高二数学 第一章第1-2节命题及其关系和充分条件与必要条件知识精讲（理） 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心1 高二数学选修高二数学选修 2 1 第一章第第一章第 1 2 节命题及其关系和充分条件与必要节命题及其关系和充分条件与必要 条件人教新课标条件人教新课标 A 版 理 版 理 一 学习目标 一 学习目标 1 理解命题的概念 会判断一个命题的真假 并会将一个命题改写成 若 则 的pq 形式 2 理解命题的原命题 逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 3 正确理解充分条件 必要条件及充要条件的概念 二 重点 难点 二 重点 难点 重点 会把命题改写为 若 p 则 q 的形式 四种命题的概念及相互关系 理解充分 条件和必要条件的概念 难点 对命题概念的理解 四种命题的相互关系 理解必要条件的概念 三 考点分析 三 考点分析 本节内容的学习主要掌握命题的概念 真假命题的判定 以及四种命题间的关系 深 刻体会互为逆否命题的两个命题的真值相同在学习中的运用 高考对于这部分内容中的充 分条件和必要条件的考查一直都有 因此我们要理解其概念 并能对此进行简单的运用 一 命题的基本概念 命题 可以判断真假的陈述句叫做命题 也就是说 判断一个语句是不是命题关键是 看它是否符合 是陈述句 和 可以判断真假 这两个条件 真命题 判断为真的语句叫做真命题 假命题 判断为假的语句叫做假命题 命题的否定 就是对命题的结论加以否定 二 四种命题的概念 原命题逆命题否命题逆否命题 若 则pq若 则qp若 则 p q若 则 q p 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题 一般地 对于是互逆命题互逆命题的两个命题 其中一个命题叫做原命题原命题 另一个命题叫做原 命题的逆命题逆命题 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结 论的否定 那么我们把这样的两个命题叫做互否命题互否命题 其中一个命题叫做原命题原命题 另一个 命题叫做原命题的否命题否命题 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件 的否定 那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题互为逆否命题 其中一个命题叫做原命题原命题 另一 个命题叫做原命题的逆否命题逆否命题 用心 爱心 专心2 四种命题的相互关系图 三 充分条件和必要条件的概念 1 若 我们就说是的充分条件 是的必要条件 pq pqqp 2 一般地 如果既有 又有 就记作 此时 我们说是的充pq qp pq pq 分必要条件 简称充要条件 3 一般地 若 p q 但 q p 则称 p 是 q 的充分但不必要条件 若 p q 但 q p 则称 p 是 q 的必要但不充分条件 若 p q 且 q p 则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 四 重要结论 1 互为逆否命题的两个命题真值相同 原命题与它的逆否命题等价 否命题与逆命题等 价 2 对于充分条件 必要条件的判定 我们需要将命题转化为集合 充分利用集合的关系 进行判定 可以更加直观形象 3 命题的否定和否命题是两个不同的概念 知识点一 命题的基本概念以及四种命题的相互关系知识点一 命题的基本概念以及四种命题的相互关系 例例 1 判断下列语句中哪些是命题 是真命题还是假命题 1 空集是任何集合的子集 2 若整数是素数 则是奇数 aa 3 2 小于或等于 2 4 对数函数是增函数吗 5 215x 6 平面内不相交的两条直线一定平行 7 明天下雨 思路分析思路分析 题意分析 题意分析 本题考查命题的概念以及命题真假的判定 解题思路 解题思路 判断一个语句是不是命题关键看它是否符合 是陈述句 和 可以判断真假 这两个条件 解答过程解答过程 1 首先该语句是陈述句 能判定真假 所以是命题 再根据集合的有关知识 可以 判定该命题是真命题 2 该语句是陈述句 能判定真假 是命题 由于素数是大于 1 且只能被 1 及其本 用心 爱心 专心3 身整除的整数 但不一定是奇数 例如 2 是素数 但是偶数 所以是假命题 3 该语句是陈述句 能判定真假 是命题 而且我们知道 2 不大于 2 因此是真命 题 4 该语句不是陈述句 因此不是命题 5 该语句虽然是陈述句 但不能判定真假 因此不是命题 6 该语句是陈述句 能判定真假 是命题 结合平面内的两直线的位置关系分析 显然是真命题 7 该语句虽然是陈述句 但不能判定真假 因此不是命题 题后思考题后思考 命题的判定条件 是否为陈述句 是否可以判定真假 只要抓住这 两个条件就可以判断语句是不是命题了 例例 2 将下列命题改写成 若 则 的形式 pq 1 两条直线相交有且只有一个交点 2 对顶角相等 3 全等的两个三角形面积也相等 思路分析思路分析 题意分析 题意分析 考查命题的改写 解题思路 解题思路 先找到原命题的条件和结论 再将其改写为 若 则 的形式 解答过程解答过程 1 若两条直线相交 则它们有且只有一个交点 2 若两个角是对顶角 则它们相等 3 若两个三角形全等 