数学分析定义、定理、推理一览表

定义 1 给定两个非负实数 012 n xa a aa 012 n yb b bb 其中为非负整数 为整数 若有 00 a b 1 2 kk a bk 09 09 kk ab 则称与相等 记为 xyxy 00 11 0 1 2 kkll abl abklab xyyxxyyx 若或存在非负实数使得 而 则称大于或小于分别记为或 定义 2 012 012 1 10 0 1 2 n n nn n xa a aa xa a aa xn xx xnn 设为非负实数 称有理数 为实数的位不足近似 而有理数 称为的位过剩近似 1 R0 0 2 b b b b 3 b bc c 4 bR b 0 nn b 5 a aaa aa aa a R 实数的一些主要性质 实数集对加 减 乘 除 除数不为 四则运算是封闭的 即任意两个实数的和 差 积 商 除数不为 仍然是实数 实数集是有序的 即任意两个实数 必满足下述三个关系 之一 实数的大小关系具有传递性 即若则有 实数具有阿基米德性 即对任何 若则存在正整数 使得 实数具有稠密性 即任何 两个不相等的实数之间必有另一个实数 且既有有理数也有无理数 6 如果一直线 通常画成水平直线 上确定一点o作为原点 指定一个 方向为正方向 通常把指向右边的方向为正方向 并规定一个单位 长度 则称此直线为数轴 任意实数都对应数轴上唯一的一点 反之 数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数 于是 实数集R 与数轴上 的点有着一一对应关系 定义 3 0 0 a a aa a a aaa 实数的绝对值定义为 从数轴上看 数的绝对值就是到原点的距离 绝对值得一些性质 1 0 00 2 3 0 4 5 6 0 aaaa aaa ahhah ahhah h abR ababab aba b aa b bb 当且仅当时有 对于任何 有如下三角形不等式 定义 4 区间和邻域 0 a bx axb a bx axb a bx axb a bR ax xa ax xa ax xa xxR aRxax aU aU a U 开区间 有限区间闭区间 半开半闭区间 区间 无限区间 邻域 满足的全体实数的集合称为 点的邻域 记作或即有 0 axxaaa aU axxa aUaa a aUaaa aUaa a aUaaa UXxMM UX 点的空心邻域 点的右邻域 点的左邻域 点的空心右邻域 点的空心左邻域 邻域 其中为充分大正数 邻域 xMM UX xMM 其中为充分大正数 邻域 其中为充分大正数 定义 5 有界的定义 0 SRM LxS xM xLSM L S SRMxSxMS SSS 设为中的一个数集 若存在 使得对一切都 有则称为有上界 下界 的数集 数称 为的一个上界 下界 简记 称有界 若数集既有上界又有下界 则称为有界集 若不是有界集 则称为无界集 定义 6 确界的定义 00 00 1 sup SR ixSxS iixSxS S S SR ixSxS iixSxS S 设若数满足 有即是的上界 使得即又是的最小上界 则称为数集的上确界 记作 2 设若数满足 有即是的下界 使得即又是的最大下界 则称为数集的下确界 记作 S i nf 定理 1 min S SSS SSS 设数集有上确界 i sup m ax i i i nf 定理一定理一 确界原理 SS SS 设为非空数集若有上界 则必有上确界 若有下界 则必有下确界 定理 2 supinf ABxAyBxy ABAB 设 为非空数集 满足 对一切和有 数集有上确界 数集有下确界 且 推广的确界原理 任一非空数集必有上 下确界 正常的或非正常的 函数的概念 定义 1 DMfDx yMfD fDM xy Dfxyfx f xf Dy yf x xDM f 给定两个实数集和 若有对应法则 使对内每一个 都有唯一的一个数与它相对应 则称是定义在数集上 的函数 记作 数集称为函数的定义域 所对应的数 称为在点的函数值 常记为全体函数值的集合 称为函数的值域 函数的四则运算 1212 12 0 0 f xDg xDD DDD fgD F xf xg x xD G xf xg x xD H xf x g x xD Dg xx DDx g xxD L xf xg x xD 给定两个函数和记并设 