高中数学 第二章第4节直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲 理 人教新课标A版选修2-1

1 高二选修高二选修 2 12 1 第二章第第二章第 4 4 节直线与圆锥曲线的位置关系数学人教新节直线与圆锥曲线的位置关系数学人教新 课标课标 A A 版 理 版 理 一 学习目标 一 学习目标 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式 掌握弦中点轨迹的求法 能 利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 掌握对称问题的求法 二 重点 难点 二 重点 难点 重点 重点 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式 掌握弦中点轨迹的求 法 能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点 难点 圆锥曲线的有关范围与最值问题 三 考点分析 三 考点分析 1 加强对直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习 直线与圆锥曲线的位置关系问题一直为高考的热点 这类问题常涉及到圆锥曲线的性 质和直线的基本知识 线段的中点 弦长 垂直问题 因此在分析这类问题时应利用数形 结合思想 设而不求法与弦长公式及韦达定理等内容去解决 这样就加强了对数学各种能 力的考查 2 关于直线与圆锥曲线相交弦的问题则结合韦达定理采用设而不求法来解决 利用引入 一个参数表示动点的坐标x y 间接把它们联系起来 减少变量 未知量时则采用参数法 解答有些题目时还常用到其与平面几何的关系 利用平面几何知识会化难为易 化繁为简 收到意想不到的解题效果 3 对于直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 实际上是研究由它们的方程 组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题 此时要注意用好分类讨论和数形结合的 思想方法 4 当直线与圆锥曲线相交时 若涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设而不求计算弦长 即应用弦长公式 若涉及弦长的中点问题 常用 点差法 设而不求 将弦所在直线的 斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 同时还应充分挖掘题目中的隐含条件 寻找量 与量之间的关系进行灵活转化 往往就能做到事半功倍 1 点 M x0 y0 与圆锥曲线 C f x y 0 的位置关系 曲线条件结论 0ba 1 b y a x 2 2 0 2 2 0 点在椭圆上 0ba 1 b y a x 2 2 0 2 2 0 点在椭圆外椭圆 0ba 1 b y a x 2 2 0 2 2 0 点在椭圆内 2 0ba 1 b y a x 2 2 0 2 2 0 点在双曲线上 0ba 1 b y a x 2 2 0 2 2 0 点在双曲线外双曲线 0b a 1 b y a x 2 2 0 2 2 0 点在双曲线内 0p px2y 0 2 0 点在抛物线上 0p px2y 0 2 0 点在抛物线外抛物线 0p px2y 0 2 0 点在抛物线内 2 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 从几何角度看可分为三类 无公共点 仅有一个公共点 及有两个相异公共点 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究 因 为方程组解的个数与交点的个数是一样的 直线与圆锥曲线的位置关系可分为 相交 相切 相离 对于抛物线来说 平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点 但并不相切 对于双曲线来说 平行于渐近线的直线与 双曲线只有一个交点 但并不相切 即 将直线l的方程代入曲线 C 的方程 消去 y 或消去 x 得到一个关于 x 或 y 的方程 ax2 bx c 0 1 交点个数 当 a 0 或 a 0 0 时 曲线和直线只有一个交点 当 a 0 0 时 曲线和直线有两个交点 当 a 0 0 时 曲线和直线没有交点 2 弦长公式 xx4 xx k1 xx k1 AB 21 2 21 2 12 2 2 2 a k1 2 1 k a 利用这个公式求弦长时 要注意结合运用韦达定理 当弦过圆锥曲线的焦点时 可用焦半径公式进行运算 3 中点弦问题 设 A 11 y x B x2 y2 是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上不同的两点 且 21 xx 0 xx 21 M x0 y0 为 AB 的中点 则两式相减可得 2 2 21 21 21 21 a b xx yy xx yy 2 2 OMAB a b kk 这种方法叫点差法 最后需要检验直线与曲线是否相交 对于双曲线 抛物线 可得类似的结论 4 对称问题 3 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件 曲线上两点所在的直线与已知直线垂直 