高二数学 双曲线的定义、标准方程及几何性质知识精讲 文 人教实验B版选修1-1

1 高二数学高二数学双曲线的定义 标准方程及几何性质知识精讲双曲线的定义 标准方程及几何性质知识精讲 文文 新新人教人教 实验实验 B B 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 双曲线的定义 标准方程及几何性质 二 本周学习目标 掌握双曲线的定义 标准方程 能根据条件利用待定系数法求双曲线方程 掌握双曲 线的几何性质 了解双曲线的初步应用 了解双曲线的参数方程 能根据方程讨论曲线的 性质 掌握直线与双曲线位置关系的判断方法 能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置 关系的一些问题 三 考点分析 一 双曲线的定义 1 第一定义 双曲线的定义 平面内与两定点 F1 F2距离的差的绝对值等于定长 2a 小于 F1F2 的点的轨迹叫双曲线 即 PF1 PF2 2a 2a F1F2 此定义中 绝对值 与 2a F1F2 不可忽视 若 2a F1F2 则轨迹是以 F1 F 2为端点的两条射线 若 2a F1F2 则轨迹不存在 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表 示双曲线的一支 2 第二定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e e 1 的动点 的轨迹叫双曲线 定点 F 叫双曲线的焦点 定直线 l 叫做双曲线的准线 e 叫双曲线的离心 率 双曲线有两个焦点 两条准线 该定义中的焦点和准线具有 对应性 即左焦点对应 左准线 右焦点对应右准线 二 双曲线的标准方程及几何性质 1 标准方程是指中心在原点 坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程 中心在原点 焦点在x轴上中心在原点 焦点在y轴上 标准方程 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 22 1 0 0 yx ab ab 图 形 顶 点 0 0 21 aAaA 0 0 21 aBaB 对称轴x轴 y轴 虚轴为b2 实轴为a2 焦 点 0 0 21 cFcF 0 0 21 cFcF 焦 距 0 2 21 ccFF 222 bac x O F1 P B2 B1 F2 x O F1F2 P y A2 A1 y 2 离心率 1 e a c e 离心率越大 开口越大 准 线 c a x 2 c a y 2 渐近线 x a b y x b a y 通 径ep a b 2 2 2 p为焦准距 焦半径 P在左支 02 01 exaPF exaPF P在右支 02 01 exaPF exaPF P在下支 02 01 eyaPF eyaPF P在上支 02 01 eyaPF eyaPF 焦准距 c b c a cp 22 2 判断椭圆方程中焦点位置的不同 是通过比较 x 2 y 2 系数的大小 而双曲线是看 x 2 y 2 的系数的正负号 焦点在系数为正的坐标轴上 简称为 焦点在轴看正号 3 双曲线的参数方程 中心在原点 对称轴为坐标轴的双曲线 22 22 1 xy ab 的参数方程为 sec tan xa yb 为参数 4 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴 实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 与 22 22 yx ba 1 互为共轭双曲线 其性质如下 1 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 2 2 2 2 b y a x 0 2 双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距 3 与 2 2 2 2 b y a x 1 具有相同渐近线的双曲线系方程为 2 2 2 2 b y a x k k 0 5 如果双曲线的渐近线为0 b y a x 时 它的双曲线方程可设为 0 2 2 2 2 b y a x 6 等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 其渐近线方程为xy 离 心率2 e 7 与椭圆类似 对于双曲线的焦点三角形有 1 21 2 2 1arccos rr b 2 2 cotsin 2 1 2 21 brrS 8 弦长公式 1 过焦点的弦长 AB e x1 x2 2 一般的弦长公式 类似 于椭圆 x1 x2分别为弦 PQ 的横坐标 弦 PQ 所在的直线方程为 y kx b 代入双曲线 方程整理得 Ax 2 Bx C 0 则PQ A ACB kxxk 2 11 2 2 21 2 若 3 y1 y2分别为弦 PQ 的纵坐标 则PQ 21 2 1 1yy k 9 双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 按a x0 y0 平移得1 2 2 0 2 2 0 b yy a xx 它的中 心 对称轴 焦点 准线方程都按a x0 y0 作了相应的平移 10 