黑龙江哈三中2013届高三数学第二次高考模拟考试 理（含解析）新人教A版

1 20132013 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷 理科 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 目要求的 1 5 分 集合 A x x 1 2 则 A B A 1 2 B 1 2 C 1 3 D 1 3 考点 指数函数单调性的应用 交集及其运算 绝对值不等式的解法 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 通过绝对值不等式求解集合 A 指数不等式的求解求出集合 B 然后求解交集 解答 解 因为集合 A x x 1 2 x 1 x 3 x 1 x 2 A B x 1 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 故选 B 点评 本题考查指数不等式与绝对值不等式的求法 集合交集的运算 考查计算能力 2 5 分 设 Sn是公差为 d d 0 的无穷等差数列 an 的前 n 项和 则 d 0 是 数列 Sn 有最大项 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 等差数列与等比数列 分析 利用等差数列的求和公式表示出 Sn 整理后 得到等差数列的 Sn为关于 n 的二次函数 利用配方 法 即可确定数列的最大项 根据 d 小于 0 可得此函数图象为开口向下的抛物线 函数有最大值 从而利用二次函数求最值的方法即可得出 Sn的最大值 即为 Sn 中的最大项 反之也然 解答 解 由等差数列的求和公式得 Sn na1 d 整理得 Sn 0 5dn2 a1 d n 当 d 0 等差数列的 Sn为二次函数 依题意是开口向下的抛物线 Sn有最大值 反之 当数列 Sn 有最大项时 则 Sn为二次函数 且图象是开口向下的抛物线 从而 d 0 故选 A 点评 本题考查数列的应用 等差数列的求和公式 考查配方法 是一个最大值的问题 结合二次函数的 性质来解题 通过解题后的反思 找准自己的问题 总结成功的经验 吸取失败的教训 增强解综 合题的信心和勇气 提高分析问题和解决问题的能力 3 5 分 ABC 中 cosA sinA cosB sinB 若 则角 C 为 2 A B C D 考点 三角函数中的恒等变换应用 平面向量数量积的运算 专题 三角函数的求值 分析 利用数量积和三角形的内角和定理 诱导公式即可化简 再利用三角形内特殊角的三角函数值即可 得出 解答 解 cosA sinA cosB sinB cosAcosB sinAsinB cos A B cos C cosC 得 cosC 0 C 故选 B 点评 熟练掌握数量积和三角形的内角和定理 诱导公式 三角形内角的特殊角的三角函数值是解题的关 键 4 5 分 已知 则展开式中的常数项为 A 20B 20C 15D 15 考点 二项式定理 微积分基本定理 分析 利用定积分的定义求得 a 的值 求得展开式中的通项公式 令 x 的幂指数等于 0 求 出 r 的值 即可求得常数项 解答 解 已知 lnx 1 它的展开式的通项公式为 Tr 1 x6 r 1 r x r 1 r x6 2r 令 6 2r 0 可得 r 3 开式中的常数项为 20 故选 B 点评 本题主要考查定积分 二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 求展开式中某项的系数 属于 中档题 5 5 分 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 A B C D 考点 异面直线及其所成的角 棱柱的结构特征 专题 空间角 分析 通过建立空间直角坐标系 利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角 解答 解 如图所示 分别取 BC B1C1的中点 O O1 由正三棱柱的性质可得 AO BO OO1令两垂直 建 立空间直角坐标系 3 所有棱长都为 2 A B 0 1 0 B1 0 1 2 C1 0 1 2 异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 故选 B 点评 熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用两条异面直线的方向向量的夹角得出异面直线所成的角的 方法是解题的关键 6 5 分 2013 甘肃三模 已知函数 其图象相邻的两条对称轴方程为 x 0 与 则 A f x 的最小正周期为 2 且在 0 上为单调递增函数 B