则它们的面积相等 例例 3 证明 若 p2 q2 2 则 p q 2 思路分析思路分析 题意分析 题意分析 如果直接证明这个命题比较困难 可考虑将其转化为对它的逆否命题的证 明 解题思路 解题思路 将 若 p2 q2 2 则 p q 2 视为原命题 要证明原命题为真命题 可以考虑证明它的逆否命题 若 p q 2 则 p2 q2 2 为真命题 从而达到证明原命题 为真命题的目的 解答过程解答过程 证明 若 p q 2 则 p2 q2 p q 2 p q 2 p q 2 2 2 2 1 2 1 2 1 所以 p2 q2 2 原结论成立 题后思考题后思考 通过证明可以看出 原命题的逆否命题为真命题 从而证明出原命题为 真命题 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性 所以在直接证明某一个命题为真命 题有困难时 可以通过证明它的逆否命题为真命题 来间接地证明原命题为真命题 例例 4 写出下列命题的逆命题 否命题及逆否命题 并判断它们的真假 1 函数有两个零点 2 32yxx 2 若 则 ab acbc 3 若 则全为 0 22 0 xy x y 思路分析思路分析 用心 爱心 专心4 题意分析 题意分析 本题考查四种命题的表示 以及它们真值的判定 解题思路 解题思路 先将每个命题都改写为 若 则 的形式 再结合四种命题的定义 进行书写 解答过程解答过程 1 若函数 那么这个函数有两个零点 2 32yxx 逆命题 若一个函数有两个零点 那么这个函数为 假命题 2 32yxx 否命题 若函数不是 那么这个函数没有两个零点 假命题 2 32yxx 逆否命题 若一个函数没有两个零点 则这个函数不是 真命题 2 32yxx 2 直接根据命题的定义写出即可 注意到 大于 的否定是 小于等于 即可 4 个命题都真 3 同理可以写出 注意到 全 的否定为 不全 等于的否定为 不等于 4 个 命题都真 题后思考题后思考 要写出四种命题 关键是先把原命题写为 若 则 的形式 小结小结 1 会判定命题的真假 并能把命题改写为 若 则 的形式 同时能体会互为逆 否命题的两个命题真值相同的运用 2 四种命题中真值的个数为偶数 0 2 4 知识点二 充分条件和必要条件的判定和运用知识点二 充分条件和必要条件的判定和运用 例例 5 下列 若 p 则 q 形式的命题中 哪些命题中的 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必 要条件 1 若 x 1 则 x2 4x 3 0 2 若 f x x 则 f x 为增函数 3 若 x 为无理数 则 x2为无理数 思路分析思路分析 题意分析 题意分析 本题考查充分 必要条件的判定 解题思路 解题思路 要判断 p 是否是 q 的充分条件 就要看从 p 能否推出 q 解答过程解答过程 命题 1 2 由条件都能推出结论 因此满足 p 是 q 的充分条件的要求 且 q 是 p 的必要条件 命题 3 不满足 p 是 q 的充分条件 但 q 是 p 的必要条件 题后思考题后思考 如果要否定一个结论 只要举出一个反例即可 例例 6 从 与 中选出适当的符号填空 1 2 1x 1x ab 11 ab 3 4 22 20aabb ab A A 思路分析思路分析 题意分析 题意分析 考查符号 与 的正确使用 解题思路 解题思路 利用集合的思想来判定两者的关系 解答过程解答过程 第 1 小题 如 x 0 5 满足已知 但不能推出 故填1x 1x 第 2 小题 已知 如 0 1 则就不能推出 故填 ab 11 ab 第 3 小题 故填写 22 20aabb 0 2 ba ab 第 4 小题 说明集合 A 是空集的子集 则集合中只有其本身 故选 A A 用心 爱心 专心5 故填 题后思考题后思考 该例题也可运用数轴法 不等式的性质 以及集合的关系直接判定 同 时要明确若要否定一个命题 只需举出一个反例即可 例例 7 指出下列各组命题中 是的什么条件 在 充分不必要 必要不充分 pq 充要 既不充分也不必要 中选一种作答 1 在中 ABC p AB sinsinqAB 2 对于实数 或 x y 8p xy 2q x 6y 3 在中 ABC sinsinpAB tantanqAB 4 已知 x yR 22 1 2 0pxy 1 2 0qxy 思路分析思路分析 题意分析 题意分析 本题考查对充分条件与必要条件概念的判定 解题思路 解题思路 可根据 若 p 则 q 与 若 q 则 p 的真假进行判断 解答过程解答过程 1 在中 有正弦定理知道 ABC sinsin ab AB 又由sinsinABab abAB 所以 即是的的充要条件 sinsinABAB pq 2 因为命题 若且 则 是真命题 故 q p 命题 若2x 6y 8xy 则且 是假命题 故 p 不能推出 q 所以 q 是 p 的充分不必8xy 2x 6y 要条件 即 是的充分不必要条件 pq 3 取 不能推导出 取 不能推导出120 30AB pq30 120AB q 所以 是的既不充分也不必要条件 ppq 4 因为 或 1 2 P 1Qx yx 2 y PQ 所以 是的充分非必要条件 pq 题后思考题后思考 以上各小题采用的是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的 