第八章第一节椭圆

1 第八章第八章 第一节第一节 椭圆椭圆 题组一椭圆的定义和标准方程 1 2009 陕西高考 m n 0 是 方程 mx2 ny2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 把椭圆方程化成 1 若 m n 0 则 0 所以椭圆的焦点在 y 轴 x2 1 m y2 1 n 1 n 1 m 上 反之 若椭圆的焦点在 y 轴上 则 0 即有 m n 0 故为充要条件 1 n 1 m 答案 C 2 2009 北京高考 椭圆 1 的焦点为 F1 F2 点 P 在椭圆上 若 PF1 4 则 x2 9 y2 2 PF2 F1PF2的大小为 解析 依题知 a 3 b c 27 由椭圆定义得 PF1 PF2 6 PF1 4 PF2 2 又 PF1 4 PF2 2 F1F2 2 7 在 F1PF2中由余弦定理可得 cos F1PF2 1 2 F1PF2 120 答案 2 120 题组二椭圆的几何性质 3 设 F1 F2分别是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 P 是其右准线上纵坐标为 x2 a2 y2 b2 c c 3 为半焦距 的点 且 F1F2 F2P 则椭圆的离心率是 A B 3 1 2 1 2 2 C D 5 1 2 2 2 解析 c 2 c 2 2c 2 a2 c3 1 1 e a2 c2 c2 1 e2 e2 2 2 答案 D 4 2009 江苏高考 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 A1 A2 B1 B2为椭圆 1 a b 0 的四个顶点 F 为 x2 a2 y2 b2 其 右焦点 直线 A1B2与直线 B1F 相交于点 T 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点 则该椭圆的离心率 为 解析 由题意结合图形得 lA1B2 1 x a y b 即 bx ay ab lB1F 1 即 bx cy bc x c y b 由 求得 y 代入 得 x b a c a c 2ac a c T 则 OT 中点 M 2ac a c b a c a c ac a c b a c 2 a c 又 M 在椭圆上 1 a2c2 a2 a c 2 b2 a c 2 4b2 a c 2 即 4c2 a2 2ac c2 4a2 8ac 4c2 c2 10ac 3a2 0 e2 10e 3 0 又 0 e 1 e 2 5 7 答案 2 5 7 5 2009 重庆高考 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 c 0 x2 a2 y2 b2 F2 c 0 若椭圆上存在点 P 使 则该椭圆的离心率的取值范围 a sinPF1F2 c sinPF2F1 为 3 解析 在 PF1F2中 由正弦定理知 sinPF1F2 sinPF2F1 PF2 PF1 a sinPF1F2 c sinPF2F1 即 PF1 e PF2 PF2 PF1 a c 1 e 又 P 在椭圆上 PF1 PF2 2a 将 代入得 PF2 a c a c 2a e 1 同除以 a 得 1 e 1 e 得 1 e 1 2 e 12 答案 1 1 2 题组三直线与椭圆的位置关系 6 过椭圆 1 内的一点 P 2 1 的弦 恰好被 P 点平分 则这条弦所在的直线 x2 6 y2 5 方 程是 A 5x 3y 13 0 B 5x 3y 13 0 C 5x 3y 13 0 D 5x 3y 13 0 解析 设过点 P 的弦与椭圆交于 A1 x1 y1 A2 x2 y2 两点 则Error 且 x1 x2 4 y1 y2 2 x1 x2 y1 y2 0 kA1A2 2 3 2 5 y1 y2 x1 x2 5 3 弦所在直线方程为 y 1 x 2 5 3 即 5x 3y 13 0 答案 A 7 2010 石家庄模拟 过点 M 2 0 的直线 m 与椭圆 y2 1 交于 P1 P2两点 线段 x2 2 P1P2的中点为 P 设直线 m 的斜率为 k1 k1 0 直线 OP 的斜率为 k2 则 k1k2的值 为 A 2 B 2 C D 1 2 1 2 4 解析 设直线 m 的方程为 y k1 x 2 代入椭圆方程 得 1 2k x2 8k x 8k 2 0 2 12 12 1 设 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则 x1 x2 8k2 1 1 2k2 1 y1 y2 k1 x1 x2 4 4k1 1 2k2 1 P k2 k1k2 4k2 1 1 2k2 1 2k1 1 2k2 1 1 2k1 1 2 答案 D 8 2010 青岛摸拟 如图 两条过原点 O 的直线 l1 l2 分别与 x 轴 y 轴成 30 的角 点 P x1 y1 在直线 l1上运动 点 Q x2 y2 在直线 l2上运动 且线段 PQ 的长度为 2 1 求动点 M x1 x2 的轨迹 C 的方程 2 设过定点 T 0 2 的直线 l 与 1 中的轨迹 C 交于不同的两点 A B 且 AOB 为锐 角 求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解 1 由已知得直线 l1 l2 l1 y x l2 y x 3 33 点 P x1 y1 在直线 l1上运动 点 Q x2 y2 