（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 圆锥曲线的综合应用随堂检测（含解析）

1 江苏专用 江苏专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第八章第第八章第 8 8 课时课时 圆锥曲线的圆锥曲线的 综合应用综合应用 随堂检测 含解析 随堂检测 含解析 1 抛物线y2 4x上的点到直线l x y 2 0 的距离最小 求P点坐标 解 设P x0 y0 则y 4x0 2 0 P到l的距离d x0 y0 2 2 1 4y2 0 y0 2 2 y0 2 2 4 4 2 当y0 2 时 d取最小值 此时x0 1 故P点坐标为P 1 2 y2 0 4 2 若点P x y 是椭圆 1 上的动点 求x y的最大值 x2 25 y2 16 解 由已知 2 2 1 可设x 5cos y 4sin 其中 0 2 x 5 y 4 x y 5cos 4sin sin 其中 tan 41 4 5 x y的最大值为 41 3 若直线y kx交椭圆 y2 1 于A B两点 且AB 求k取值范围 x2 410 解 由Error 得x2 不妨设 4 4k2 1 Error Error 由两点间距离公式得AB2 10 解得k2 16 1 k2 4k2 1 1 4 k 1 2 1 2 4 在双曲线 1 的上支上有三点A x1 y1 B x2 4 C x3 y3 它们与点 x2 5 y2 4 F 0 3 的距离成等差数列 1 求 y1 y3的值 2 证明 线段AC的垂直平分线经过某一定点 并求此点坐标 解 1 c 3 F 0 3 为双曲线的上焦点 设上准线为l1 分别过 4 5 A B C作x轴的垂线 它们分别与x轴交于A1 B1 C1 与l1交于A2 B2 C2 令e为离 心率 则有 e AA2 AF e BB2 BF e CC2 CF 于是有 2e BB2 2 BF AF CF e AA2 e CC2 即 2 BB2 AA2 CC2 从而 2 BB1 2 B1B2 2 BB2 A1A2 C1C2 AA2 CC2 y1 y3 即y1 y3 2y2 8 2 AC的中垂线方程为 y y1 y3 1 2 x1 x3 y1 y3 x 1 2 x1 x3 即y 4 x x1 x3 y1 y3 1 2 x2 1 x2 3 y1 y3 由于A C均在双曲线上 所以有 2 1 1 x2 1 5 y2 1 4 x2 3 5 y2 3 4 两式相减得 x x y y 1 52 12 3 1 42 12 3 从而有 y1 y3 8 10 x2 1 x2 3 y1 y3 5 4 5 4 代入 得y 4 x 5 x1 x3 y1 y3 易见此直线过定点D 0 9 A 级 双基巩固 1 椭圆M 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 P为椭圆M上任一点 且 x2 a2 y2 b2 的最大值的取值范围是 2c2 3c2 其中c 求椭圆离心率的取值范 PF1 PF2 a2 b2 围 解 2 a2 PF1 PF2 PF1 PF2 2 则 2c2 a2 3c2 2e2 1 3e2 e 3 3 2 2 椭圆M离心率的取值范围是 3 3 2 2 2 已知椭圆长轴 短轴及焦距之和为 8 求长半轴长的最小值 解 法一 a b c 4 b c 4 a 又b2 c2 a2 b2 c2 a2 b c 2 2 4 a 2 2 解得a 4 1 2 法二 由a2 b2 c2 设b acos c asin 则a cos sin 1 4 a 4 1 4 cos sin 1 4 2 12 此椭圆长半轴长的最小值为 4 1 2 3 3 如图所示 曲线G的方程为y2 2x y 0 以原点为圆心 以t t 0 为半径的圆分别 与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B 直线AB与x轴相交于点C 1 求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式 2 设曲线G上点D的横坐标为a 2 求证 直线CD的斜率为定值 解 1 由题意知 A a 2a 因为 OA t 所以a2 2a t2 由于t 0 故有 t a2 2a 由点B 0 t C c 0 的坐标知 直线BC的方程为 1 x c y t 又因点A在直线BC上 故有 1 a c 2a t 将 代入上式 得 1 a c 2a a a 2 解得c a 2 2 a 2 2 因为D a 2 所以直线CD的斜率为kCD 2 a 2 2 a 2 a 2 c 2 a 2 a 2 a 2 2 a 2 1 2 a 2 2 a 2 所以直线CD的斜率为定值 4 如图 A B是定抛物线y2 2px p 0 是定值 的两个定点 O是坐标原点且 0 OA OB 求证直线AB必过定点 并求出这个定点 解 显然OA OB必有斜率且斜率均不为零 设OA的斜率为k 则OA y kx 当k 1 时 由Error 得A 2p k2 2p k 同理B 2pk2 2pk 4 kAB 2p k 2pk 2p k2 2pk2 k 1 k2 AB的方程为 y 2pk x 2pk2 整理得 k 1 k2 yk2 2p x k y 0 令Error 即Error 则 对于一切实数k均成立 故直线AB过定点 2p 0 当k 1 时 AB x轴 其方程为x 2p 它也经过点 2p 0 故直线AB必过定点 2p 0 5 在平面直角坐标系xOy中 已知圆心在第二象限 半径为 2的圆C与直线y x 2 相切于坐标原点O 椭圆 1 与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 x2 a2 y2 9 1 求圆C的方程 2 试探究圆C上是否存在异于原点的点Q 使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF 的长 若存在 