（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题22 简单的三角恒等变换 理（含解析）新人教A版

1 2222 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 导学目标 1 能推出二倍角的正弦 余弦 正切公式 并熟练应用 2 能运用两角和与 差的三角公式进行简单的恒等变换 自主梳理 1 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 sin 2 2 cos 2 1 1 3 tan 2 且 k k 2 4 2 2 公式的逆向变换及有关变形 1 sin cos cos sin 2 2sin 2 降幂公式 sin2 cos2 升幂公式 1 cos 1 cos 变形 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos 自我检测 1 2010 陕西 函数f x 2sin xcos x是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 2 函数f x cos 2x 2sin x的最小值和最大值分别为 A 3 1B 2 2 C 3 D 2 3 2 3 2 3 函数f x sin xcos x的最小值是 A 1B C D 1 1 2 1 2 4 2011 清远月考 已知A B为直角三角形的两个锐角 则 sin A sin B A 有最大值 最小值 0 1 2 B 有最小值 无最大值 1 2 C 既无最大值也无最小值 D 有最大值 无最小值 1 2 探究点一 三角函数式的化简 例 1 求函数y 7 4sin xcos x 4cos2x 4cos4x的最大值和最小值 2 变式迁移 1 2011 泰安模拟 已知函数f x 4cos4x 2cos 2x 1 sin 4 x sin 4 x 1 求f的值 11 12 2 当x 时 求g x f x sin 2x的最大值和最小值 0 4 1 2 探究点二 三角函数式的求值 例 2 已知 sin 2 sin 2 求 2sin2 tan 4 4 1 4 4 2 1 的值 1 tan 变式迁移 2 1 已知 是第一象限角 且 cos 求的值 5 13 sin 4 cos 2 4 2 已知 cos 求 cos 2 的值 4 3 5 2 3 2 4 探究点三 三角恒等式的证明 例 3 2011 苏北四市模拟 已知 sin 2 3sin 设 tan x tan y 记y f x 1 求证 tan 2tan 2 求f x 的解析表达式 3 若角 是一个三角形的最小内角 试求函数f x 的值域 变式迁移 3 求证 sin 2x sin x cos x 1 sin x cos x 1 1 cos x sin x 转化与化归思想的应用 3 例 12 分 2010 江西 已知函数f x sin2x msinsin 1 1 tan x x 4 x 4 1 当m 0 时 求f x 在区间上的取值范围 8 3 4 2 当 tan 2 时 f 求m的值 3 5 答题模板 解 1 当m 0 时 f x sin2x 1 cos x sin x sin2x sin xcos x 1 cos 2x sin 2x 2 3 分 1 2 2sin 2x 4 1 由已知x 得 2x 4 分 8 3 4 4 0 5 4 所以 sin 5 分 2x 4 2 2 1 从而得f x 的值域为 6 分 0 1 2 2 2 f x sin2x sin xcos x cos 2x m 2 sin 2x cos 2x 1 cos 2x 2 1 2 m 2 sin 2x 1 m cos 2x 8 分 1 2 1 2 由 tan 2 得 sin 2 2sin cos sin2 cos2 2tan 1 tan2 4 5 cos 2 10 分 cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 1 tan2 3 5 所以 11 分 3 5 1 2 4 5 3 5 1 m 1 2 解得m 2 12 分 突破思维障碍 三角函数式的化简是指利用诱导公式 同角基本关系式 和与差的三角函数公式 二倍 角公式等 将较复杂的三角函数式化得更简洁 更清楚地显示出式子的结果 化简三角函数 式的基本要求是 1 能求出数值的要求出数值 2 使三角函数式的项数最少 次数最低 角与函数的种类最少 3 分式中的分母尽量不含根式等 1 求值中主要有三类求值问题 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 从表面来看是很难的 但仔细观察 非特殊角与特殊角总有一定关系 解题时 要利用观察得到的关系 结合公式转化为特殊角 并且消除非特殊角的三角函数而得解 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题 关键在于 变角 使其角相同或具有某种关系 3 给值求角 实质是转化为 给值求值 关键也是变角 把所求角用含已知角的 式子表示 由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角 2 三角恒等变换的常用方法 技巧和原则 1 在化简求值和证明时常用如下方法 切割化弦法 升幂降幂法 和积互化法 辅助 元素法 1 的代换法等 4 2 常用的拆角 拼角技巧如 2 是的二倍角等 2 2 2 2 4 3 化繁为简 变复角为单角 变不同角为同角 化非同名函数为同名函数 化高次为 低次 化多项式为单项式 化无理式为有理式 消除差异 消除已知与未知 条件与结论 左端与右端以及各项的次数 角 函数名称 结构等方面的差异 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 平顶山月考 已知 0 3sin 2 sin 则 cos 等于 A B C D 1 3 1 3 1 6 1 6 2 已知 tan tan 那么 tan等于 2 5 4 1 4 4 A B C D 13 18 13 22 3 22 1 6 3 2011 石家庄模拟 已知 cos 2 其中 则 sin 的值为 1 2 4 0 A B C D 1 2 1 2 3 2 3 2 4 若f x 2tan x 则f的值为 2sin2x 2 1 sin x 2cos x 2 12 A B 8 4 3 3 C 4D 4 33 5 2010 福建厦门外国语学校高三第二次月考 在 ABC中 若 cos 2B 3cos A C 2 0 则 sin B的值是 A B C D 1 1 2 2 2 3 2 题号 12345 答案 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2010 全国 已知 为第二象限的角 且 sin 则 tan 2 3 5 7 函数y 2cos2x sin 