f x 的最小正周期为 2 且在 0 上为单调递减函数 C f x 的最小正周期为 且在上为单调递增函数 D f x 的最小正周期为 且在上为单调递减函数 考点 两角和与差的正弦函数 三角函数的周期性及其求法 正弦函数的单调性 专题 三角函数的图像与性质 分析 利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为 f x 2sin x 由题意可得 解得 的值 即可确定函数的解析式为 f x 2sin 2x 由此求得周期 由 4 2k 2x 2k k z 求得 x 的范围 即可得到函数的增区间 从而得出结论 解答 解 函数 2 sin x cos x 2sin x 函数的周期为 再由函数图象相邻的两条对称轴方程为 x 0 与 可得 解得 2 故 f x 2sin 2x 故 f x 2sin 2x 的周期为 由 2k 2x 2k k z 可得 k x k 故函数的增区间为 k k k z 故函数在上为单调递增函数 故选 C 点评 本题主要考查两角和差的正弦公式 正弦函数的图象 周期性及单调性 属于中档题 7 5 分 一个几何体的三视图及尺寸如图所示 则该几何体的外接球半径为 A B C D 考点 球内接多面体 由三视图还原实物图 专题 图表型 空间位置关系与距离 分析 由三视图可知 该几何体是一个如图所示的三棱锥 图中红色部分 它是一个正四棱锥的一半 其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形 高为 4 设其外接球的球心 O 必在高线 EF 上 利 用外接球的半径建立方程 据此方程可求出答案 解答 解 由三视图可知 该几何体是一个如图所示的三棱锥 图中红色部分 它是一个正四棱锥的一 半 其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形 高 EF 4 设其外接球的球心为 O O 点必在高线 EF 上 外接球半径为 R 则在直角三角形 AOF 中 AO2 OF2 AF2 EF EO 2 AF2 即 R2 4 R 2 3 2 解得 R 故选 C 5 点评 本题考查由三视图还原实物图 考查多面体的外接球的运算 考查空间想象力 这是一个综合题 目 8 5 分 2013 甘肃三模 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A 直线 l 与抛物线的准线的交点为 B 点 A 在抛物线的准线上的射影为 C 若 则抛 物线的方程为 A y2 6xB y2 3xC y2 12xD 考点 直线与圆锥曲线的关系 抛物线的简单性质 专题 数形结合 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 设抛物线的准线与 x 轴的交点为 D F 为线段 AB 的中点 进而可知 AF 和 AB 推断出 AF AB 求得 ABC 进而根据 求得 p 则抛物线方程可得 解答 解 设抛物线的准线与 x 轴的交点为 D 依题意 F 为线段 AB 的中点 故 AF AC 2 FD 2p AB 2 AF 2 AC 4p ABC 30 2p 4p 2pcos30 36 解得 p 抛物线的方程为 y2 2x 故选 D 点评 本题主要考查了抛物线的标准方程 考查抛物线的基础知识 考查数形结合思想 9 5 分 阅读如图所示的程序框图 输出结果 s 的值为 A B C D 6 考点 程序框图 专题 计算题 三角函数的求值 概率与统计 分析 由程序中的变量 各语句的作用 结合流程图所给的顺序 可知该程序经过四次循环 得到当 n 5 时不满足 n 4 输出最后的 s coscoscoscos 再用三角恒等变换进行化简整理 即可得到本题答案 解答 解 由题意 该程序按如下步骤运行 经过第一次循环得到 s cos n 2 经过第二次循环得到 s coscos n 3 经过第三次循环得到 s coscoscos n 4 经过第四次循环得到 s coscoscoscos n 5 此时不满足 n 4 输出最后的 s 因此 输出结果 s coscoscoscos 故选 C 点评 题给出程序框图 求最后输出的 s 值 着重考查了程序框图的理解 用三角恒等变换求三角函数值 等知识 属于基础题 10 5 分 2013 天津模拟 在平行四边形 ABCD 中 连接 CE DF 相交于点 M 若 则实数 与 的乘积为 A B C D 考点 平面向量的基本定理及其意义 专题 平面向量及应用 分析 由题意可得 2 由 E M C 三点共线 可得 2 1 同理可得 由 D M F 三点共线 可得 1 综合 可得数值 作乘 积即可 解答 解 由题意可知 E 为 AB 的中点 F 为 BC 的三等分点 靠近 B 故 2 因为 