定义与在上的和 差 积运算如下 若在中剔除的值 即令 则除法如下 初等函数 0 1 log 0 1 sin cos tan cot arcsin arccos arctan cot x a yc c yx yaaa yx aa yx yx yx yx yx yx yx yarcx 常量函数为常数 幂函数为实数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 定义 2 0 1 1 01 sup inf r x r x r r x aax ara a ara 给定实数设为我们规定 为有理数 当时 为有理数 当时 几个重要的等式 不等式 22 2 122 1 1 123 1 112 1 112 11 1 1 sin1sin 212 2 414 221 1111 3 1 1 4 5 6 1111 7 1 n n i n n n in i n in i nn n i nn ii i i xxx nn nn nn nn nnn aaaa nn aa a aa nn aaaa an aaaa n a 和 由 算术平均数 几何平均数 调和平均数 当 时 成立 数列极限 定义 1 lim n n n nnn n nnn aa nNaaaaa aaaaa n aaa 设为数列 为定数 若对任给的正数 总存在正整数N 使得当时有则称数列收敛于定数称为 数列的极限 并记作或 若数列没有极限 则称不收敛 或称为发散数列 10 2lim0 2 1 n n nn n nn U aa aa aa aaaa 定义任给 若在之外数列中的项至多只有有限个 则称数列收敛于极限 定义若则称为无穷小数列 定理数列收敛于的充要条件是 为无穷小数列 收敛数列的性质 0 0 2 2 2 3 lim0 0 0 0 2 4 2 5 n nn n n n nn nn nn a aa MnaM aaaaaa NnNaaaa abN nNab 定理 唯一性 若数列收敛 则它只有一个极限 若数列收敛 则为有界数列 即存在 定理 有界性 正数 使得对一切正整数有 若或则对任何或 定理 保号性 存在正数 使得当时有或 设与均为收敛数列 若存在正数使得 定理 保不等式性 当时有则 00 limlim 2 601 2 lim lim 2 7 lim limlimlim limlimlim 2 8 nn nn nnn nn nnn nnn nn n nnnn nnn nnn nnn ab anaaaa abac NnNacb cca abab aba 定理设若则 设 都以为极限 数列满足 存在正数 当时有 定理 迫敛性 则数列收敛 且 定理 四则运算 limlim limlim lim lim 0lim0 lim n nnnn nnnn n nn nn nn nn n b acaccaca a a bb bb 及 定义 1 设为数列 为正整数集 N 的无限子集 且 n a k n 12k nnn 则数列称为数列的一个子列 简记为 12 k nnn aaa n a k n a 平凡子列 数列本身以及去掉有限项后得到的子列 n a 非平凡子列 不是平凡子列的子列 数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散 且在收敛时有相同的极限 n a 定理 2 9 数列收敛的充要条件是 的任何非平凡子列都收敛 n a n a 定理二定理二 单调有界定理 在实数系中 有界的单调数列必有极限 单调有界定理 在实数系中 有界的单调数列必有极限 cauchy 0 n nm a Nn mNaa 定理三 柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是 对任给的存在正整数 使得当时有 函数极限函数极限 函数极限函数极限函数极限函数极限 定义定义 定义定义定义定义 0 00 0 0 1 0 lim 2 0 0 lim x xx faA MaxMf xA fxAf xAf xA x fxUxA xx f xAfxxA f x 设为定义在上的函数 为定数 若对人给的 存在正数 使得当时有则称函数 当趋于时以为极限 记作或 设函数在点的某个空心邻域内有定义 为定数 若对任给的存在正数 使得当时有 则称函数当趋于时以为极限 记作 00 0 00 00 00 00 