高考数学 第一节 集合的概念及其运算教材

用心 爱心 专心1 第一节第一节 集合的概念及其运算集合的概念及其运算 教 材 面 面 观 1 集合中元素的特征具有 和 答案 确定性 互异性 无序性 2 空集是 记为 答案 不含有任何元素的集合 3 数学中自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 它们的记法分别为 答案 N N N Z Q R 4 常用的集合表示方法有 和 答案 列举法 描述法 图示法 5 子集的定义为 答案 一般地 如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素 那么集合 A 叫做集合 B 的子集 记作 A B 或 B A 6 集合 A 与集合 B 相等的定义为 答案 一般地 如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素 反过来 集合 B 的每一个 元素也都是集合 A 的元素 那么我们就说集合 A 等于集合 B 记作 A B 7 交集的定义的文字语言表述为 符合语言表示为 A B 答案 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 称为 A 与 B 的交集 x x A 且 x B 8 交集的五条运算性质分别为 1 A B 交换律 2 A A 3 A 4 A B 与 A 的关 系为 A B 与 B 的关系为 5 A B A 成立的等价条件为 答案 1 B A 2 A 3 4 A B A A B B 5 A B 9 并集的定义的文字语言表述为 符号语言表示为 A B 答案 一般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 称为集合 A 与 B 的 并集 x x A 或 x B 10 并集的五条运算性质分别为 1 A B 交换律 2 A A 3 A 4 A B 与 A 的 关系为 A B 与 B 的关系为 5 A B A 成立的等价条件为 答案 1 B A 2 A 3 A 4 A A B B A B 5 B A 用心 爱心 专心2 11 补集与全集的性质分别为 1 UU 2 U 3 U UA 4 A UA 5 A UA 答案 1 2 U 3 A 4 U 5 考 点 串 串 讲 1 集合的概念与表示 1 集合与元素 一般地 某些指定的对象集在一起 就称为一个集合 也简称集 或者说 符合某种条件 或具有某种性质 的全体就构成了一个集合 通常用大写字母 A B C 表示集合 集合中的每个对象叫做这个集合的元素 通常用 小写字母 a b c 表示 2 集合的分类 空集 不含任何元素的集合叫做空集 通常用符号 表示 如 Error 是空集 一方面它说明了方程组Error 无解 另一方面从解析几何的角度分析 说明了直线 2x y 1 与直线 4x 2y 3 平行 没有公共点 因此由这两条直线的公共点组 成的集合是一个空集 注意集合 空集 数字 0 和 0 的区别与联系 0 0 0 0 3 基本数集专用符号 常用的基本数集有正整数集 N 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 和复数集 C 它们之间满足的关系是 N N Z Q R C 要认识清楚这些集合的意义 4 集合中元素的性质 集合的元素具有确定性 互异性 无序性 确定性 对于集合 A 和某一对象 x 有一个明确的判断标准 要么 x A 要么 x A 二 者必居其一 如 所有的高个子 学习成绩好的人 这类对象没有明确的标准 因此不能构成集合 互异性 集合中的相同元素只能算作一个 即集合中没有重复的元素 如 x x2 2x 1 0 1 而不能写成 1 1 无序性 集合中的元素是无序的 如 1 2 与 2 1 是同一个集合 用心 爱心 专心3 两个集合相等 当且仅当它们的元素完全相同时 这两个集合才相等 5 元素与集合的关系 元素与集合的关系是 属于 与 不属于 的关系 某个对象 x 要么在集合 A 中 要么不在 集合 A 中 如果 x 在 A 中 记为 x A 读作 x 属于 A 如果 x 不在 A 中 记为 x A 读作 x 不属于 A 如 3 3 5 8 而 2 3 5 8 元素与集合之间是个体与整体的关系 与 不能随便用来表示集合与集合之间的关系 除非某个集合是另一个集合中的 元素 如 1 1 3 5 2 1 3 5 这样的写法是错误的 而 1 1 3 1 3 这种写 法是正确的 因为在这里集合 1 是集合 1 3 1 3 中的元素了 6 集合的表示法 集合的表示法有列举法 描述法 图示法 Venn 图法 列举法 将集合中的所有元素一一列举出来 