黑龙江省牡丹江地区六市县2013届高三数学第一次联考（一模）试题 文

1 哈尔滨高三学年六校联考文科数学试卷哈尔滨高三学年六校联考文科数学试卷 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 全卷共150分 考试时间120分钟 第 卷 选择题 共60分 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 1 设集合 则 2 2 log 2 540 Ax yxBx xxAB A B C D 2 4 2 1 4 2 复数 为虚数单位 则 A B C D 3 平面向量 共线的充要条件是 a b A 方向相同 B 两向量中至少有一个为零向量a b a b C 使得 D 存在不全为零的实数 R ba 1 2 12 0ab 4 阅读右面的程序框图 运行相应的程序 则输出 i 的值为 A 3 B 4 C 5 D 6 5 已知下列命题 命题 3x 的否定是 3x a 2 是 a 5 的充分不必要条件 若xy 0 则x 0且y 0 的逆否命题为真命题 已知p q为两个命题 若 为假命题 则 为 真命题 其中真命题的个数为 A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 6 已知数列 n a 满足 331 log1log nn aan N 且 246 9aaa 则 1579 3 log aaa 的值是 A 1 5 B 5 C 5 D 1 5 7 空间几何体的三视图如图所示 则此空间几何体的直观图为 8 设 为公比为q 1的等比数列 若 和 是方程 的两根 则 1 i zi i z 11 22 i 11 22 i 11 22 i 11 22 i 1 2 xRx1 2 xRx qp qp n a2010 a 2011 a 0384 2 xx 2012 a 2013 a 2 A 18 B 10 C 25 D 9 9 已知 是实数 则函数 的图像可能是 A B C D 10 在球O内任取一点P 则P点在球O的内接正四面体中的概率是 A B C D 11 已知函数是定义在上的奇函数 若对于任意的实数 都有 xf 0 x 且当时 则的值 2 xfxf 2 0 x 1 log 2 xxf 2012 2011 ff 为 A 1 B 2 C 2 D 1 12 如图 分别是双曲线的两个焦点 以坐标原点为圆 1 F 2 F 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x O 心 为半径的圆与该双曲线左支交于 两点 若 是等边三角形 则双 1 FOABABF2 曲线的离心率为 A B 2 C D 331 13 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 13 已知抛物线 的准线方程为 则实数 a 的值为 14 已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切 则该球的表面积为 15 如图矩形ORTM内放置5个大小相同的正方形 其中A B C D都 在矩形的边上 若向量 则 16 已知点 M a b 由确定的平面区域内运动 则动点 N a b a b 所在平面区 0 0 4 x y xy 域的面积为 三 解答题 本大题共5小题 每小题12分 满分60分 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 cosf xaax a 12 1 12 3 9 32 6 3 2 yax 2y BDxAEyAF 22 xy 2 1 3sincoscos 4442 xxx f x 3 17 12分 已知函数 1 求 的周期和及其图象的对称中心 2 在 ABC中 角A B C的对边分别是 满足 求函数 的取值范围 18 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为菱形 其中 2PAPDAD 60BAD Q为AD的中点 1 求证 ADPQB 平面 2 若平面PAD 平面ABCD 且 1 2 PMPC 求四棱锥的体积 MABCD 19 12 分 我校数学老师这学期分别用 A B两种不同的教学方式试验高一甲 乙两个班 人数均为 60 人 入学数学平均分数和优秀率都相同 勤奋程度和自觉性都一样 现随机 抽取甲 乙两班各 20 名的数学期末考试成绩 得到茎叶图 甲 乙 2 9 0 1 5 6 8 6 6 3 2 1 8 0 1 2 5 6 6 8 9 8 3 2 2 1 7 3 6 8 9 8 7 7 6 6 5 7 9 9 9 9 8 8 5 1 依茎叶图判断哪个班的平均分高 2 现从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学 求成绩为 86 分的同学至 少有一个被抽中的概率 3 学校规定 成绩不低于 85 分的为优秀 请填写下面的2 2 列联表 并判断 能否在犯错误 的概率不超过 0 025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关 下面临界值表仅供参考 2 P Kk 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 k 2 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 参考公式 2 2 n adbc K ab cd ac bd 其中nabcd 20 12分 已知椭圆 a b 0 的右焦点为F 1 0 M为椭圆的上顶点 O为坐标 原点 且 OMF是等腰直角三角形 xf coscos 2 CbBca Af abc 1 2 2 2 2 b y a x 4 1 求椭圆的方程 2 是否存在直线 交椭圆于P Q两点 且使F为 PQM的垂心 垂心 三角形三条高的交点 若 存在 求出直线 的方程 若 不存在 请说明理由 21 12 分 已知函数 1 求函数 的极值点 2 若直线 过点 0 1 并且与曲线 相切 求直线 的方程 3 设函数 其中 求函数 在 上的最小值 其中 e 为 自然对数的底数 四 选考题 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题 记分 做答时请写清题号 满分 10 分 22 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BE 平分 ABC 交 AC 于点 E 点 D 在线段 AB 上 DE EB 1 求证 AC 是 BDE 的外接圆的切线 2 若 求 