00 0 3 0 limlim xxxx Af xA xx fUxUxA xxx xxxf xAAfx xxf xAf xA f xA xxf xA xx fx 或 设函数在或内有定义 为定数 若对任给的 存在正数 使得当 或时有则称数为函数当趋于 或的右 左 极限 记作 或 右极限与左极限统称为单侧极限 在点的右 左 00 0 00 00 0lim0lim 3 1 limlimlim xxxx xx xxxx f xf xf xf x f xAf xf xA 极限记为 定理 函数极限的性质 0 0 0 00 0 0 0 0 3 2lim lim lim 00 3 4 00 limlim 3 5 xx xx xx xxxx f x f xfx Ux f xAor rAorrAUx xUxf xrorf xr f xg x 定理 唯一性 若极限存在 则此极限是唯一的 若存在 则在的某空心 定理3 3 局部有界性 邻域内有界 若则对任何正数 定理 局部保号性 存在 使得对一 切有 设与都存在 且在某 定理 报不等式性 邻 00 00 0 000 000 0 0 0 limlim lim lim 3 6 lim 1 limlimlim 3 82 limlimlim lim xxxx xxxx xx xxxxxx xxxxxx xx Uxf xg x f xg x f xg xAUx f xh xg xh xA f xg xf xg x f x g xf xg x f x g x 域 内有 则 设 且在某 定理 迫敛性 内有则 定理 四则运算 3 0 0 0 lim lim0 lim xx xx xx f x g x g x 无穷小量阶的比较 定义见下页末 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 lim0 2 lim0 3 lim 1 xx o xx xx f x xxfg g x f xo g xxx f x KLUxKL g x fgxx f x cfg g x f x fgxx g x f xg xxx 若则称当时为的高阶无穷小量 记作 若存在正数和 使得在某上有 则称与为当时的同阶无穷小量 特别的当 时 与必为同阶无穷小量 若 则称与为当时的等价无穷小量 记作 函数极限存在的条件 0 00 0 o 0 o 00 0 o 00 0 3 8or lim lim lim lim lim 3 9 xx nn x nn xxxx xx n fUxf x Uxxxf x f xAxx nf xA fxUxf xA xx 定理 归结原则海涅定理 设在内有定义存在的充要条件是 对任何含 于且以为极限的数列极限都存在且相等 简述 对任何有 设函数在点的某空心右邻域有定义的 定理充要条件是 对任何以为极限的递减数列 0 0 0 o 0 o 0 o 0 o 0 o 0 lim 3 10lim 3 11cauchy lim0 lim n x xx xx xx Ux f xA fUxf x fUxf x x xUxf xf x fUxf x 有 定理设为定义在上的单调有界函数 则右极限存在 定理 柯西准则 设函数在内有定义存在的充要条件是 任给 存在正数使得对任何有 设函数在内有定义不存在的充要条件是 存在 0 o 00 0 x xUxf xf x 对任意正数总可找到使得 两个重要极限 0 sin lim1 1 lim 1 x x x x x e x 0 0 0 00 lim0 o xx o fUxf x fxx gUxgxx 设在某内有定义 若 无穷小量 则称为当时的无穷小量 有界量 若函数在某内有界 则称为当时的有界量 无穷小量的和 差 积仍为无穷小量 无穷小量与有界量的积为无穷小量 常见的几个等价无穷小量 2 0 0 0 1 1 0 2 11 0 3 1 cos0 2 x ex x xx x x xx xxxx xxxxxx xxxxxxxx 自赖性 对称性 传递性 00 00 0 0 3 12 lim lim limlim o xxxx xxxx f g hUx f xg xxx if x h xAg x h xA f xg x iiBB h xh x 定理 等价无穷小量在极限问题中的作用 设函数在内有定义 且有 若则 若 则 0 0 00 0 00 0 0 0 lim 1 o