写在大括号内 这种表示法叫做列举法 列举法适用于元素为有限个的集合或自然数集或其子集 如 Z 0 1 2 3 N 1 2 3 描述法 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫做描述法 如 不等式 x 1 的解集可以用描述法表示为 x x 1 大括号中 的前面是集合的代表元素 后面是元素所满足的条件 即集合中所有元素共同 具有的本质特性 有时 用 代替 如 a b a Q b Q 2 对于描述法需注意看清代表元素 如集合 x y 表示函数 y 的定义域 而集合 y y 则表示函数 y x 1x 1x 1 的值域 x 1 还有方程组Error 的解集是 Error 这个集合中元素的形式是有序数对 x y 其几何意义就是两曲线 f x y 0 与 g x y 0 的交点 如方程组Error 的解集应写成 Error 或 2 0 而不能写成 2 0 前者是单元集 即方程组只有唯一解Error 亦即两直 线只有唯一的公共点 P 2 0 而 2 0 是一个二元集 图示法 有时为了直观起见 用 框 或 圆 表示集合及其相互关系 这种表示法叫做 Venn 图法 如图所示 各种表示法是可以相互转化的 如 x x 3 x Z 0 1 2 3 2 集合之间的关系 1 子集 真子集 定义 如果对于集合 A 中的任何一个元素 x 都有 x B 则称集合 A 为集合 B 的子集 记作 A B 或 B A 特别地 如果 A 是 B 的子集 且在集合 B 中至少有一个元素 x A 则称 A 是 B 的真子集 记作 A B 或 B A 用心 爱心 专心4 如 Q R N Z 作为定义的特殊情况有 空集是任何非空集合的真子集 即 A 是任何集合的子 集 即 A 任何集合 A 都是它本身的子集 即 A A 注意 在子集的定义中 不能理解为子集 A 是 B 中的 部分元素 所组成的集合 子集与真子集的区别就在于 A B 允许 A B 或 A B 而 A B 是不允许 A B 的 所以若 A B 则 A B 不一定成立 若集合 A 的元素有 n 个 则集合 A 的子集有 2n 个 其证明方法需要用到排列组合知 识 如集合 A 0 1 2 的子集有 23 8 个 它们分别是 0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 其中真子集有 23 1 7 个 即集合 0 1 2 除外 其余的 7 个都为真子集 2 两个集合的相等关系 集合的相等 定义 对于两个集合 A B 如果 A B 同时 B A 那么 A B 注意 从两个集合相等的定义 可以看出 若两个集合相等 则两个集合的元素完 全相同 反之也成立 教材中用彼此互相包含来定义相等 实际上也给出了两个集合相等的证明方法 3 集合的运算 1 交集 定义 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做集合 A 与集合 B 的 交集 记作 A B 即 A B x x A 且 x B 用 Venn 图表示 图中阴影部分为 A B 根据定义 用 Venn 图不难验证下述交集的性质 用心 爱心 专心5 注意 根据定义可知 A B 是由集合 A 与集合 B 的公共元素所组成的集合 如果 A 与 B 没有公共元素 则 A B 这一条可以看成是对定义的补充 所以又有了 A 如果集合 B 不确定而已知 A B 则应分两种情况考虑 一种是 B 的情形 另一 种是 B 的情形 在实际解题过程中有不少同学常常忽略这种情形 2 并集 定义 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做集合 A 与集合 B 的 并集 记为 A B 即 A B x x A 或 x B 根据定义 用 Venn 图可以验证并集的性质 3 全集与补集 全集 定义 如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素 这个集合就可以看做 是一个全集 常用 U I 或 S 来表示 注意 全集具有相对性 如研究有理数或无理数时常取实数集为全集 补集 定义 一般地 设 S 是一个集合 A 是 S 的一个子集 即 A S 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合 叫做 S 的子集 A 的补集 或余集 记为 SA 即 SA x x S 且 x A 用 Venn 图表示 图中阴影部分为 SA 用心 爱心 专心6 根据定义及上图可以得出 S SA A S S SS 4 集合中元素的个数 card A card UA card U card A B card A card