得出斜率 曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点 0 曲线上两点的中 点在对称直线上 5 重难点问题探析 综合运用方程 函数 不等式 轨迹等方面的知识解决相关问题 1 体会 设而不求 法在解题中简化运算的功能 求弦长时运用 韦达定理 设而不求 求弦中点问题时运用 点差法 设而不求 2 体会数学思想方法 以方程思想 转化思想 数形结合思想为主 在解题中的运 用 知识点一 直线与椭圆的位置关系知识点一 直线与椭圆的位置关系 例例 1 1 已知椭圆 1 9 2 2 y x 过左焦点 F 作倾斜角为 6 的直线交椭圆于 A B 两点 求弦 AB 的长 思路分析思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查直线与椭圆的位置关系的运用 2 2 解题思路 解题思路 求过焦点的直线问题时 先设出直线方程 然后联立方程组 再结合韦 达定理求解 解答过程 解答过程 解 解 a 3 b 1 c 22 则 F 22 0 由题意知 22 3 1 xyl与1 9 2 2 y x 联立消去 y 得 0152124 2 xx 设 A 11 yx B 22 yx 则 21 x x是上面方程的两个实根 由韦达定理得 23 21 xx 4 15 21 xx 因为 A B F 都是直线l上的点 所以 AB 21518 3 2 4 3 2 3 1 1 21 2 2121 xxxxxx 解题后的思考 解题后的思考 本题也可以利用 焦半径 公式进行计算 例例 2 2 过点 1 0 的直线l与中心在原点 焦点在x轴上且离心率为 2 2 的椭圆C相交 于A B两点 直线y 2 1 x过线段AB的中点 同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线 l对称 试求直线l与椭圆C的方程 思路分析 思路分析 1 1 题意分析 题意分析 考查直线与椭圆的位置关系中有关对称问题的运用 2 2 解题思路 解题思路 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题 解法一 将A B两点坐标代入 圆锥曲线方程 两式相减得出关于直线AB的斜率的等式 再利用对称点所连线段被对称轴 垂直平分的特点来列式求解 解法二 用韦达定理求解 解答过程 解答过程 解法一 由e 2 2 a c 得 2 1 2 22 a ba 从而得出a2 2b2 c b 4 设椭圆方程为x2 2y2 2b2 A 1 x 1 y B 2 x 2 y 在椭圆上 则x12 2y12 2b2 x22 2y22 2b2 两式相减得 x12 x22 2 y12 y22 0 2 21 21 21 21 yy xx xx yy 设AB中点为 x0 y0 则 AB k 0 0 2y x 又 x0 y0 在直线y 2 1 x上 y0 2 1 x0 于是 0 0 2y x 1 AB k 1 设直线l的方程为y x 1 右焦点 b 0 关于直线l的对称点设为 x y by x bxy bx y 1 1 1 22 1 解得则 由点 1 1 b 在椭圆上 得 1 2 1 b 2 2b2 b2 8 9 16 9 2 a 所求椭圆C的方程为 2 2 9 16 9 8 y x 1 l的方程为y x 1 解法二 由e 2 1 2 2 2 22 a ba a c 得 从而得出a2 2b2 c b 设椭圆C的方程为x2 2y2 2b2 直线l的方程为y k x 1 将l的方程代入椭圆C的方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2b2 0 则x1 x2 2 2 21 4 k k y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k 2 21 2 k k 直线l y 2 1 x过AB的中点 2 2 2121 yyxx 则 2 2 2 21 2 2 1 21k k k k 解得k 0 或k 1 若k 0 则直线l的方程为y 0 焦点F c 0 关于直线l的对称点就是F点本身 不可能在椭圆C上 所以k 0 舍去 从而k 1 直线l的方程为y x 1 即 y x 1 以下步骤同解法一 解题后的思考 解题后的思考 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法 题目设计 新颖 基础性强 用待定系数法求曲线方程时 如何处理直线与圆锥曲线问题和对称问题 成为解决本题的关键 注意在设直线方程时要对直线的斜率是否存在进行讨论 知识点二 直线与双曲线的位置关系知识点二 直线与双曲线的位置关系 例例 3 3 1 过点 7 5 P与双曲线 22 1 725 xy 有且只有一个公共点的直线有几条 分别求 出它们的方程 2 直线1 kxy与双曲线13 22 yx相交于 A B 两点 当 k 为何值时 A B 两 点在双曲线的同一支上 当 k 为何值时 A B 两点分别在双曲线的两支上 思路分析 思路分析 5 1 1 题意分析 题意分析 本题考查直线与双曲线的位置关系的运用 2 2 解题思路 解题思路 首先对直线的斜率是否存在进行分情况讨论 设出方程 联立方程组 再结合韦达定理进行判断 并求解 解答过程 解答过程 1 解 若直线的斜率不存在 则7x 此时仅有一个交点 7 0 满足条件 若直线的斜率存在 