请求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 设圆心坐标为 m n m0 则该圆的方程为 x m 2 y n 2 8 已知该圆与直线y x相切 那么圆心到该直线的距离等于圆的半径 则 2 即 m n 4 m n 22 又圆与直线切于原点 将点 0 0 代入得m2 n2 8 联立方程 和 组成方程组解得Error 故圆的方程为 x 2 2 y 2 2 8 2 a 5 a2 25 则椭圆的方程为 1 其焦距c 4 右焦点为 x2 25 y2 925 9 4 0 那么OF 4 要探求是否存在异于原点的点Q 使得该点到右焦点F的距离等于 OF 的长度 4 我们可以转化为探求以右焦点F为圆心 半径为 4 的圆 x 4 2 y2 16 与 1 所求的圆的交点数 通过联立两圆的方程解得x y 即存在异于原点的点Q 4 5 12 5 使得该点到右焦点F的距离等于OF的长 4 5 12 5 6 已知中心在原点 焦点在坐标轴上的椭圆过M N两点 1 4 2 3 3 2 2 2 1 求椭圆的方程 2 在椭圆上是否存在点P x y 使P到定点A a 0 其中 0 a0 n 0 且m n 椭圆过M N两点 Error Error 椭圆方程为 1 x2 9 y2 4 2 设存在点P x y 满足题设条件 AP 2 x a 2 y2 又 1 x2 9 y2 4 y2 4 1 x2 9 AP 2 x a 2 4 2 4 a2 x 3 1 x2 9 5 9 x 9 5a 4 5 若 3 即 03 即 a0 则由 4 s2 8 s 2 故 ABC的外接圆的方程为x2 y 2 2 8 3 假设存在这样的点M m n 设点P x x t 因为恒有PM PQ 所以 x m 2 x t n 2 x2 x t 2 2 8 即 2m 2n 4 x m2 n2 2nt 4t 4 0 对x R R 恒成立 从而Error 消去m 得n2 t 2 n 2t 4 0 因为方程 的判别式为 t2 4t 12 所以 当 2 tb 0 x2 a2 y2 b2 一个焦点F 2 0 c 2 即a2 b2 4 点P 3 在椭圆 1 a b 0 上 2 x2 a2 y2 b2 1 9 a2 2 b2 由 解得a2 12 b2 8 所以所求椭圆的标准方程为 1 x2 12 y2 8 3 由题意得方程组 Error 解得Error 或Error 6 Q 0 2 3 3 2 PQ 2 3 3 PM PQ 2 3 3 3 OM OP PM 22 OM 3 3 2 2 3 2 2 27 2 30 11 27 5 9 2 8 3 当 时 最小 5 9 OM 2 如图 已知 O 过定点A 0 p p 0 圆心O 在抛物线x2 2py上运动 MN为圆 O 在x轴上截得的弦 令AM d1 AN d2 MAN 1 当O 点运动时 MN是否有变化 请证明你的结论 2 求 的最大值及取得最大值时的 的值 d1 d2 d2 d1 解 设圆心O x0 y0 则圆O 的方程为 x x0 2 y y0 2 x y0 p 2 2 0 令y 0 得x2 2x0 x x p2 解得xM x0 p xN x0 p 2 0 所以MN xN xM 2p 即MN是定值 2 d x0 p 2 p2 d x0 p 2 p2 d1d2 所以 2 12 2x4 0 4p4 d1 d2 d2 d1 d2 1 d2 2 d1d2 2 2x2 0 4p2 x4 0 4p4 2x2 0 4p2 1 2 x2 0 2p2 22 当且仅当x 2p2时 等式成立 即x0 p y0 p 时 取得最大值 2 02 d1 d2 d2 d1 此时 MO N 90 所以 45 3 一束光线从点F1 1 0 出发 经直线l 2x y 3 0 上一点P反射后 恰好穿 过点F2 1 0 1 求P点的坐标 2 求以F1 F2为焦点且过点P的椭圆C的方程 3 由 2 设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点 试问在x轴上是否存在两 定点A B 使得直线QA QB的斜率之积为定值 若存在 请求出定值 并求出所有满足 条件下的定点A B的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 设F1关于l的对称点为F m n Error 解得m n 即F 9 5 2 5 9 5 2 5 故直线F2F的方程为x 7y 1 0 由Error 解得P 4 3 1 3 2 因为PF1 PF 根据椭圆定义 得 2a PF1 PF2 PF PF2 FF2 7 2 所以a 9 5 1 2 2 5 0 222 又c 1 所以b 1 所以椭圆C的方程为 y2 1 x2 2 3 假设存在两定点为A s 0 B t 0 使得对于椭圆上任意一点Q x y 除长轴两 端点 都有kQA kQB k k为定值 即 k 将y2 1 代入并整理得 y x s y x t x2 2 x2 k s t x kst 1 0 由题意 式对任意x 恒成立 所 k 1 2 22 以Error 解之得Error 或Error 所以有且只有两定点 0 0 使得kQA kQB为定值 22 1 2 4 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 过右顶点A的直线l与椭圆C相交 y2 a2 x2 b2 6 3 于A B两点 且B 1 3 1 求椭圆C和直线l的方程 2 记曲线C在直线l下方部分与线段AB所围成的平面区域 含边界 为D 若曲线 x2 2mx y2 4y m2 4 0 与D有公共点 试求实数m的最小值 解 1 由离心率e 得 6 3 a2 b2 a 6 3 即a2 3b2 又点B 1 3 在椭圆C 1 上 即 1 y2 a2 x2 b2 3 2 a2 1 2 b2 解 得a2 12 b2 4 故所求椭圆方程为 1 y2 12 x2 4 由A 2 0 B 1 3 得直线l的方程为y x 2 2 曲线x2 2mx y2 4y m2 4 0 即圆 x m 2