方法 那么 如果由命题不能很好判断的话 我们可以换一种方式 即根据互为逆否命题 的等价性 利用它的逆否命题来进行判断 例例 8 判断方程组是的什么条件 并说明理由 4 4 2 2 思路分析思路分析 题意分析 题意分析 本例题考查结合不等式的性质进行条件的逻辑判定 解题思路 解题思路 设 p q 结合充分条件和必要条件的定义判定 4 4 2 2 解答过程解答过程 但反之却不一定成立 例如取 1 5 显然满足 2 2 4 4 4 4 用心 爱心 专心6 但不满足 所以是的必要但不充分条件 2 2 4 4 2 2 题后思考题后思考 对于复杂的命题的判定既要结合所学的相关知识 同时又要能对抽象问 题采用选取特殊值的方法来判定 小结小结 要判定 p 是 q 的什么条件 那么首先要弄清楚谁是 p 谁是 q 然后结合定义 进行判定 如果把 p q 弄反了 结论也就反了 另外 我们经常会运用集合的思想解决该 类试题 对于这部分内容的学习 我们主要掌握四种命题的关系 以及能充分利用逆否命题真 值相同 来解决一些判定命题真假的问题 同时我们还要掌握充分条件和必要条件的判定 这也是高考中必考的内容 一 预习新知一 预习新知 同学们 我们生活中熟悉的 或 且 非 三个字在数学中又充当了什么样的角色 呢 二 预习点拨二 预习点拨 探究与反思 探究任务一 简单的逻辑联结词 反思 1 或 且 非 的含义是什么 它们与集合中的 交 并 补 有联系吗 2 如何判定复合命题的真值 探究任务二 全称量词和存在量词 反思 1 什么是全称量词 什么是全称命题 2 什么是存在量词 什么是特称命题 答题时间 45 分钟 一 选择题 1 函数 f x x x a b 是奇函数的充要条件是 A ab 0B a b 0C a bD a2 b2 0 2 至多有三个 的否定为 A 至少有三个B 至少有四个 C 有三个 D 有四个 3 a 和 b 都不是偶数 的否定形式是 A a 和 b 至少有一个是偶数 B a 和 b 至多有一个是偶数 C a 是偶数 b 不是偶数 D a 和 b 都是偶数 4 某食品的广告词为 幸福的人们都拥有 初听起来 这似乎只是普通的赞美说词 然而它的实际效果非常大 这句话的等价命题是 用心 爱心 专心7 A 不拥有的人们不一定幸福 B 不拥有的人们可能幸福 C 拥有的人们不一定幸福 D 不拥有的人们不幸福 5 条件 p q 则条件 p 是条件 q 的 1 x1 y2 yx1 xy A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 2x2 5x 3 0 的一个必要不充分条件是 A x 3B x 0 C 3 x D 1 x 6 2 1 2 1 2 1 7 设原命题 若 a b 2 则 a b 中至少有一个不小于 1 则原命题与其逆命题的真假 情况是 A 原命题真 逆命题假B 原命题假 逆命题真 C 原命题与逆命题均为真命题D 原命题与逆命题均为假命题 二 填空题 8 下列命题中 为真命题 填序号 A B A 成立的必要条件是 A B 若 x2 y2 0 则 x y 全为 0 的否命题 全等三角形是相似三角形 的逆命题 圆内接四边形对角互补 的逆否命题 9 设 p q 是两个命题 若 p 是 q 的充分不必要条件 那么非 p 是非 q 的 条 件 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 10 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 1 矩形的对角线相等且互相平分 2 正偶数不是质数 11 是否存在实数 使得是的充分条件 m20 xm 2 230 xx 2 是否存在实数 使得是的必要条件 m20 xm 2 230 xx 12 设 0 a b c 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不同时大于 4 1 用心 爱心 专心8 一 选择题 1 D 解析 若 a2 b2 0 即 a b 0 时 f x x x 0 0 x x f x a2 b2 0 是 f x 为奇函数的充分条件 又若 f x 为奇函数即 f x x x a b x x a b 则必有 a b 0 即 a2 b2 0 a2 b2 0 是 f x 为奇函数的必要条件 2 B 解析 这是一个含有量词的命题的否定 3 A 解析 对 a 和 b 都不是偶数 的否定形式为 a 和 b 不都不是偶数 等价于 a 和 b 至少有一个是偶数 4 D 解析 该题考查的是互为逆否命题的真值相同 也就是在选项中找到该命题的逆 否命题 5 A 解析 由我们学过的不等式的性质可得 但满足条件 q qp 1 0 100 yx 但不满足 故正确选项为 B 2 yx1 xy1y 1x p 6 D 解析 由 2x2 5x 3 0 解得 x 3 记为 P 则 PA B P B 是 P 2 1 的充分非必要条件 CP C 既不是 P 的充分条件 也不是 P 的必要条件 DP P D D 是 P 的必要但不充分条件 7 A 解析 如果 a 1 2 b 0 3 则 a b 1 5 2 逆命题为假 二 填空题 8 解析 本题是一道开放性试题 考查四种命题间的关系及充要条件的应用 A B AAB 但不能得出 A B 不正确 否命题为 若 x2 y