在直线 l2上运动 y1 x1 y2 3 3 x2 3 由 PQ 2 得 x y x y 4 2 12 12 22 2 即 x 4x 4 x 1 4 3 2 12 2 x2 1 32 2 动点 M x1 x2 的轨迹 C 的方程为 y2 1 x2 3 2 直线 l 的方程为 y kx 2 将其代入 y2 1 x2 3 化简得 1 3k2 x2 12kx 9 0 设 A x3 y3 B x4 y4 12k 2 36 1 3k2 0 k2 1 且 x3 x4 x3x4 12k 1 3k2 9 1 3k2 AOB 为锐角 OA OB 0 5 即 x3x4 y3y4 0 x3x4 kx3 2 kx4 2 0 1 k2 x3x4 2k x3 x4 4 0 将 x3 x4 x3x4 代入上式 12k 1 3k2 9 1 3k2 化简得 0 k21 且 k2b 0 其右准线 l 与 x 轴 x2 a2 y2 b2 交于点 A 椭圆的上顶点为 B 过它的右焦点 F 且垂直于 长轴的直线交椭圆于点 P 直线 AB 恰经过线段 FP 的中 点 D 1 求椭圆的离心率 2 设椭圆的左 右顶点分别是 A1 A2 且 1 BA 2 BA 3 求椭圆方程 3 在 2 的条件下 设 Q 是椭圆右准线 l 上异于 A 的任意一点 直线 QA1 QA2与 椭 圆的另一个交点分别为 M N 求证 直线 MN 与 x 轴交于定点 解 1 椭圆方程为 1 a b 0 c 0 c2 a2 b2 x2 a2 y2 b2 A 0 F c 0 B 0 b P c a2 c b2 a FP 的中点 D 的坐标为 c b2 2a 直线 AB 的方程为 1 x a2 c y b D 在直线 AB 上 c 1 c a2 1 b b2 2a 化简得 3a2 4c2 e 3 2 2 A1 a 0 A2 a 0 B 0 b 6 1 BA a b 2 BA a b 1 BA 2 BA 3 a2 b2 3 由 1 得 a 2b a 2 b 1 c 椭圆方程为 y2 1 3 x2 4 3 设直线 QA1和 QA2斜率分别为 k1 k2 则 由Error 1 4k x2 16k x 16k 4 0 2 12 12 1 解得 xM yM 2 8k2 1 1 4k2 1 4k1 1 4k2 1 由Error 1 4k x2 16k x 16k 4 0 2 22 22 2 解得 xN yN 8k2 2 2 1 4k2 2 4k2 1 4k2 2 直线 MN 的方程为 令 y 0 y yN yM yN x xN xM xN 得 x 化简得 x 2 xN yM xM yN yM yN k2 k1 k1 k2 yQ k1 2 k2 2 4 3 4 3 7 4 k1 k23 k2 k1 k1 k2 k1 k2 1 k1 k2 1 3 2 x 2 3 23 即直线 MN 与 x 轴交于定点 0 3 10 2009 山东高考 设椭圆 E 1 a b 0 过 M 2 N 1 两点 O x2 a2 y2 b226 为 坐标原点 1 求椭圆 E 的方程 2 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OA OB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在 说 明理由 解 1 将 M N 的坐标代入椭圆 E 的方程得 7 Error 解得 a2 8 b2 4 所以椭圆 E 的方程为 1 x2 8 y2 4 2 证明 假设满足题意的圆存在 其方程为 x2 y2 R2 其中 0 R 2 设该圆的任意一条切线 AB 和椭圆 E 交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 当直线 AB 的斜率存在时 令直线 AB 的方程为 y kx m 将其代入椭圆 E 的方程并整理得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 8 0 由根与系数的关系得 x1 x2 x1x2 4km 2k2 1 2m2 8 2k2 1 因为OA OB 所以 x1x2 y1y2 0 把 代入 并整理得 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 联立 得 m2 1 k2 8 3 因为直线 AB 和圆相切 因此 R m 1 k2 由 得 R 2 6 3 所以存在圆 x2 y2 满足题意 8 3 当切线 AB 的斜率不存在时 易得 x x 2 12 2 8 3 由椭圆 E 的方程得 y y 显然OA OB 2 12 2 8 3 综上所述 存在圆 x2 y2 满足题意 8 3 法一 当切线 AB 的斜率存在时 由 得 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 k2 x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 8 1 k2 f 4km 2k2 1 2 4 2m2 8 2k2 1 4 2 k2 1 2k2 1 1 2 3 k2 1 2k2 1 令 t 则 t 1 k2 1 2k2 1 1 2 因此 AB 2 32t 1 t t 2 12 2 3 64 3 3 4 所以 AB 2 12 即 AB 2 32 3 4 6 33 当切线 AB 的斜率不存在时 易得 AB 4 6 3 所以 AB 2 4 6 33 综上所述 存在圆心在原点的圆 x2 y2