线平行的 直线上 这条直线被叫做点 P 关于 ABC 的镜象线 21 波朗杰 腾下定理 设 ABC 的外接圆上的三点为 P Q R 则 P Q R 关于 ABC 交于一点的充要条件是 弧 AP 弧 BQ 弧 CR 360 的倍数 推论 1 设 P Q R 为 ABC 的外接圆上的三点 若 P Q R 关于 ABC 的西摩松线 交于一点 则 A B C 三点关于 PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点 推论 2 在推论 1 中 三条西摩松线的交点是 A B C P Q R 六点任取三点所作 的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点 推论 3 考查 ABC 的外接圆上的一点 P 的关于 ABC 的西摩松线 如设 QR 为垂直于 这条西摩松线该外接圆珠笔的弦 则三点 P Q R 的关于 ABC 的西摩松线交于一点 推论 4 从 ABC 的顶点向边 BC CA AB 引垂线 设垂足分别是 D E F 且设边 BC CA AB 的中点分别是 L M N 则 D E F L M N 六点在同一个圆上 这时 L M N 点关于关于 ABC 的西摩松线交于一点 关于西摩松线的定理 1 ABC 的外接圆的两个端点 P Q 关于该三角形的西摩松线 互相垂直 其交点在九点圆上 关于西摩松线的定理 2 安宁定理 在一个圆周上有 4 点 以其中任三点作三角形 再作其余一点的关于该三角形的西摩松线 这些西摩松线交于一点 22 卡诺定理 通过 ABC 的外接圆的一点 P 引与 ABC 的三边 BC CA AB 分别成同向的等角的直线 PD PE PF 与三边的交点分别是 D E F 则 D E F 三点共线 23 奥倍尔定理 通过 ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线 设它们与 ABC 的外接圆的交点分别是 L M N 在 ABC 的外接圆取一点 P 则 PL PM PN 与 ABC 的三边 BC CA AB 或其 延长线的交点分别是 D E F 则 D E F 三点共线 24 清宫定理 设 P Q 为 ABC 的外接圆的异于 A B C 的两点 P 点的关于三边 BC CA AB 的对称点分别是 U V W 这时 QU QV QW 和边 BC CA AB 或其延长线 的交点分别是 D E F 则 D E F 三点共线 25 他拿定理 设 P Q 为关于 ABC 的外接圆的一对反点 点 P 的关于三边 BC CA AB 的对称点分别是 U V W 这时 如果 QU QV QW 与边 BC CA AB 或其 延长线的交点分别为 ED E F 则 D E F 三点共线 反点 P Q 分别为圆 O 的半 径 OC 和其延长线的两点 如果 OC2 OQ OP 则称 P Q 两点关于圆 O 互为反点 26 朗古来定理 在同一圆同上有 A1B1C1D14 点 以其中任三点作三角形 在圆周取一 点 P 作 P 点的关于这 4 个三角形的西摩松线 再从 P 向这 4 条西摩松线引垂线 则四 个垂足在同一条直线上 27 从三角形各边的中点 向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线 这些垂线交于 该三角形的九点圆的圆心 28 一个圆周上有 n 个点 从其中任意 n 1 个点的重心 向该圆周的在其余一点处的切 线所引的垂线都交于一点 29 康托尔定理 定理 1 一个圆周上有 n 个点 从其中任意 n 2 个点的重心向余下两点的连线所引的 垂线共点 定理 2 一个圆周上有 A B C D 四点及 M N 两点 则 M 和 N 点关于四个三角形 BCD CDA DAB ABC 中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上 这条直线 叫做 M N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线 定理 3 一个圆周上有 A B C D 四点及 M N L 三点 则 M N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线 L N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线 M L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点 这个点叫做 M N L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点 定理 4 一个圆周上有 A B C D E 五点及 M N L 三点 则 M N L 三点关于四 边形 BCDE CDEA DEAB EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上 这条直线叫做 M N L 三点关于五边形 A B C D E 的康托尔线 30 费尔巴赫定理 三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切 31 莫利定理 将三角形的三个内角三等分 靠近某边的两条三分角线相得到一个交点 则这样的三个交点可以构成一个正三角形 这个三角形常被称作莫利正三角形 32 牛顿定理 定理 1 四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点 三条 共线 这条直线叫做这个四边形的牛顿线 定理 2 圆外切四边形的两条对角线的中点 及该圆的圆心 三点共线 33 笛沙格定理 定理 1 平面上有两个三角形 ABC DEF 设它们的对应顶点 A 和 D B 和 E C 和 F 的连线交于一点 这时如果对应边或其延长线相交 则这三个交点共线 定理 2 相异平面上有两个三角形 ABC DEF 设它们的对应顶点 A 和 D B 和 E C 和 F 的连线交于一点 这时如果对应边或其延长线相交 则这三个交点共线 34 布利安松定理 连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A 和 D B 和 E C 和 F 则这三线共点 35 巴斯加定理 圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE BC 和 EF CD 和 FA 的 或 延长线的 交点共线 36 蝴蝶定理 P 是圆 O 的弦 AB 的中点 过 P 点引圆 O 的两弦 CD EF 连结 DE 交 AB 于 M 连结 CF 交 AB 于 N 则有 MP NP 37 帕普斯定理 设六边形 ABCDEF 的顶点交替分布在两条直线 a 和 b 上 那么它的三 双对边所在直线的交点 X Y Z 在一直线上 38 高斯线定理 四边形 ABCD 中 直线 AB 与直线 CD 交于 E 直线 BC 与直线 AD 交于 F M N Q 分别为 AC BD EF 的中点 则有 M N O 共线 39 莫勒定理 三角形三个角的三等分线共有 6 条 每相邻的 不在同一个角的 两条三等分线的交 点 是一个等边三角形的顶点 逆定理 在三角形 ABC 三边所在直线 BC CA AB 上各取一点 D E F 若有 BD DC CE EA AF FB 1 则 AD BE CE 平行或共点 40 斯特瓦尔特定理 在三角形 ABC 中 若 D 是 BC 上一点 且 BD p DC q AB c AC b 则 AD 2 b b p c c q p q pq 41 泰博定理 取平行四边形的边为正方形的边 作四个正方形 同时在平行四边形内 或外皆可 正方形的中