B card A B 容斥原理 card A B card A card A UB card B card B UA 典 例 对 对 碰 题型一集合的表示方法 例 1 用列举法表示下列集合 1 x Z x Z 6 2 x 2 x x a Z a 2 b N 且 b 3 a b 3 x y y 2x x N 且 1 x 4 解析 1 Z 2 x 是 6 的因数 故 2 x 1 或 2 x 2 或 2 x 3 或 6 2 x 2 x 6 即 x 1 3 4 0 1 5 4 8 x Z x Z 4 1 0 1 3 4 5 8 6 2 x 2 由 a Z a 2 知 a 1 0 1 由 b N 且 b 3 知 b 1 2 3 所以 的值为 a b 1 1 考虑到集合中元素的互异性 故原集合可用列举法表示为 0 1 1 1 1 2 0 2 1 2 1 3 0 3 1 3 1 0 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 x N 且 1 x 4 x 1 2 3 其对应的 y 值分别为 2 4 6 故原集合用列举法 可表示为 1 2 2 4 3 6 变式迁移 1 用列举法表示下列集合 1 24 的正约数 2 数轴上与原点的距离小于 1 的所有点 3 平面直角坐标系中 象限的角平分线上的点 4 所有非零偶数 5 所有被 3 除余数是 1 的数 解析 1 1 2 3 4 6 8 12 24 2 x x 1 3 x y y x 4 x x 2k k Z k 0 或 x Z 且 x 0 x 2 5 x x 3k 1 k Z 题型二 集合与集合之间的包含关系 用心 爱心 专心7 例 2 设集合 M x x k Z N x x k Z 则 k 2 1 4 k 4 1 2 A M N B M N C M N D M N 解析 M x x k Z k 2 1 4 x x k Z 2k 1 4 N x x k Z k 4 1 2 x x k Z k 2 4 2k 1 为奇数 而 k 2 为整数 M N 故选 B 答案 B 变式迁移 2 集合 M x x 3k 2 k Z P y y 3l 1 l Z S y y 6m 1 m Z 之间的 关系是 A S P M B S P M C S P M D S P M 答案 C 解析 集合 M 中的元素是被 3 除余 1 的数 集合 P 中的元素也是被 3 除余 1 的数 而 S 中 的元素是被 6 除余 1 的数 故 S P M 题型三 集合的相等 例 3 已知以 3 个实数为元素给出的集合用列举法表示时 既能表示为 1 a 的形式 又 b a 能表示为 0 a2 a b 的形式 试求实数 a b 的值 分析 设 P 1 a Q 0 a2 a b 依题意即是在 P Q 的条件下求实数 a b 的 b a 值 由于有限集集合的相等即是对应元素之间的一一相等 由此可以建立一个关于 a b 的 方程组 但建立这一方程组时要注意讨论 并要保证所求的 a b 使得集合中元素的互异性 得到满足 解析 依题意由 1 a 0 a2 a b b a 有 a 0 或 0 而 a 0 不成立 b a 0 即 b 0 b a 1 a 1 a 0 0 a2 a b 0 a2 a b a a2 1 a 1 当 a 1 时 a2 1 与集合中元素的互异性矛盾 故舍去 用心 爱心 专心8 当 a 1 时 1 a 0 a2 a b 0 1 1 b a 即所求的 a 1 b 0 变式迁移 3 已知集合 A x xy lg xy B 0 x y 若 A B 试求 x y 解析 因为 A B 0 B 所以 0 A 又因为 lg xy 有意义 所以 xy 0 同样也有 x 0 因 此只能得到 lg xy 0 故 xy 1 1 A 1 B 于是 x 1 或 y 1 当 x 1 时 x 1 若 x 1 时 则集合 A 中的两元素 x xy 都为 1 而这与元素的互 异性矛盾 若 x 1 时 由 xy 1 则 y 1 这时 A 1 1 0 B 0 1 1 满足题 设条件 当 y 1 时 由于 xy 1 所以 x 1 这也与集合 A 中的三元素要互异相矛盾 综合 知 x 1 y 1 说明 在此类题的解题过程中 我们应特别注意集合元素的互异性在解题中的作用 检验 增根 题型四 集合的运算 例 4 设全集是实数集 R M x 2 x 2 N x x 1 则 RM N 等于 A x x 2 B x 2 x 1 C x x 1 D x 2 x 1 解析 RM x x 2 或 x 2 RM N x x 2 解析 A 点评 进行不等式解集间的集合运算时 当遇到较为复杂情况时 要注意利用数轴来表示 各个不等式的解集 以便能直观地分析出各个集合之间的关系 变式迁移 4 