oo xx o fUxG xUxUxf xG fxxf x xn fUxfxx xx f 无穷大量 设函数在某内有定义若对任给的存在 使得当时有则称函数 当时有非常极限 记作 对于自变量趋于某种趋向或时 所有以 或 为非正常极限的函数 包括数列 都称为无穷大量 定理3 13 i 设在内有定义且不等于0 若为 时的无穷小量 则为时的无穷大量 00 1 ii gxxxx g 若为时的无穷大量 则为时的无穷小量 函数的连续 0 00 00 0 00 0 00 00 0 0 0 lim 0 0 2 limlim 4 1 o xx oo xxxx fUxf xf x fx xxf xf x fx fUxUx f xf xf xf x fx fx fx 函数在点的连续 1 设函数在某内有定义 若 则称在点连续 也可表述为 若对任给的 存在使得当时有 则称在点连续 设函数在某内有定义 若 则称在点右 左 连续 函数在点连续的充要条件是 定理 在点即 0 00 00 00 0 00 0 0 lim 4 5 limlim 6 o xx xxxx fUxfx fxxf f xA fx f xAxf fx f xf xxf 是右连续 又是左连续 间断点及其分类 3 设函数在某内有定义 若在点无定义 或在点有定义不连续 则称为函数的间断点 或不连续点 若在点无定义 或有定义 可去间断点 但则称为函数的可去间断点 若函数在点的左右极限都存在 但 跳跃间断点 则称为函数的 跳跃间断点 以上两种间断点统称为第一类间断点 其他所有形式的 间断点统称为第二类间断点 区间上的连续函数 fIfI fa b fa b 若函数在区间上的每一点都连续 则称为上的 连续函数 对于闭区间或半开半闭区间的端点 函 数在这些点上的连续是指左连续或右连续 若函数在区间上仅有有限个第一类间断点 则称在上分段连续 连续函数的性质 00 00 00 00 0000 0 4 2 00 4 3 4 4 fxfU x fxf x rf xrf x U xxU xf xr f xr fxguuf x g fx 定理 局部有界性 若函数在点连续 则在某内有界 若函数在点连续 且或则 定理 局部保号性 对任何正数或 存在某 使得对一切有 定理 四则运算 两个函数连续 则他们加减乘除之后依旧连续 定理4 5若函数在点连续 在点连续 则复合函数 在点连续 0 00 0 1 4 6 4 7 fDxD xDf xf xf xf xfD f xfD fa b fa b fa b fa b fa bf af b f af b 设为定义在数集上的函数若存在使得对一 定义切有则称在上 有最大最小值 并称为在上有最大最小值 若函数在闭区间上连续 则 定理最大 最小值定理 称在上有最大值与最小值 若函数在闭区间上连续 则 推论有界性定理 在上有界 设函数在闭区间上连续 且 若为介于与之间 定理介值性定理 00 00 0 0 f af bf af b xa bf x fa bf af b xa bf x f xa b 的任何实数 或 则至少 存在一点使得 设函数在闭区间上连续 且与异号 推论根的存在定理则至少存在一点使得 即方程 在内至少有一个根 1 4 8 2 0 0 fa b ff af b f bf a fI x xIxx f xf xfI fa b fa b 若函数在闭区间上严格单调并连续 定理则反函数在其定义域或 上连续 定义一致连续 设函数为定义在上的函数 若对任给的 存在使得对任何 只要就 有 则称函数在区间上一致连续 若函数在闭区间上连续 定理三一致连续性定理 则在上一致连续 4 100 4 110 4 12 4 13 x aaaaaa aaR 初等函数的连续性 定理设为任意实数 则有 定理指数函数在上是连续的 定理一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数 定理任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数 导数和微分 0 0 0 0 0 00 00 0 00 1lim 0 xx y f xx f xf x fx xx fxfx y f xxfx x xx ox y fxxox fxfx 设函数在点的某邻域内有定义 若极限 定义导数 存在 则称函数在点处可导 并称该极限为函数在点处的导数 