2x的最小值是 8 若 则 cos sin 的值为 cos 2 sin 4 2 2 三 解答题 共 38 分 9 12 分 化简 1 cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 5 2 3 4cos 2 cos 4 3 4cos 2 cos 4 10 12 分 2011 南京模拟 设函数f x sin xcos x cos xsin 3 2 x 1 2 1 求f x 的最小正周期 2 当 时 求函数f x 的最大值和最小值 0 2 11 14 分 2010 北京 已知函数f x 2cos 2x sin2x 4cos x 1 求f 的值 3 2 求f x 的最大值和最小值 答案 自主梳理 1 1 2sin cos 2 cos2 sin2 2cos2 2sin2 3 2 1 sin 2 2 2cos2 2sin2 2tan 1 tan2 1 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 2 2 sin cos 2 自我检测 1 C 2 C 3 B 4 D 课堂活动区 例 1 解题导引 化简的原则是形式简单 三角函数名称尽量少 次数尽量低 最好不 含分母 能求值的尽量求值 本题要充分利用倍角公式进行降幂 利用配方变为复合函数 重视复合函数中间变量的范围是关键 解 y 7 4sin xcos x 4cos2x 4cos4x 7 2sin 2x 4cos2x 1 cos2x 7 2sin 2x 4cos2xsin2x 7 2sin 2x sin22x 1 sin 2x 2 6 由于函数z u 1 2 6 在 1 1 中的最大值为zmax 1 1 2 6 10 最小值为 zmin 1 1 2 6 6 故当 sin 2x 1 时 y取得最大值 10 当 sin 2x 1 时 y取得最小值 6 变式迁移 1 解 1 f x 1 cos 2x 2 2cos 2x 1 sin 4 x sin 4 x cos22x sin 4 x cos 4 x 6 2cos 2x 2cos22x sin 2 2x 2cos22x cos 2x f 2cos 2cos 11 12 11 6 63 2 g x cos 2x sin 2x sin 2 2x 4 x 2x 0 4 4 4 3 4 当x 时 g x max 82 当x 0 时 g x min 1 例 2 解题导引 1 这类问题一般是先化简再求值 化简后目标更明确 2 如果能从已知条件中求出特殊值 应转化为特殊角 可简化运算 对切函数通常化 为弦函数 解 由 sin 2 sin 2 4 4 sin 2 cos 2 4 4 sin 4 cos 4 1 2 2 1 2 1 4 cos 4 又 故 1 2 4 2 5 12 2sin2 tan 1 1 tan cos 2 sin2 cos2 sin cos cos 2 2cos 2 sin 2 cos 5 6 2cos5 6 sin5 6 5 3 2 变式迁移 2 解 1 是第一象限角 cos 5 13 sin 12 13 sin 4 cos 2 4 2 2 sin cos cos 2 2 2 sin cos cos2 sin2 2 2 cos sin 2 2 5 13 12 13 13 2 14 7 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 4 4 4 cos 2 sin 2 2 2 2 3 2 0 4 3 5 故可知 3 2 4 7 4 sin 4 4 5 从而 cos 2 sin 2 2 2sin cos 4 4 2 4 5 3 5 24 25 sin 2 cos 2 2 1 2cos2 4 1 2 2 3 5 7 25 cos 2 cos 2 sin 2 4 2 2 2 2 24 25 7 25 31 2 50 例 3 解题导引 本题的关键是第 1 小题的恒等式证明 对于三角恒等式的证明 我 们要注意观察 分析条件恒等式与目标恒等式的异同 特别是分析已知和要求的角之间的关 系 再分析函数名之间的关系 则容易找到思路 证明三角恒等式的实质就是消除等式两边 的差异 有目的地化繁为简 左右归一或变更论证 对于第 2 小题同样要从角的关系入手 利用两角和的正切公式可得关系 第 3 小题则利用基本不等式求解即可 1 证明 由 sin 2 3sin 得 sin 3sin 即 sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin sin cos 2cos sin tan 2tan 2 解 由 1 得 2tan 即 2x tan tan 1 tan tan x y 1 xy y 即f x x 1 2x2 x 1 2x2 3 解 角 是一个三角形的最小内角 0 0 x 33 设g x 2x 则g x 2x 2 当且仅当x 时取 1 x 1 x2 2 2 8 故函数f x 的值域为 0 2 4 变式迁移 3 证明 因为左边 2sin xcos x sin x cos x 1 sin x cos x 1 2sin xcos x sin2x cos x 1 2 2sin xcos x sin2x cos2x 2cos x 1 2sin xcos x 2cos2x 2cos x sin x 1 cos x sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 右边 sin x 1 cos x sin2x 1 cos x sin x 所以原等式成立 课后练习区 1 D 0 3sin 2 sin 6sin cos sin 又 sin 0 cos 1 6 cos cos cos 1 6 2 C 因为 4 4 所以 4 4 所以 tan tan 4 4 tan tan 4 1 tan tan 4 3 22 3 B cos 2 1 2sin2 1 2 sin2 又 1 4 4 0 sin 1 2 4 B f x 2tan x 2tan x 1 2sin2x 2 1 2sin x 2cos x sin x 2 sin xcos x 4 sin 2x f 8 12 4 sin 6 5 C 由 cos 2B 3cos A C 2 0 化简变形 得 2cos2B 3cos B 1 0 cos B 或 cos B 1 舍 1 2 9 sin B 3 2 6 24 7 解析 因为 为第二象限的角 又 sin 3 5 所以 cos tan 4 5 sin cos 3 4 所以 tan 2 2tan 1 tan2 24 7 7 1 2 解析 y 2cos2x sin 2x sin 2x 1 cos 2x sin 2x cos 2x 1 sin 1 2 2x 4 当 sin 2x 1 时 函数取得最小值 1 42 8 1 2 解析 cos 2 sin 4 cos2 sin2 2 2 sin cos sin cos 2 2 2 cos sin 1