已知 A x x2 ax b 0 B x x2 cx 15 0 且 A B 3 A B 3 5 求 a b c 的值 解析 A B 3 3 B 即 9 3c 15 0 c 8 B 3 5 A B A B 又 A B 3 A B A 3 此时必有 a2 4b 0 且 3 a 6 b 9 a 2 即 a 6 b 9 c 8 题型五 有关空集 例 5 已知集合 A x 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 若 B A 求实数 m 的取值范 围 解析 A x 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 且 B A 若 B 则 m 1 2m 1 解得 m 2 此时有 B A 若 B 则 m 1 2m 1 即 m 2 由 B A 得Error 解得 2 m 3 由 得 m 3 用心 爱心 专心9 实数 m 的取值范围是 m m 3 变式迁移 5 若集合 A x x2 x 6 0 B x mx 1 0 且 B A 求 m 的值 解析 A x x2 x 6 0 3 2 B A mx 1 0 的解为 3 或 2 或无解 当 mx 1 0 的解为 3 时 由 m 3 1 0 得 m 1 3 当 mx 1 0 的解为 2 时 由 m 2 1 0 得 m 1 2 当 mx 1 0 无解时 m 0 综上所述 m 或 m 或 m 0 1 3 1 2 题型六 集合中的转化思想 例 6 设 A x x2 4x 0 B x x2 2 a 1 x a2 1 0 1 若 A B B 求 a 的值 2 若 A B B 求 a 的值 解析 首先化简集合 A 得 A 4 0 1 由于 A B B 则有 B A 可知集合 B 或为 或为 0 4 0 4 若 B 由 4 a 1 2 4 a2 1 0 得 a 1 若 0 B 代入 得 a2 1 0 a 1 或 a 1 当 a 1 时 B x x2 4x 0 0 4 A 合题意 当 a 1 时 B x x2 0 0 A 也合题意 若 4 B 代入 得 a2 8a 7 0 a 7 或 a 1 当 a 1 时 中已讨论 合题意 当 a 7 时 B x x2 16x 48 0 12 4 不合题意 因此 a 7 由 得 a 1 或 a 1 2 因为 A B B 所以 A B 又 A 4 0 而 B 至多只有两个根 因此应有 A B 由 1 知 a 1 变式迁移 6 设 A x 2 x a B y y 2x 3 x A C z z x2 x A 且 B C C 求实 数 a 的取值范围 解析 B C C C B 又 A x 2 x a a 2 B y y 2x 3 x A 用心 爱心 专心10 y 1 y 2a 3 当 a 2 时 C z z x2 x A z 0 z a2 由 C B a2 2a 3 即 1 a 3 而 a 2 2 a 3 当 0 a 2 时 C z z x2 x A z 0 z 4 由 C B 4 2a 3 即 a 1 2 又 0 a 2 a 2 1 2 当 2 a 0 时 C z z x2 x A z a2 z 4 由 C B 4 2a 3 即 a 这与 2 a 0 矛盾 此时无解 1 2 综上有 a 的取值范围为 a a 3 1 2 题型七 集合的开放题 例 7 设 P 是一个数集 且至少含有两个数 若对任意 a b P 都有 a b a b ab P 除数 b 0 则称 P 是一个数域 例如有理数集 Q 是数域 有下列 a b 命题 数域必含有 0 1 两个数 整数集是数域 若有理数集 Q M 则数集 M 必为数域 数域必为无限集 其中正确的命题的序号是 把你认为正确的命题的序号都填上 解析 命题 设 P 是数域 a P 且 a 0 由数域定义知 a a P P a a 即 0 P 1 P 故命题 正确 命题 由 1 Z 2 Z 但 Z 知整数集不是数域 故命题 不正确 1 2 命题 设 M x x Q 或 x 则 Q M 取 a 2 b 有 a M b M 但 ab 2 M 故数集 M 不是数域 命题 不正确 命题 设 P 为数域 m P 且 m 0 则由数域定义知 2m P 3m P 4m P nm P n N 故集合 P 为无限集 命题 正 确 答案 变式迁移 7 定义 M N x x M 且 x N 则集合 M M N 用心 爱心 专心11 A M B N C M N D 答案 C 解析 由下图可知 M N 为如图所示的阴影部分 所以 M M N M N 教师备课资源 题型八 元素与集合的关系 例 8 设全集为 R A x x2 5x 6 0 B x x 5 a a 是常数 且 11 B 则有 A RA B R B A RB