设直线的方程为5 7 yk x 则57ykxk 22 57 1 725 xkxk 22 257 57 7 25xkxk 222 257 7 2 57 57 7 250kxkxkk 当 5 7 7 k 时 方程无解 不满足条件 当 5 7 7 k 时 2 5 71075x 方程有一解 满足条件 当 2 25 7 k 时 令 222 14 57 4 257 57 175 0kkkk 化简得 k无解 所以不满足条件 所以满足条件的直线有两条7x 和 5 7 10 7 yx 2 把1 kxy代入13 22 yx整理得 02kx2x k3 22 当3k 时 2 k424 由 0 得6k6 且3k 时 方程组有两个解 即直线与双曲线有两个 交点 若 A B 在双曲线的同一支上 须使 3k 2 xx 2 21 0 所以3k 或3k 故当3k6 或6k3 时 A B 两点在同一支上 当3k3 时 A B 两点在双曲线的两支上 解题后的思考 解题后的思考 直线与双曲线的相交情况比较多 但要注意是单支相交 还是双支相 交的问题 解答此类题时 应灵活运用根与系数的关系来求解 与双曲线只有一个公共点 的直线有两种 一种是与渐近线平行的两条直线与双曲线交于一点 另一种是与双曲线相 切的直线也有两条 例例 4 4 过双曲线的一个焦点的直线垂直于一条渐近线 且与双曲线的两支相交 求该双 曲线离心率的范围 思路分析 思路分析 1 1 题意分析 题意分析 考查直线与双曲线位置关系的运用 2 2 解题思路 解题思路 对于涉及到范围的求解问题 我们一般都会运用判别式或圆锥曲线的几 何性质来解决 解答过程 解答过程 设双曲线的方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 0 F c 渐近线为 b yx a 则过点 6 F的直线方程为 a yxc b 则 222222 0 b xa ya b a yxc b 代入得 44244224 20ba xa cxa ca b 12 0 0 x x 即得 44 ba ba 即得2e 解题后的思考 解题后的思考 直线与圆锥曲线的位置关系问题经常和圆锥曲线的几何要素建立起对 应关系 而取值范围往往与判别式的取值建立联系 知识点三 直线与抛物线的位置关系的运用知识点三 直线与抛物线的位置关系的运用 例例 5 5 已知抛物线方程为 0 1 2 2 pxpy 直线myxl 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3 求 p 的值 思路分析 思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查直线与抛物线位置关系的运用 2 2 解题思路 解题思路 首先设出直线方程 然后联立方程组 再结合韦达定理进行求解 解答过程 解答过程 设直线l与抛物线交于 1122 3 A x yB xyAB 则 由距离公式 AB 2 21 2 21 yyxx 2 121212 2 19 1 2 2 yyyyyy k 则有 由 0ppy2yx 1x p2y 2 p 1yx 22 2 得消去 2 2121 22 2 0 4 2 pyypyypp 从而 2 9 4 2 4 22 21 2 21 2 21 ppyyyyyy即 由于 p 0 解得 4 3 p 解题后的思考 解题后的思考 如果联立后的方程组有两组不同实数解或一组实数解则直线与抛物线 相交 有两组相同实数解则相切 无实数解则相离 例例 6 6 已知抛物线xy4 2 过点P 4 0 的直线与抛物线相交于 2211 yxByxA两 点 则 2 2 2 1 yy 的最小值是 思路分析思路分析 1 1 题意分析 题意分析 考查直线与抛物线相交时有关最值问题 2 2 解题思路 解题思路 根据已知条件画出草图 过点P 4 0 的直线有无数条 则直线的斜率 分为存在和不存在两种情况 结合结论 分类讨论便可 解答过程 解答过程 若直线 AB 斜率存在 设直线 AB 方程 4 xky 联立方程组 4 4 2 xky xy 消去 y 得到 016 48 4 4 222222 kxkxkxxk 由 2211 yxByxA 7 16 48 21 2 2 21 xx k k xx 代入 2 2 2 1 yy 中 则有 2 2 2 1 yy 4 21 xx 4 48 2 2 k k 32 16 32 2 k 若直线 AB 斜率不存在 则4 x 32 4 4 16 2 2 2 121 2 yyyyy 综上所述 故所求的最小值为 32 解题后的思考 解题后的思考 对于直线与抛物线相交问题 我们遵循联立方程组 结合韦达定理 求解 但是这些试题很容易漏掉斜率不存在的情况 注意设直线方程时 对于斜率是否存 在的讨论 例例 7 7 已知直线 kxy 2 被抛物线 yx4 2 截得的弦长AB为 20 O为坐标原点 1 求实数 k 的值 2 问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时 ABC 的面积最大 思路分析 思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查直线与抛物线的位置关系 同时结合最值问题求解 2 2 解题思路 解题思路 用 韦达定理 求弦长 考虑 ABC 的面积取得最大值时的条件 解答过程 解答过程 1 将 kxy 2 代入 yx4 2 得 048 2 kxx 由 