过双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 上一点 P x0 y0 的切线方程是1 2 0 2 0 b yy a xx 与椭圆 类似 11 斜率为 k 的弦的中点轨迹方程 设弦 PQ 的端点 P x1 y1 Q x2 y2 中点 M x0 y0 把 P Q 的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得 22 b ky a x 0 当 k a b 时 P Q 各在一支上 此时 M 的轨迹为两条不含端点的射线 当 k a b 时 P Q 在同一支上 此时 M 的轨迹为过原点的直线 12 以 P x0 y0 为中点的弦 AB 的端点为 A x1 y1 B x2 y2 其所在直线 的斜率 k 0 2 0 2 ya xb 直线 AB 的方程为 y y0 0 2 0 2 ya xb x x0 AB 的中垂线方程为 y y0 0 2 0 2 xb ya x x0 典型例题典型例题 例 1 求中心在原点 对称轴为坐标轴 且满足下列条件的双曲线方程 3 双曲线 C 的右焦点为 2 0 右顶点为 0 3 4 与双曲线 x2 2y2 2 有共同的渐近线 且经过点 2 2 5 过点 P 2 1 渐近线方程是 y 3x 解 解 1 设双曲线方程为 mx2 ny2 1 4 于是 设所求双曲线方程为 22 1 9 xy kk 或 22 1 9 yx kk 说明 说明 本例解法是待定系数法 1 中设法叫 统设 由此可知 统设方程 mx2 ny2 1 可以代表椭圆 双曲线这两种标准方程 2 中设法叫 分设 因由离心 率的条件不能区分实轴在 x 轴上还是在 y 轴上 故分别设出两种方程 3 设双曲线方程为 22 22 1 xy ab 0 0 ba 由已知得 1 2 2 3 2222 bbaca得再由 故双曲线 C 的方程为 1 3 2 2 y x 4 设所求双曲线方程为 x2 2y2 k 又由过点 2 2 代入 得 k 22 2 2 2 4 故所求双曲线方程为 x2 2y2 4 即 2y2 x2 4 说明 说明 容易证明 因此 如果已知上述各种形式的渐近线方程 则可统设双曲线方程为 22 22 xy k ab 其中 k 的符号调节实轴位置 k 调节轴长 5 分析 首先要确定所求双曲线的标准类型 可在图中判断一下点 P 2 1 在 渐近线 y 3x 的上方还是下方 如图所示 x 2 与 y 3x 交点为 Q 2 6 P 2 1 在 Q 2 6 的上方 所以焦点在 x 轴上 5 方法一 方法一 设双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 依题意 得 1 14 3 22 ba a b 解得 35 9 35 2 b a 所求双曲线方程为1 35 9 35 22 yx 方法二 方法二 由渐近线方程 3x y 0 可设所求双曲线方程为 2 2 9 1 y x 0 将点 P 2 1 的坐标代入 得 35 所求的双曲线方程为1 35 9 35 22 yx 例 2 直线 L 1yax 与曲线 22 31xy 有两个不同的交点 1 求 a 的取值范围 2 设交点为 A B 若以 AB 为直径的圆恰过原点 求 a 的值 解 解 1 由方程组 22 31 1 xy yax 可得 22 3 220axax 依题意 方程有两个实根 则 2 30 0 a 即 2 22 3 2 4 3 2 0 a aa 解得663aa 且 6 故所求 a 的范围是 6 3 3 3 3 6 2 设 A 11 x y B 22 xy 由题意可得 OA OB O 是坐标原点 则有 1212 0 x xy y 而 1212 1 1 y yaxax 2 1212 1a x xa xx 2 12121212 1 10 x xy yax xa xx 由 1 可知 1212 22 22 33 a xxx x aa 代入上式可得01 a3 a2 a a3 2 1a 22 2 解得1a 且满足 1 的条件 故所求 a 的值为1 反思 反思 直线和曲线的交点问题即是由它们组成的方程组的解的问题 而方程组的解往 往转化为一元二次方程的解 因此讨论一元二次方程的根的方法要非常熟练 其基本步骤 应为 观察二次项系数 看是否需要讨论 分析判别式 看是否有根 应用韦达定 理 虽不解方程却能观察根的情况 解题时要始终遵循以上原则 养成良好的思维习惯 为后面解决直线与圆锥曲线位置关系的问题打下坚实的基础 同时要逐步培养对含字母的 解析式的运算能力 例 3 设双曲线的顶点是椭圆 22 1 34 xy 的焦点 该双曲线又与直线 15360 xy 交于两点 A B 且 OA OB O 为坐标原点 1 求此双曲线的方程 2 求 AB 解 解 1 已知椭圆的焦点为 0 1 即是双曲线的顶点 因此设双曲线方程为 y2 mx2 1 m 0 A x1 y1 B x2 y2 的坐标是方程组 的两个解 由 消去常数项 得 7 2 设 AB 的中点为 M x0 y0 则在 Rt ABO 中 可知所求 AB 2 OM 22 22 12 12 1 1 33 xx yy 把 两式相减 得 3 1 xx yy xx yy 21 21 21 21 即得 3 1 y2 x2 3 15 0 0 说明 说明 本题的常规解法是 根系关系法 即由方程组 消去 y 得到 x 的二次 方程 由根与系数的关系得到 