R C RA RB R D A B R 解析 A x x 1 或 x 6 又 11 B 可知 B 不是空集 a 0 B x 5 a x 5 a 由 11 5 a 知 a 6 因此 有 5 a 1 5 a 6 于是 A B R 答案 D 变式迁移 8 已知 3 A a 3 2a 1 a2 1 求 a 的值及对应的集合 A 解析 由 3 A 可知 a 3 3 或 2a 1 3 当 a 3 3 即 a 0 时 A 3 1 1 当 2a 1 3 即 a 1 时 A 4 3 2 题型九 有关子集和真子集的问题 例 9 写出集合 a b c 的所有的子集 并指出其中哪些是它的真子集 解析 子集为 a b c a b a c b c a b c 真子集为 a b c a b a c b c 点评 1 虽然问题简单 但在解题过程中常常漏掉空集与集合本身 一定要予以相当的关 注 2 若集合中含有 n 个元素 则其子集的个数为 2n 个 其真子集的个数为 2n 1 个 变式迁移 9 写出满足 a b A a b c d 的所有集合 A 解析 由题设的包含关系知 一方面 A 是集合 a b c d 的子集 与此同时又包含集合 a b A 中必至少要含有元素 a b 而 c d 两个元素可不含 含一个或含二个 所以满足条件的集合 A 有 a b a b c a b d a b c d 题型十 Venn 图的应用 用心 爱心 专心12 例 10 已知全集 U x N x 10 且 UA B 1 9 UA UB 6 8 A B 2 4 求集合 A 和 B 解析 依题意 全集 U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 作出 Venn 图如图所示 容易知道 A 2 3 4 5 7 B 1 2 4 9 点评 对于全集中的任意集合 A B C 用 Venn 图可以验证它们之间满足下列性质 1 A B C A B A C 2 A B C A B A C 变式迁移 10 已知全集 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 2 IA IB 1 9 IA B 4 6 8 求集合 A B 解析 用 Venn 图将题中给出的数填入相应的位置 3 5 7 三数只能填到图中 A IB 处 所以 A 2 3 5 7 B 2 4 6 8 方 法 路 路 通 1 集合语言是一种数学的符号语言 要学会正确地使用符号 U 等 要注意集合语言表达的准确性 2 处理集合问题时 要注意化简集合的表达式 如果集合中含有字母而使集合不确定时 要注意对字母进行讨论 尤其注意空集的特殊性以及解题后的检验 3 当集合间关系比较复杂时 一方面要用 Venn 图或数轴进行直观表示 另一方面要学会 用元素分析法寻求集合之间的联系与区别 要注意集合中补集思想的灵活运用 4 常用的运算性质及一些重要结论 1 A A A A A B B A 2 A A A A A A B B A A B C A B A C 3 A UA A UA U 4 C A C B C A B C A C B C A B 5 A B A A B A B A B A 6 U A B UA UB U A B UA UB 7 card A B card A card B card A B 8 A B B C 则 A C 5 掌握集合的概念关键是把握集合中元素的三大特性 确定性 互异性 无序性 要特别 注意集合中元素的互异性 在解题过程中最容易被疏忽 因此要对计算结果加以检验 以 确保结果的正确性 防止所得结果违反集合中元素的互异性 6 解答集合有关的问题应首先认清集合中的元素是什么 是数集还是点集 而后再进行相 关运算 以免混淆集合中元素的属性 例如 x x2 2x 3 0 表示方程 x2 2x 3 0 的根组成的集合 用心 爱心 专心13 x x2 2x 3 0 表示不等式 x2 2x 3 0 的解集 x y x2 2x 3 表示函数 y x2 2x 3 的定义域 y y x2 2x 3 表示函数 y x2 2x 3 的值域 x y y x2 2x 3 表示函数 y x2 2x 3 的图象上的点构成的集合是点集 总之 认清集合 一定要看清楚代表元素 然后是代表元素应满足的条件 7 分清集合中的两种隶属关系 即元素与集合 集合与集合的关系是正确掌握和解答集合 问题的先决条件 也是正确使用集合有关术语和符号的基础 请记住 元素与集合的关系 是 个体与集体的关系 而集合与集合的关系是 集体与集体的关系 8 如果一个集合中含有 n 个元素 那么这个集合的子集个数为 2n 非空子集的个数为 2n 1 非空真子集的个数为 2n 2 9 注意空集 的特殊性 在解题中 若未指明集合非空时