E M C 三点共线 故有 2 1 即 2 1 同理可得 7 因为 D M F 三点共线 故有 1 即 1 综合 可解得 故实数 与 的乘积 故选 B 点评 本题考查平面向量基本定理即意义 涉及三点共线的结论 属中档题 11 5 分 2013 甘肃三模 已知函数的两个极值点分别为 x1 x2 且 x1 0 1 x2 1 记分别以 m n 为横 纵坐标的点 P m n 表示的平面区域为 D 若函数 y loga x 4 a 1 的图象上存在区域 D 内的点 则实数 a 的取值范围为 A 1 3 B 1 3 C 3 D 3 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 导数的综合应用 分析 根据极值的意义可知 极值点 x1 x2是导函数等于零的两个根 可得方程 x2 mx m n 0 的两 根 一根属于 0 1 另一根属于 1 从而可确定平面区域为 D 进而利用函数 y loga x 4 a 1 的图象上存在区域 D 上的点 可求实数 a 的取值范围 解答 解 求导函数可得 y x2 mx m n 依题意知 方程 y 0 有两个根 x1 x2 且 x1 0 1 x2 1 构造函数 f x x2 mx m n 直线 m n 0 2 3m n 0 的交点坐标为 1 1 要使函数 y loga x 4 a 1 的图象上存在区域 D 上的点 则必须满足 1 loga 1 4 loga3 1 解得 a 3 又 a 1 1 a 3 故选 B 8 点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值 以及二元一次不等式 组 与平面区域 属于中档题 12 5 分 设点 P 在曲线 y ex上 点 Q 在曲线上 则 PQ 的最小值为 A B C D 考点 两点间距离公式的应用 专题 计算题 压轴题 动点型 分析 求两个曲线上不同两点的距离的最小值 显然没法利用两点间的距离公式计算 可结合函数 y ex 上的点关于 y x 的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线 y lnx 上的点与 上的点到直线 y x 的距离之和最小问题 而与 y x 平行的直线同时与曲线 y lnx 和切于同一点 1 0 所以 PQ 的距离的最小值为 1 0 点到直线 y x 距离 的 2 倍 解答 解 如图 因为 y ex的反函数是 y lnx 两个函数的图象关于直线 y x 对称 所以曲线 y ex上的点 P 到直线 y x 的距离等于在曲线 y lnx 上的对称点 P 到直线 y x 的距离 设函数 f x lnx 1 当 0 x 1 时 f x 0 所以函数 f x 在 0 上有最小值 f 1 0 则当 x 0 时 除 1 0 点外函数 y lnx 的图象恒在 y 1 的上方 在 1 0 处两曲线相切 求曲线 y ex上的点 P 与曲线 y 1 上的点 Q 的距离的最小值 可看作是求曲线 y lnx 上的点 P 与 Q 点 到直线 y x 的距离的最小值的和 而函数 y lnx 与 y 1 在 x 1 时的导数都是 1 说明与直线 y x 平行的直线 与两曲线切于同一点 1 0 则 PQ 的距离的最小值为 1 0 点到直线 y x 距离的 2 倍 所以 PQ 的最小值为 故选 D 9 点评 本题考查了两点间的距离 考查了数形结合的解题思想 考查了数学转化思想 解答此题的关键是 分析得到函数 y lnx 的图象除 1 0 点外恒在 y 1 的上方 且在 1 0 处两曲线相切 此 题属中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 将答案填在答题卡的相应位置上 分 将答案填在答题卡的相应位置上 13 5 分 若复数 z 1 i 则 1 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 利用共轭复数和复数的运算法则即可得出 解答 解 复数 z 1 i 1 故答案为 1 点评 熟练掌握复数的共轭复数及其运算法则是解题的关键 14 5 分 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 由 F 向其渐近线引垂线 垂足为 P 若 线段 PF 的中点在此双曲线上 则此双曲线的离心率为 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 根据题意可表示出渐近线方程 进而可知 PF 的斜率 设出 P 的坐标代入渐近线方程求得 x 的表达 式 则 P 的坐标可知 进而求得中点的表达式 代入双曲线方程整理求得 a 和 c 的关系式 进而求 得离心率 解答 解 由题意设 F