记作 设在点可导 那么是当 有限增量公式 时的无穷小量 于是 即 该式即为有限增量公式 定理5 1 若函数在点可导 则在点连续 定义 2 单侧导数 000 00 00 00 00 00 0 0 lim lim0 lim lim0 xx xx y f xxx x f xxf xy x xx fxfx f xxf xy x xx y f xx fx 设函数在点的某右邻域上有定义 若 右极限存在 则称该极限值为在点的右导数 记作 类似的可定义左导数 左导数和右导数统称为单侧导数 若函数在点的某右邻域上有定义 则 定理5 2存在的充要条 00 00 fxfx fxfx 件是和都存在 且 导函数 0 lim x I fIxIf fxfI f xxf xdydy fyxI dxdxx 若函数在区间上每一点都可导对区间端点 仅考虑单侧极限 则称为上的可导函数 此时对每一个都有的一个导数 或单侧导数与之对应称在上的导函数 也简称为导数 记作或 即 导数的几何意义 0 00 0 0 00000 0000 000 000 lim 3 xx f xxxkxx f xf x kk fxyf x xx xyyyfxxxf xfxy f xxy fxU xxU x f xf xf xf xfx x 在点的切线斜率正是割线斜率在时的极限 即由导数的定义 所以曲线 在点的切线方程是这就是说 函数 在点的导数是曲线在点处的切线斜率 若函数在点的某邻域内对一切有 则称函数在点取得极大小 定义 值 称点 0为极大小值点 极大值 极小值统称为极值 极大值点 极小值点统称为极值点 00 00 0 5 3 0 0 5 4 fxx xffx fx fa bfafbk fafb Darboux a bfk 设函数在点的某邻域内定义 且在点可导 定理费马定理 若点为的极值点 则必有 满足方程的稳定点驻点取得极值的点是驻点或不可导点 但驻点不一定是极值点 若函数在上可导 且为 介于 之间任一实数 则至少存在 定理达布 一点使得 又称导函数的介值定理 求导法则 0 0 000 0 0 00000 0 00 0 0 5 5 5 6 0 5 7 u xxx f xu xxx fxuxx u xxx f xu xxx fxuxxu xx u xxc cu xcux u xxxx u x f xx x 四则运算 若函数和在点可导 则函数 定理在点也可导 且 若函数和在点可导 则函数 定理在点也可导 且 若函数在点可导 为常数 推理 若函数和在点可导 且 定理则函数在点 0000 02 uxxu xx fx x 也可导 且 反函数的导数 0 00 000 0 5 80 1 yf xxyyy yf xx xyfx y 设为的反函数 若在点的某 定理邻域内连续 严格单调且则在点 可导 且 复合函数的导数 000 0 0000 000 0 00000 5 8 f xxxU x xH x f xf xH xxxfxH x uxxyf uux fx fxfuxfxx 在点可导的充要条件是 在的某邻域内 引理存在一个在点连续的函数使得 从而 设在点可导 在点可导 定理则复合函数在点可导 且 基本求导法则 22 1 2 1 3 1 4 5 uvuv uvuvuvcucu uuvuvv vvvv dy dx dx dy dydy du dxdu dx 反函数导数 复合函数导数 基本初等函数导数公式 1 22 2 1 02 3 sincos cossin tansec cotcsc secsec tan csccsc cot 11 5 ln log ln ln 1 0 1 ln 1 0 11 6 arcsin arccos 1 xxxx a cxx xxxx xxxx xxxxxx aaa eexx xax x x x x x x xx x 2 22 1 11 arctan cot 11 x xarcx xx 参变量函数的导数 0 0 00 00 00 0 0 0 0 lim tanlim t t C xt t yt t tCP P t x tttCQ PQ ttty CP xttt tt y x 平面曲线一般的表达形式是 参变量方程表示 设对应曲线上的点 如果在点有切线 那么切线的 斜率可由割线的斜率取极限而得 为此设 在点可导 且若对应上的点 右图 割线的斜率 于是曲线在点的切线斜率是 0 0 