EC 的长 23 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 以原点为极点 x 轴的正半轴 为极轴建坐标系 已知曲线 C 已知过点 P 2 4 的直线 的参数方程为 t 为参数 直线 与曲线 C 分别交于 M N 1 写出曲线 C 和直线 的普通方程 2 若 PM MN PN 成等比数列 求 的值 24 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 求不等式 的解集 2 若关于x的不等式 的解集非空 求实数a的取值范围 高三学年六校联考文科数学答题卡 2013 2 1 只上交答题卡 姓名 一 选择题 满分 60 分 得分 lnxxxf xf l l lll xfy l 1 xaxfxgRa xg e 1 2 3 6ADAE 2 sin2 cosa 0 a ll l ty tx 2 2 4 2 2 2 a 21 23 f xxx 6 xf 1 axf 5 班级 二 填 空题 满分 20 分 得分 13 14 15 16 三 解答题 满分 60 分 得分 17 本小题满分 12 分 18 本小题满分 12 分 19 本小题满分 12 分 题号 123456789101112 答案 装装 订订 线线 6 20 本小题满分12分 21 本小题满分 12 分 22 23 24 本小题做答时请写清题号满分 10 分 第 22 题 7 高三学年六校联考文科数学答案 2013 2 1 一 B C D B C B A A CC A D 二 13 1 8 14 15 13 16 16 2 三 17 解 1 由 31 sincos1sin 1 222226 xxx f x xf 的周期为4 由 sin 0 2 263 x xk 得 故 f x 图象的对称中心为 2 1 3 kkZ 6分 2 由 coscos 2 CbBca 得 CBBCAcossincos sinsin2 cossinsincoscossin2CBCBBA sin cossin2CBBA CBA 0sin sin sin AACB且 3 2 0 3 2 1 cos ABB 1 sin 1 6262 226 AA 故函数 Af 的取值范围是 3 2 2 12分 18 本小题满分 12 分 1 为中点 PAPD QADPQ 又60BAD 底面ABCD为菱形 为中点 Q ADBQ 所以平面 5 分AD PQB 2 连接 作于 QCMHQC H 2PAPDAD Q为AD的中点 PQAD 又平面PAD 平面ABCD PQABCD 平面PQQC 又 于是 9 分MHQC PQMH AMHABCD 平面 又 1 2 PMPC 1133 2 2222 MHPQ V 12 分MABCD 11 32 ACBDMH 13 2 2 31 62 19 解 甲班数学成绩集中于 60 90 分之间 而乙班数学成绩集中于 80 100 分之间 8 所以乙班的平均分高 3 分 记成绩为 86 分的同学为 其他不低于 80 分的同学为 A B C D E F 从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学 的一切可能结果组成的基本 事件有 一共 15 个 A BA CA DA EA FB CB DB EB F C DC EC FD ED FE F 抽到至少有一个 86 分的同学 所组成的基本事件有 共 9 个 6 分 A BA CA DA EA FB CB DB EB F 故 7 分 93 155 P 9 分 因此在犯错误的概率不超过 0 025 的前提下 可以认为成绩优秀与教学方式有关 12 分 20 本小题满分12分 解 1 由 OMF是等腰直角三角形得b 1 a 22 b 故椭圆方程为 1 2 2 2 y x 4分 2 假设存在直线l交椭圆于P Q两点 且使F为 PQM的垂心 设P 1 x 1 y Q 2 x 2 y 因为M 0 1 F 1 0 故 1 MF k 故直线l的斜率 1 k 于是设直线l的方程为 mxy 由 22 22 yx mxy 得 02243 22 mmxx 6分 由题意知 0 即 2 m 3 且 3 22 3 4 2 2121 m xx m xx 8分 由题意应有 0 FQMP 又 1 1 2211 yxFQyxMP 9 故 0 1 2 2 2121 mmmxxxx 0 1 3 4 3 22 2 2 2 mmmm m 解得 3 4 m 或 1 m 10分 经检验 当 1 m 时 PQM不存在 故舍去 1 m 当 3 4 m 时 所求直线 3 4 xy 满足题意 综上 存在直线L 且直线L的方程为 0433 yx 12分 21 解 1 xxxf 1ln 0 1 分 而 x f 0 lnx 1 0 x xf e 1 0 1ln x 0 0 x 1 e 所以 xf 在 e 1 0 上单调递减 在 1 e 上单调递增 3 分 所以 e x 1 是函数 xf 的极小值点 极大值点不存在 4 分 2 设切点坐标为 00 y x 则 ln 000 xxy 切线的斜率为 1ln 0 x 所以切线l的方程为 1lnln 0000 xxxxxy 5 分 又切线l过点 1 0 所以有 01lnln1 0000 xxxx 解得 0 1 00 yx 所以直线l的方程为 1 xy 7 分 3 1ln xaxxxg 则 1lnaxxg x g 0 ax 1ln 0 0 x xgea 1 0 x 1 a e 所以 xg 在 1 0 a e 上单调递减 在 1a e 上单调递增 9 分 当 1 1 a e 即 1 a 时 xg 在 e 1 上单调递增 所以 xg 在 e 1 上的最小值为 01 g 10 当 1 1 a e e 即 1 a 2 时 xg 在 1 1 a e 上单调递减 在 eea 1 上单调递增 xg 在 e 1 上的最小值为 11 aa eaeg 当 1 a ee 即 2 a 时 xg 在 e 1 上单调递减 所以 xg 在 e 1 上的最小值为 aeaeeg 综上 当 1 a 时 xg 的最小值为 0 当 1 a 2 时 xg 的最小值为 1 a ea 当 2 a 时 xg 的最小值为 aeea 12 分 22 解 设线段DB的中点为O 连接EO DEEB 点O是圆心 OBOEOEBOBE 2 分 22 2 6 6 3 2 3 AE AEAD ABAB AD 6 32 34 3BDABAD 2 3OBOD 8 分 又由 知 AEAO OEBC ECOB 6 2 3 3 4 3 AE OB EC AO 10 分 23 解 2 2 2yaxyx 5 分 直线l的参数方程为 ty tx 2 2 4 2 2 2 t为参数 代入 2 2yax