c 0 相应的渐近线 y x 则根据直线 PF 的斜率为 设 P x x 代入双曲线渐近线方程求出 x 则 P 则 PF 的中点 把中点坐标代入双曲线方程 1 中 整理求得 即离心率为 10 故答案为 点评 本题主要考查了双曲线的简单性质 解题的关键是通过分析题设中的信息 找到双曲线方程中 a 和 c 的关系 考查计算能力 15 5 分 已知平面区域 直线 l y mx 2m 和曲线 C 有 两个不同的交点 直线 l 与曲线 C 围城的平面区域为 M 向区域 内随机投一点 A 点 A 落在区域 M 内的 概率为 P M 若 则实数 m 的取值范围是 0 1 考点 几何概型 专题 概率与统计 分析 画出图形 不难发现直线恒过定点 2 0 结合概率范围可知直线与圆的关系 直线以 2 0 点为中心顺时针旋转至与 x 轴重合 从而确定直线的斜率范围 解答 解 画出图形 不难发现直线恒过定点 2 0 圆是上半圆 直线过 2 0 0 2 时 它们围成的平面区域为 M 向区域 上随机投一点 A 点 A 落在区域 M 内的概率为 P M 此时 P M 当直线与 x 轴重合时 P M 1 直线的斜率范围是 0 1 故答案为 0 1 点评 本题考查直线与圆的方程的应用 几何概型 直线系 数形结合的数学思想 是好题 难度较大 16 5 分 已知 ABC 中 A B C 的对边分别为 a b c 若 a 1 2cosC c 2b 则 ABC 的周长 的取值范围是 2 3 考点 余弦定理 专题 压轴题 解三角形 分析 由余弦定理求得 cosC 代入已知等式可得 b c 2 1 3bc 利用基本不等式求得 b c 2 故 a b c 3 再由三角形任意两边之和大于第三边求得 a b c 2 由此求得 ABC 的周长的取值范 围 11 解答 解 ABC 中 由余弦定理可得 2cosC a 1 2cosC c 2b c 2b 化简可得 b c 2 1 3bc bc b c 2 1 3 解得 b c 2 当且仅当 b c 时 取等号 故 a b c 3 再由任意两边之和大于第三边可得 b c a 1 故有 a b c 2 故 ABC 的周长的取值范围是 2 3 故答案为 2 3 点评 本题主要考查余弦定理 基本不等式的应用 三角形任意两边之和大于第三边 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知正项数列满足 4Sn an 1 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 考点 数列递推式 数列的求和 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 由 4Sn an 1 2 可知当 n 2 时 4Sn 1 an 1 1 2 两式相减 结合等差数列的通项公 式可求 由 1 知 利用裂项求和即可求解 解答 解 4Sn an 1 2 当 n 2 时 4Sn 1 an 1 1 2 两式相减可得 4 sn sn 1 即 4an 整理得 an an 1 2 4 分 又 a1 1 an 1 2 n 1 2n 1 6 分 由 1 知 8 分 所以 12 分 点评 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及等差数列的通项公式 数列的裂项求和 方法的应用 18 12 分 从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测量身高 据测量 被测学生身高全部介 于 155cm 到 195cm 之间 将测量结果按如下方式分成八组 第一组 155 160 第二组 160 165 12 第八组 190 195 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 其中第六组 第七组 第八 组人数依次构成等差数列 1 求第六组 第七组的频率 并估算高三年级全体男生身高在 180cm 以上 含 180cm 的人数 2 学校决定让这 50 人在运动会上组成一个高旗队 在这 50 人中要选身高在 180cm 以上 含 180cm 的 三人作为队长 记 X 为身高在 180 185 的人数 求 X 的分布列和数学期望 考点 离散型随机变量的期望与方差 等差数列的性质 频率分布直方图 专题 概率与统计 分析 1 由频率分布直方图分析可得后三组的频率 再根据公式 频率 频数 数据总和 计算可得答 案 2 列出 X 的分布列 根据分布列利用随机变量的期望公式求出 X 的数学期望 解答 解 1 由频率分布直方图知 前五组频率为 0 008 0 016 0 04 0 04 0 06 5 0 82 后三组频率为 1 0 82 0 18 人数为 0 18 