00 0 0 2 2 lim 0 t t t t tttt t C 若 在 上都存在连续的导函数 且 这时称为光滑曲线 高阶导数 定义略 微分 定义 1 00 000 00 00 00 x xx x y f xxU xxx xxU x yf xxf xAy y A xoxfxA xfx dyA xdf xA x 设函数定义在点的邻域内 当给一个增量 时 相应地得到函数的增量为 如果存在常数 使得能表示成 则称函数在点可微 并称为在点的 微分 记作或 定理 5 10 00 0 fxfx y A xoxAfx 函数在点可微的充要条件是函数在点可导 而且式中的等于 可微函数 若函数在定义区间上每一点都可微 则称 函数为可微函数 微分的运算法则 2 1 2 3 4 d u xv xdu xdv x d u x v yv x du xu x dv x u xv x du xu x dv x d v xvx dfg xfx gx dx ug x 高阶微分 111 nnnnnn n n n d yd dydfx dxfx dx d y fx dx 高阶导数 微分中值定理 i 6 1 ii iii 0 i 6 2 ii 0 1 f fa b fa b f af b a bf f fa b fa b f bf a a bf ba fIfxxI fI 罗尔中值定理若函数满足如下条件 在闭区间上连续 定理在开区间内可导 则在内至少存在一点 使得 拉格朗日中值定理若函数满足如下条件 在闭区间上连续 定理 在开区间内可导 则在内至少存在一点 使得 若函数在区间上可导 且 推论 则为上的一个常量函数 推 0 0 00 00 0 3lim lim 6 3 00 6 4 xx xx fgIfxgxxI If xg xf xg xc fxU x Uxfxfx fxfx f xIf xI fx fa bfa b 若函数和在区间上可导 且 论2 则在区间上与只相差某一常数 即 导数极限定理设函数在点的某邻域内连续 推论在内可导 且极限存在 则在点可导 且 设在区间上可导 则在上递增减的 定理 充要条件是 若函数在内可导 则在内严 定理 i 00 ii 0 00 xa bfxfx a bfx fa bfxfxfI 格递增递减的 充要条件是 对一切有 在内的任何子区间上 设函数在内可微 若 则在上 推论 严格递增严格递减 00 00 i ii 6 5 iii iv 0 1 0 i limlim0 ii0 ii xxxx fg a b a b fxgx g ag b ff bf a a b gg bg a fg f xg x xUxgx L H o s p i t a l 柯西中值定理设函数和满足 在上都连续 在内都可导 定理 和不同时为零 则存在 使得 型不定式极限 若函数和满足 洛 必 达 定理6 6在点的某空心邻域内都可导 且 法 则 0 00 00 0 00 00 i lim limlim 2 i limlim0 6 7 ii0 iii lim limlim xx xxxx xxxx xx xxxx fx A A gx f xfx A g xgx fg f xg x xUxgx fx A A gx f xfx A g xgx 可为实数 也可为或 则 型不等式极限 若函数和满足 定理在点的某空心邻域内都可导 且 可为实数 也可为或 则 0 2 00 000 0 00 0 0 00 1 2 1 2 0 1 2 n n n k n n kk n fxn r fxfx Txf xxxxx fx xxfx n fx Txkn k f xTxx nfxTxk 对于一般函数 设它在点存在直到阶的导数 由这些导数构造一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式 的各项系数称为泰勒系数 由上面多项式系 数的讨论 易知与其泰勒多项式在点有相 同的函数值和相同至阶倒数值 即 0 0 2 00 000 0 00 0 0 0 1 2 0 1 n n n nn n n fxn f xTxoxx fxfx f xf xxxxx fx xxoxx n oxx x fa bna b nx x 若函数在点存在直到阶导数 则有 即 定理6 8 泰勒公式 又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式 