高中数学 圆的方程(1)教师用 苏教版必修2

用心 爱心 专心1 x y O C a b P x y 课题 圆的方程课题 圆的方程 1 1 一 教学目标 一 教学目标 一 知识与技能 1 认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法 2 掌握圆的标准方程 并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径 3 能根据所给条件 通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程 二 过程与方法 1 实际问题引入 师生共同探讨 2 探究曲线方程的基本方法 三 情感态度与价值观 培养用坐标法研究几何问题的兴趣 二 教学重点难点 二 教学重点难点 重点 圆的标准方程及其运用 难点 圆的标准方程的推导和运用 三 教学过程 三 教学过程 一 问题情景 一 问题情景 1 情境 河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥 其圆拱所在的曲线是 圆 我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢 2 问题 在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系 如果没有坐 1 标系 我们应该怎样建立坐标系 如何找到表示方程的等式 回忆初中 2 有关圆的定义 怎样用方程将圆表示出来 二 建构数学 二 建构数学 1 圆的标准方程 1 一般地 设点 P x y是以 C a b为圆心 r为半径 的圆上的任意一点 则 CPr 由两点间距离公式 得到 22 xaybr 即 222 xaybr 1 反过来 若点Q的坐标 00 xy是方程 1 的解 则 222 00 xaybr 即 22 00 xaybr 这说明点 00 Q xy到点C a b的距离为r即点Q在以 C a b为圆心 r为半径的圆上 方程 222 0 xay br r 叫做以 a b为圆心 r为半径的圆的标准方 程 2 当圆心在原点 0 0 时 圆的方程则为 222 0 xyrr 用心 爱心 专心2 3 特别地 圆心在原点且半径为 的圆通常称为单位圆 其方程为 22 1xy 三 数学运用 三 数学运用 例 1 分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径 1 22 2 3 7xy 2 22 5 4 18xy 3 22 1 3xy 4 22 144xy 5 22 4 4xy 教师指出 已知圆的标准方程 要能够熟练地求出它的圆心和半径 例 2 根据下列条件 求出符合条件的圆的标准方程 1 圆心为 2 3 A 半径长为5 2 圆心是 2 3 C 且经过原点 3 已知两点 4 9 P 6 3 Q 以线段PQ为直径 4 圆心在yx 上且过两点 2 0 0 4 5 以点 1 2 A为圆心 并且和x轴相切的 6 圆心在直线20 xy 上 且与直线10 xy 切于点 2 1 7 圆心在直线5380 xy 上 且与两坐标轴都相切 略解 1 22 2 3 25xy 2 22 2 3 13xy 3 22 5 6 10 xy 4 22 3 3 10 xy 5 22 1 2 4xy 6 22 122xy 7 22 4416xy 或 22 111xy 注 1 圆的标准方程有 a b r三个参数 因此求圆的方程需要三个独立的 条件 2 解题时注意圆的性质的应用 如垂径定理 过切点的半径垂直切 线等等 例 3 判断点 5 7 M 5 1 N 是否在例 2 1 的圆上 用心 爱心 专心3 x y 2 7 4 AOB 解 把点 5 7 M 代入方程得 2222 52 73 3425 即 点 5 7 M 的坐标适合方程 点 5 7 M 是这个圆上的点 把点 5 1 N 的坐标代入方程得 22 52 1 3 134 525 即点 5 1 N 坐标不适合圆的方程 点N不在这个圆上 问 点N在圆内还是圆外呢 圆内 结论 点与圆的位置关系 点与圆心的距离为d 半径为r 则 点在圆上 22 2 drxaybr 点在圆内 22 2 drxaybr 点在圆外 22 2 drxaybr 例 4 已知隧道的截面是半径为4m的圆的半圆 车辆只能在道路中心线 的一侧行驶 车辆宽度为3m 高为3 5m的货车能不能驶入这个隧道 解 以某一截面半圆的圆心为原点 半圆的直径AB所在的直线为x轴 建立直角坐标系 如图所示 那么半圆的方程为 22 16 0 xyy 将3x 代入得 2 1637933 5y 即离中心线3m处 隧道的高度低于货车的高度 因此 该货车不能驶入这个隧道 思考 是否有其他方法 析 货车截面对角线与半径比较 思考 假设货车的最大的宽度为am 那么货车要驶入高隧道 限高为多 少 略解 将xa 代入得 2 16ya 即限高为 2 16a m 用心 爱心 专心4 四 巩固练习 四 巩固练习 1 已知两点已知两点 12 4 9 6 3 PP 求以 12 PP为直径的圆方程 并判断 M 6 9 N 3 3 Q 5 3 与圆的位置关系 2 求经过坐标原点和 P 1 1 且圆心在直线 2x 3y 1 0 上的圆方程 3 若点 P 5a 1 12a 在圆 2 2 11xy