1000 180 人 这所学校高三男生身高在 180cm 以上 含 180cm 的人数为 800 0 18 144 人 4 分 由频率分布直方图得第八组频率为 0 008 5 0 04 人数为 0 04 50 2 人 设第六组人数为 m 则第七组人数为 9 2 m 7 m 又 m 2 2 7 m 所以 m 4 即第六组人数为 4 人 第七组人数为 3 人 频率分别为 0 08 0 06 估算高三年级全体男生身高在 180cm 以上 含 180cm 的人数为 180 2 X 可能的取值为 0 1 2 3 P x 0 P x 1 P x 0 P x 0 所以 X 的分布列 X0123 P 10 分 EX 12 分 13 点评 本题是对频率 频数灵活运用的综合考查 各小组频数之和等于数据总和 各小组频率之和等于 1 频率 频数的关系 频率 频数 数据总和 同时还考查了古典概型的计算和离散型随机变量的 期望与方差 19 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA AD AB CD CD AD AD CD 2AB 2 E F 分别为 PC CD 的中点 DE EC 1 求证 平面 ABE 平面 BEF 2 设 PA a 若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 求 a 的取值范围 考点 用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定 专题 空间角 空间向量及应用 分析 1 由题目给出的条件 可得四边形 ABFD 为矩形 说明 AB BF 再证明 AB EF 由线面垂直的 判定可得 AB 面 BEF 再根据面面垂直的判定得到平面 ABE 平面 BEF 2 以 A 点为坐标原点 AB AD AP 所在直线分别为 x y z 轴建立空间坐标系 利用平面法向 量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值 根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围 最后 求解不等式可得 a 的取值范围 解答 证明 如图 1 AB CD CD AD AD CD 2AB 2 F 为 CD 的中点 ABFD 为矩形 AB BF DE EC DC EF 又 AB CD AB EF BF EF F AB 面 BEF 又 AE 面 ABE 14 平面 ABE 平面 BEF 2 解 DE EC DC EF 又 PD EF AB CD AB PD 又 AB PD 所以 AB 面 PAD AB PA 以 AB 所在直线为 x 轴 AD 所在直线为 y 轴 AP 所在直线为 z 轴建立空间坐标系 则 B 1 0 0 D 0 2 0 P 0 0 a C 2 2 0 E 1 1 平面 BCD 的法向量 设平面 EBD 的法向量为 由 即 取 y 1 得 x 2 z 则 所以 因为平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 所以 cos 即 由得 由得 或 所以 a 的取值范围是 点评 本题考查了面面垂直的判定 考查了利用空间向量求二面角的大小 解答的关键是建立正确的空间 坐标系 该题训练了学生的计算能力 是中档题 20 12 分 2013 怀化三模 已知椭圆过点 离心率 若点 M x0 y0 在椭圆 C 上 则点称为点 M 的一个 椭点 直线 l 交椭圆 C 于 A B 两 点 若点 A B 的 椭点 分别是 P Q 且以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O 1 求椭圆 C 的方程 2 若椭圆 C 的右顶点为 D 上顶点为 E 试探究 OAB 的面积与 ODE 的面积的大小关系 并证明 15 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 直接把给出的点的坐标代入椭圆方程 结合离心率及隐含条件 a2 b2 c2联立方程组求解 a2 b2的值 则椭圆方程可求 2 设出 A B 的坐标 根据新定义得到 P Q 的坐标 当斜率存在时设出直线方程 y kx m 联立 直线和椭圆方程后利用根与系数关系求得 x1 x2 x1x2 再由以 PQ 为直径的圆过原点得到 A B 的坐 标之间的关系 3x1x2 4y1y2 0 转化为横坐标的关系后代入 x1 x2 x1x2 即可把直线的斜率用截距表 示 然后利用弦长公式求出 AB 的长度 用点到直线的距离公式求出 O 点到 AB 的距离 利用整体运 算就能求得三角形 OAB 的面积 斜率不存在时直线方程可直接设为 x m 和椭圆方程联立求出 