（新课程）高中数学《2．3．1　双曲线及其标准方程》教案 新人教A版选修2-1VIP

1 2 2 2 2 1 1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 知识与技能目标知识与技能目标 理解双曲线的概念 掌握双曲线的定义 会用双曲线的定义解决实际问题 理解双曲 线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法 了解借助信息技术探究动点轨迹的 几何画板 的制作或操作方法 过程与方法目标过程与方法目标 1 预习与引入过程 预习教科书 56 页至 60 页 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时 观察平面截圆 锥的截口曲线 截面与圆锥侧面的交线 是什么图形 又是怎么样变化的 特别是当截面 与圆锥的轴线或平行时 截口曲线是双曲线 待观察或操作了课件后 提出两个问题 第 一 你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线 第二 你能举出现实生 活中双曲线的例子 当学生把上述两个问题回答清楚后 要引导学生一起思考与探究 P56 页上的问题 同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条 一条约 10cm 长 另一条约 6cm 每 条一端结一个套 和笔尖带小环的铅笔一枝 教师准备无弹性细绳子两条 一条约 20cm 另一条约 12cm 一端结个套 另一端是活动的 图钉两个 当把绳子按同一方向穿入笔 尖的环中 把绳子的另一端重合在一起 拉紧绳子 移动笔尖 画出的图形是双曲线 启 发性提问 在这一过程中 你能说出移动的笔小 动点 满足的几何条件是什么 板书 2 2 1 双曲线及其标准方程 2 新课讲授过程 i 由上述探究过程容易得到双曲线的定义 板书 把平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数 小于 的 1 F 2 F 12 F F 点的轨迹叫做双曲线 hyperbola 其中这两个定点叫做双曲线的焦点 两定点间的距离 叫做双曲线的焦距 即当动点设为时 双曲线即为点M 集 P 12 2M MFMFa ii 双曲线标准方程的推导过程 提问 已知椭圆的图形 是怎么样建立直角坐标系的 类比求椭圆标准方程的方法由 学生来建立直角坐标系 无理方程的化简过程仍是教学的难点 让学生实际掌握无理方程的两次移项 平方整理 的数学活动过程 类比椭圆 设参量的意义 第一 便于写出双曲线的标准方程 第二 的关b a b c 系有明显的几何意义 类比 写出焦点在轴上 中心在原点的双曲线的标准方程y 22 22 10 0 yx ab ba iii 例题讲解 引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 双曲线上一点到 距 1 5 0F 2 5 0FP 1 F 2 F 离差的绝对值等于 求双曲线的标准方程 6 分析分析 由双曲线的标准方程的定义及给出的条件 容易求出 a b c 2 补充补充 求下列动圆的圆心的轨迹方程 与 内切 且MC 2 2 22xy 过点 与 和 都外切 与 2 0A 1 C 2 2 11xy 2 C 2 2 14xy 外切 且与 内切 1 C 2 2 39xy 2 C 2 2 31xy 解题剖析解题剖析 这表面上看是圆与圆相切的问题 实际上是双曲线的定义问题 具体解 设动 圆的半径为 Mr 与 内切 点在 外 因此有CMAC2MCr MAr 点的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支 即的轨迹方2MAMC MCAM 程是 2 2 2 212 7 y xx 与 均外切 因此有M 1 C 2 C 1 1MCr 2 2MCr 点的轨迹是以 为焦点的双曲线的上支 的轨迹方 21 1MCMC M 2 C 1 CM 程是 2 2 43 41 34 x yy 与外切 且与内切 因MA 1 CAMA 2 CA 1 3MCr 2 1MCr 此 点的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支 的轨迹 12 4MCMC M 1 C 2 CM 方程是 22 12 45 xy x 例 2 已知 两地相距 在地听到炮弹爆炸声比在地晚 且声速AB800mAB2s 为 求炮弹爆炸点的轨迹方程 340 m s 分析分析 首先要判断轨迹的形状 由声学原理 由声速及 两地听到爆炸声的时AB 间差 即可知 两地与爆炸点的距离差为定值 由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的AB 轨迹方程 扩展扩展 某中心接到其正东 正西 正北方向三个观察点的报告 正西 正北两个观察点 同时听到了一声巨响 正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 已知各观察4s 点到该中心的距离都是 试确定该巨响发生的位置 假定当时声音传播的速度为1020m 相关点均在同一平面内 340 m s 解法剖析解法剖析 因正西 正北同时听到巨响 则巨响应发生在西北方向或东南方向 以因正东 比正西晚 则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上 4s 如图 以接报中心为原点 正东 正北方向分别为轴 轴方向 建Oxy 立直角坐标系 设 分别是西 东 北观察点 则 ABC 1020 0A 1020 0B 0 1020C 设为巨响发生点 同时听到巨响 所在直线为 P x yACOPyx 3 又因点比点晚听到巨响声 由双曲线定义知 BA4s 43401360PBPAm 点在双曲线方程为680a 1020c 340 5b P 22 22 1 6805 340 xy 联立 求出点坐标为 即巨响在正西北 680 x P 680 5 680 5P 方向处 680 10m 探究探究 如图 设 的坐标分别为 直线 相交于点 AB 5 0 5 0AMBMM 且它们的斜率之积为 求点的轨迹方程 并与 2 1 例 3 比较 有什么发现 4 9 M 探究方法 若设点 则直线 的斜率就可以用含的式子表示 M x yAMBM x y 由于直线 的斜率之积是 因此 可以求出之间的关系式 即得到点AMBM 4 9 x y 的轨迹方程 M 情感 态度与价值观目标情感 态度与价值观目标 通过课件 的展示与操作 必须让学生认同 与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲a 面所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线 必须让学生认同与体会 双曲线的定义 及特殊情形当常数等于两定点间距离时 轨迹是两条射线 必须让学生认同与理解 已知 几何图形建立直角坐标系的两个原则 及引入参量的意义 培养学生用对称 22 bca 的美学思维来体现数学的和谐美 让学生认同与领悟 像例 1 这基础题配备是必要的 但 对定义的理解和使用是远远不够的 必须配备有一定灵活性 有一定的思维空间的补充题 例 2 是典型双曲线实例的题目 对培养学生的辩证思维方法 会用分析 联系的观点解决 问题有一定的帮助 但要准确判定爆炸点 必须对此题进行扩展 培养学生归纳 联想拓 展的思维能力 能力目标能力目标 1 想象与归纳能力想象与归纳能力 能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际 例子 能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义 能正确且直观地绘作 图形 反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示 2 思维能力思维能力 会把几何问题化归成代数问题来分析 反过来会把代数问题转化 为几何问题来思考 培养学生的数形结合的思想方法 培养学生的会从特殊 性问题引申到一般性来研究 培养学生的辩证思维能力 3 实践能力实践能力 培