01664 k 可知 4 k 弦长 AB 2016645 k 解得 1 k 2 当 1 k 时 直线为 12 xy 要使得内接 ABC 面积最大 则只需使得点 C 到直线 AB 的距离最大 这时作 AB 的平行线 且平移到直线与抛物线相切 此时方程可设 为 mxy 2 与抛物线方程联立 得 y4x mx2y 2 将 代入 得 m4x8x 2 由 0m1664 m 4 把 4m 代入 得 x 4 所以 y 4 所以点C位于 4 4 点处 ABC 的面积最大 解题后的思考 解题后的思考 使用 韦达定理 时不要忘记用判别式确定取值范围 8 小结 小结 对于直线与圆锥曲线的位置关系 同学们要学会运用联立方程组及代数的思想 解决几何问题 同时要注意对一些平面几何性质的巧用 以及对圆锥曲线中的中点弦问题 对称问题 范围问题的处理方法的积累 本部分内容是我们高中阶段的学习中比较难的一部分 同学们要想掌握得更好 一定 要注意多提高对于解析几何的计算能力 以及对于复杂表达式运算的常用处理手段 依据 设而不求的思想 联立方程组的核心思想 再结合韦达定理进行求解就可以了 解答特殊 的试题时要注意常用的方法 如点差法等 一 预习新知一 预习新知 同学们好 在必修 2 中我们学习了简单几何体 点线面的位置关系的有关知识 还学 习了求解空间的距离和空间的角的计算 在学习这部分知识时需要我们有丰富的空间想象 力 但是有些学生由于空间想象能力不丰富 在解决这类问题时就比较难得到分值 那么 下一讲我们就将介绍运用代数的方法解决立体几何问题 空间向量与立体几何 二 预习点拨二 预习点拨 探究与反思 探究任务一 空间向量的运算 反思 1 空间向量的加减法 数乘运算 2 空间向量的数量积运算 探究任务二 空间向量的坐标运算 反思 1 空间向量的正交分解及其坐标表示 2 空间向量运算的坐标表示 答题时间 50 分钟 一 选择题 1 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点为F 其右准线与x轴的交点为A 在椭圆上 存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 2 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且平行于另一条直线的 平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 3 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 9 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 4 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若在双曲线右支上存 在点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的 渐近线方程为 A 340 xy B 350 xy C 430 xy D 540 xy 5 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于 A B 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 6 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为l P 为抛物线上一点 PA l A 为垂足 如 果直线 AF 的斜率为3 那么 PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 二 填空题 7 动点P到点 2 0 F的距离与它到直线20 x 的距离相等 则P的轨迹方程为 8 点 00 A xy 在双曲线 22 1 432 xy 的右支上 若点 A 到右焦点的距离等于 0 2x 则 0 x 9 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是3yx 它的一个焦点 与抛物线 2 16yx 的焦点相同 则双曲线的方程为 三 解答题 10 已知双曲线以两条坐标轴为对称轴 且与圆 x2 y2 17 相交于 A 4 1 若圆在 点 A 的切线与双曲线的一条渐近线平行 求双曲线的方程 11 已知 0 22 OA 为坐标原点 点M满足OAOM OAOM 6 求 1 点M的轨迹C的方程 2 是否存在直线l过 2 0 P点 与轨迹C交于BA 两点 且以AB为直径的圆过 原点 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 10 1 D 解析 由题意知 椭圆上存在点P 使得线段AP的垂直平分线过点F 即点F到点P与点A的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e 0 1 故e 1 1 2 2 D 解析 采用排除法 轨迹是轴对称图形 故排除 A C 轨迹与已知直线不可能有交点 故排除 B 3 D 解析 不妨设双曲线的焦点在x轴上 设其方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 F cBb 一条渐近线的斜率为 b a 直线FB的斜率为 b c 1 bb ac 2 bac 22 0c