1212 xxx x 和 再解 OA OB 1212 0 x xy y 即可解 决问题 1 再由弦长公式求得 AB 但计算量较大 因此我们给出了上面的解法 在 1 中构造了以 KOA KOB为二根的二次方程 轻巧地求得了待定系数 m 在 2 中 用了 斜率关系法 即 3 1 xx yy xx yy 21 21 21 21 也省去了麻烦的计算 模拟试题模拟试题 答题时间 65 分钟 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 离心率为2是双曲线为等轴双曲线的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 2 过原点的直线l与双曲线 xy 22 43 1 交于两点 则直线l的斜率的取值范围是 A 3 2 3 2 B 3 2 3 2 C 3 3 3 3 D 3 2 3 2 3 若双曲线的两条渐近线是yx 3 2 焦点FF 12 260260 则它的两 条准线间的距离是 A 8 13 26B 4 13 26C 18 13 26D 9 13 26 4 若双曲线 x a y b 2 2 2 2 1 的实轴长 虚轴长 焦距成等差数列 则双曲线的离心率是 8 A 2B 3C 4 3 D 5 3 5 过 1 2 点与曲线49836680 22 xyxy 只有一个公共点的直线 A 不存在B 有两条C 有三条D 有四条 6 若双曲线 xy 22 6436 1 上一点P到它的左焦点的距离是 24 则P到右准线的距离是 A 32 或 96 5 B 32 或 32 5 C 32 5 D 32 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 设双曲线 x a y b ab 2 2 2 2 10 的半焦距为c 直线l过 ab 00两点 已知原点到直线l的距离为 3 4 c 则双曲线的离心率为 8 双曲线 xy 22 169 1 上有点PFF 12是双曲线的焦点 且 F PF 12 3 则 PF F 12面积为 9 双曲线 x a y b 2 2 2 2 1 的离心率为3 12 FF为焦点 P在双曲线上 且 PF F 12的 面积为4 3 又 F PF 12 60 则双曲线的方程是 10 已知双曲线的离心率为 2 FF 12 为左 右焦点 P 为双曲线上一点 且 F PF 12 3 F PF 12的面积为12 3 则焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 已知双曲线的对称轴平行于坐标轴 渐近线为 28 240 xyxy 一条 准线为x 3 5 5 求双曲线方程 12 分 12 双曲线的中心在原点 焦点在x轴上 且过点 P 3 2 过左焦点且斜率为 3 4 的 直线交两条准线于 M N 以 MN 为直径的圆过原点 求双曲线的方程 13 分 13 已知双曲线 C 的一个焦点在原点 与该焦点相应的准线方程为x 1 直线 l 与双曲 线 C 交于PP 12 两点 且P P 12 2 2 又线段P P 12的中垂线的方程为x y 0 求双 曲线 C 的方程 12 分 14 已知双曲线的中心在坐标原点 焦点在 x 轴上 过双曲线的右焦点且斜率为 3 5 的 直线交双曲线于 P Q 两点 若 OP OQ 且 PQ 4 求双曲线的方程 13 分 9 试题答案试题答案 1 C 2 B提示 焦点在y轴上 渐近线斜率为 3 2 3 A 提示 渐近线 xy 23 1 设双曲线 xy 22 49 ab 22 49 cab 222 1326 2 两准线间距离d a c 2 2 42 26 8 13 26 2 4 D提示 由2bac 得 42 222 baacc 即3250 22 caca 3250 5 3 2 ee e 5 A 提示 方程化为 xy 1 9 2 4 1 22 画出图形发现不存在符合条件的直线 6 B 提示 焦半径公式 i 当P在右半支时 PFexa 1 由24 5 4 8 64 5 xx 则P到右准线的距离d a c 64 5 32 5 2 ii 当P在左半支时 PFaexxx 1 248 5 4 128 5 所求d a c 2 128 5 32 7 2 提示 lbxayab ab ba c 0 3 4 22 又abc 222 43 163 1613 2 2224 24 abc acac ee e24 4 3 或 10 又e b a 22 12 故ee 2 42 8 9 3 提示 100 3 cos 2 8 21 2 2 2 1 21 PFPFPFPF PFPF sin PFPF SPFPF 12 12 36 1 23 9 3 9 xy 22 24 1 提示 由 b a ca a e 2 2 22 2 2 1 则ba 22 2 故双曲线方程 x a y a 2 2 2 2 2 1 又由Sb F PF PF F 12 212 2 cot 即2304 3 2 a cot ab 22 24 10 xy 22 412 1 11 解 由 280 240 xy xy 得交点 3 2 即为双曲线的中心 渐近线方程化为4320 22 xy 故可设双曲线方程为4320 22 xy 即 xy 3 4 2 1 22 abc 22 4 5 4 准线方程为x 3 4 5 4 由此得 4 双曲线方程为 x y 3 2 4 1 2 2 11