y2 同样代入 3x1x2 4y1y2 0 后可直接求出 m 的值 则三角形面积可求 解答 解 1 由已知得 即 解得 a2 4 b2 3 所以椭圆方程为 2 设 A x1 y1 B x2 y2 则 1 当直线 l 的斜率存在时 设方程为 y kx m 联立得 3 4k2 x2 8kmx 4 m2 3 0 则有 8km 2 4 3 4k2 4 m2 3 48 3 4k2 m2 0 由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O 可得 即 3x1x2 4y1y2 0 把 y1 kx1 m y2 kx2 m 代入整理得 将 式代入 式得 3 4k2 2m2 3 4k2 0 m2 0 则 48m2 0 16 又点 O 到直线 y kx m 的距离 所以 2 当直线 l 的斜率不存在时 设方程为 x m 2 m 2 联立椭圆方程得 代入 3x1x2 4y1y2 0 得到 即 y 综上 OAB 的面积是定值 又 所以二者相等 点评 本题考查了椭圆的标准方程 考查了直线和圆锥曲线的综合 考查了弦长公式的用法 训练了直线 和圆锥曲线关系中的设而不求的解题方法 体现了整体运算思想 训练了学生的计算能力 该题是 有一定难度问题 21 12 分 已知函数 f x ax2 x xlnx a 0 1 若函数满足 f 1 2 且在定义域内 f x bx2 2x 恒成立 求实数 b 的取值范围 2 若函数 f x 在定义域上是单调函数 求实数 a 的取值范围 3 当时 试比较 与的大小 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数的单调性与导数的关系 专题 综合题 压轴题 导数的综合应用 分析 1 依题意 1 b 构造函数 g x 1 利用导数可求得 g x min 从而可 求得实数 b 的取值范围 2 f x 2ax lnx x 0 令 f x 0 可求得 a 的范围 对 a 的范围分情况讨论可由 f x 在定义域上是单调函数 求得实数 a 的取值范围 3 由 I 知 g x 1 在 0 1 上单调递减 从而可得 x y 1 时 进一步分析即可得到 解答 解 1 由 f 1 2 得 a 1 又 x 0 x2 x xlnx bx2 2x 恒成立 1 b 1 分 17 令 g x 1 可得 g x 在 0 1 上递减 在 1 上递增 所以 g x min g 1 0 即 b 0 3 分 2 f x 2ax lnx x 0 令 f x 0 得 2a 设 h x 当 x e 时 h x max 当 a 时 函数 f x 在 0 单调递增 5 分 若 0 a g x 2ax lnx x 0 g x 2a g x 0 x x 0 g x 0 x g x 0 x 时取得极小值 即最小值 而当 0 a 时 g 1 ln 0 f x 0 必有根 f x 必有极值 在定义域上不单调 8 分 a 9 分 3 由 I 知 g x 1 在 0 1 上单调递减 x y 1 时 g x g y 即 10 分 而 x y 1 时 1 lnx 0 1 lnx 0 12 分 点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值 考查函数的单调性与导数的关系 突出分类讨论思想在 分析解决问题中的应用 属于难题 四 选考题 请考生从第四 选考题 请考生从第 2222 2323 2424 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 10 分 2013 甘肃三模 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 已知 PA 与 O 相切 A 为切点 过点 P 的割线交圆于 B C 两点 弦 CD AP AD BC 相交于点 E F 为 CE 上一点 且 DE2 EF EC 1 求证 CE EB EF EP 2 若 CE BE 3 2 DE 3 EF 2 求 PA 的长 18 考点 与圆有关的比例线段 专题 选作题 分析 I 由已知可得 DEF CED 得到 EDF C 由平行线的性质可得 P C 于是得到 EDF P 再利用对顶角的性质即可证明 EDF EPA 于是得到 EA ED EF EP 利用相交弦定 理可得 EA ED CE EB 进而证明结论 II 利用 I 的结论可得 BP 再利用切割线定理可得 PA2 PB PC 即可得出 PA 解答 I 证明 DE2 EF EC DEF 公用 DEF CED EDF C 又 弦 CD AP P C EDF P DEF PEA EDF EPA EA ED EF EP 又 EA ED CE EB CE EB EF EP II DE2 EF EC D