新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义

1 6 勾股定理勾股定理 本章常用知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的 等于斜边的 如果 用字母 a b c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边 那么勾股定理可以表示为 2 勾股数 满足 a b c 的三个 称为勾股数 222 常见勾股数有 3 常见平方数 121112 144122 169132 196142 225152 256162 289172 324182 361192 400202 441212 484222 529232 576242 625252 676262 729272 专题归类 专题一 勾股定理与面积 1 在 Rt ABC 中 C a 5 c 3 则 Rt ABC 的面积 S 90 2 一个直角三角形周长为 12 米 斜边长为 5 米 则这个三角形的面积为 3 直线 l 上有三个正方形 a b c 若 a 和 c 的面积分别为 5 和 11 则 b 的面 积为 4 在直线l上依次摆放着七个正方形 如图所示 已知斜放置的三个正方形的面积分别 是 1 2 3 正放置的四个正方形的面积依次是 S1 S2 S3 S4 则 S1 S2 S3 S4等于 5 三条边分别是 5 12 13 的三角形的面积是 6 如果一个三角形的三边长分别为 a b c 且满足 a b c 50 6a 8b 10c 则这个三角 222 形的面积为 7 如图 1 BC 8 AB 10 CD 是斜边的高 求 CD 的长 90ACB l a b c l 3 2 1 S4 S3 S2 S1 2 6 7 如下图 在 ABC 中 AB 8cm BC 15cm P 是到 90ABC ABC 三边距离相等的点 求点 P 到 ABC 三边的 距离 8 有一块土地形状如图 3 所示 AB 20 米 BC 15 米 90DB CD 7 米 请计算这块土地的面积 添加辅助线构造直角三角形 D C B A 图 3 9 如右图 在四边形 ABCD 中 AB 2 CD 1 A 60 求四边形 ABCD 的面积 10 如图 2 3 把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠 使点 C 落在 C 的位置上 已知 AB 3 BC 7 求 重合部分 EBD 的面积 11 如图 分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆 B D C A 图 1 D C B A A B C P 3 6 其面积分别用 S1 S2 S3表示 则不难证明 S1 S2 S3 1 如图 分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形 其面积分别用 S1 S2 S3表示 那么 S1 S2 S3之间有什么关系 不必证明 2 如图 分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形 其面积分别用 S1 S2 S3表示 请你确定 S1 S2 S3之间的关系并加以证明 3 若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正多边形 其面积分别用 S1 S2 S3表示 请你猜想 S1 S2 S3之间的关系 专题二 勾股定理与折叠 1 如图 4 矩形纸片 ABCD 的边 AB 10cm BC 6cm E 为 BC 上一点 将矩形纸 片沿 AE 折叠 点 B 恰好落在 DC 边上的点 G 处 求 BE 的长 2 有一个直角三角形纸片 两直角边的长 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿 AD 对折 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 求 CD 的长 3 如图 6 在矩形纸片 ABCD 中 AB BC 6 沿 EF 折叠后 点 C 落在33 AB 边上的点 P 处 点 D 落在 Q 点处 AD 与 PQ 相交于点 H BPE 30 1 求 BE QF 的长 2 求四边形 QEFH 的面积 图 4 E G C D BA E D B C A 图 5 图 6 P HF E Q D CB A 4 6 专题三 利用勾股定理列方程求线段的长度 1 ABC 中 AB AC 20 BC 32 D 是 BC 上一点 且 AD AC 求 BD 的长 专题四 勾股数的应用 1 下列是勾股数的一组是 A 4 5 6 B 5 7 12 C 12 13 15 D 14 48 50 2 一个直角三角形的三边长是不大于 10 的三个连续偶数 则它的周长是 3 下列是勾股数的一组是 A 2 3 4 B 5 6 7 C 9 40 41 D 10 24 25 4 观察下面表格中所给出的三个数 a b c 其中 a b c 为正整数 且 a b c 1 试找给他们的共同点 并证明你的结论 2 当 a 21 时 求 b c 的值 3 4 5 3 4 5 222 5 12 13 5 12 13 222 7 24 25 7 24 25 222 9 40 41 9 40 41 222 21 b c 21 b c 222 专题五 勾股定理及逆定理有关的几何证明 1 在四边形 ABCD 中 C 是直角 AB 13 BC 3 CD 4 AD 12 证明 ADBD 3 在正方形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 F 为 CD 上一点 且 CF CD 试说明 AEF 是直角三角形 4 1 D C BA D F CE B A 5 6 4 ABC 三边的长为 a b c 根据下列条件判断 ABC 的形状 a b c 200 12a 16b 20c 222 5 试判断 三边长分别为 2n2 2n 2n 1 2n2 2n 1 n 为正整数 的三角形是否是直角 三角形 6 如图 2 12 ABC 中 C 90 M 是 BC 的中点 MD AB 于 D 求证 AD2 AC2 BD2 专题七 最短路线问题 1 有一正方体盒子 棱长是 10cm 在 A 点处有一只蚂蚁它想到 B 点处觅食 那么它爬 行的最短路线是多少 A B 2 有一个长方体盒子 它的长是 70cm 宽和高都是 50cm 在 A 点处有一只蚂蚁它想到 B 点处觅食 那么它爬行的最短路线是多少 6 6 A B 3 如图所示 一个二级台阶 每一级的长 宽 高分别为 60cm 30cm 10cm A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点 在 A 点处有一只蚂蚁它想到 B 点处觅食 那么它爬行的最 短路线是多少 4 王力的家在高楼 15 层 一天他去买竹竿 如果电梯的长 宽 高分别为 1 2m 1 2m 1 3m 则他