当时 称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 泰勒定理 若函数在存在直到阶的连续导函数 在 内存在阶导函数 则对任意给定的 定理6 9 2 00 000 1 1 0 00 0 2 1 1 1 2 1 0 000 0 1 2 01 1 nn nn n n n n a b a b fxfx f xf xxxxx fxf xxxx nn x fff f xfxxx n fx x n 至少存在一点使得 带有拉格朗日余项的泰勒公式 当得到的泰勒公式 称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式 泰 勒 公 式 函数的极值与最值 00 0000 0 0000 0 000 00 i 0 6 10 0 iii 0 0 6 11 00 i fxUx xxxfxxxx fxfx xxxfxxxx fxfx fxUxxx fxfx f 极值的第一充分条件 设在点连续 在某邻域内可导 若当时当 时 定理 则在点取得极小值 若当时当 时 则在点取得极大值 极值的第二充分条件 设在的某邻域内一阶可导 在处二阶 定理可导 且 0 0 0 00 0 00 0 0 0 ii 0 1 01 2 1 6 120 i0 0 ii k n n n xfx fxfx fxn xnfxkn fx nfxfx fx nfx 则在点取得极大值 则在点取得极小值 极值的第三充分条件 设在的某邻域内存在直到阶导函数 在处阶可导 且 定理则 当为偶数时 在点取得值 且当时 取极大值 当时取极小值 当为奇数时 则在点不取极值 通过比较在所有稳定点 不可导点和区间 f 端点上的函数值才能得到最大值或最小值 函数的凸性与拐点 12 1212 1212 0 1 11 1 11 fIIx x fxxf xf x fI fxxf xf x fI 设定义在区间上的函数 若对上的任意两点和 任意实数总有 定义 则称为上的凹函数 反之 如果总有 则称为上的凸函数 123 2132 2132 1221121 1 6 13 2 3 6 14 00 fIIxxx f xf xf xf x xxxx fI fI fI Ix xf xf xfxxx fIIf fxfxxI 引理 为上的凹函数的充要条件 对于上的任意三点 总有 设为上的可导函数 则下述论断互相等价 为上的凹函数 定理 为上的增函数 对上的任意两点有 设为上的二阶可导函数 则在上为凹凸函数的 定理 充要条件是 111 00 00 00 01 2 1 2 6 15 0 ii nnn iiiii iii fIxa bin fxf x y f xxf x xf x y f x fI xf xy f xfx 詹森不等式若为上的凹函数 则对任意 有 设曲线在点处有穿过曲线的切线 且在切点近旁 定义曲线在切线的两侧分别是严格凹和严格凸的 这时称点 为曲线的拐点 若在上二阶可导 定理 则为曲线的拐点的必要条件是 00 00 00 6 16 fxUx UxUxfx xf xy f x 设函数在可导 在某邻域内二阶可导 定理若在或和上的符号相反 则为曲线的拐点 函数图像的讨论 作函数图像的一般程序 1 求函数的定义域 2 考察函数的奇偶性 周期性 3 求函数的某些特殊点 如与两个坐标轴的交点 不连续点 不可导点等 4 确定函数的单调区间 极值点 凸性区间以及拐点 5 考察渐近线 6 综合以上结果画出函数图像 11 i 1 2 1 ii lim0 7 1 1 2 1 2 1 2 0 0 nn nnnn nn n nn nn nn nn nnnn a b a babn ba a b a b a bn ab n a bna b N 设闭区间列具有如下性质 定义 则称为闭区间 或简称区间套 区间套定理若是一个区间套 则在实数系中 定理存在唯一的一点 使得 即 若是区间套所确定的点 则 推论 对任给的存在 2 2 2 lim 7 2 nn n n n nNa bU SSS SS SS USS xS xS 使得当时有 设为数轴上的点集 为定点它可以属于 也可以不属于 定义 若的任何邻域内都含有中无穷多个点 则称为点的一个聚点 对于点集 若点的任何邻域内都含有中异于的点 即 定义 则称为的一个聚点 若存在各项互异的收敛数列则其 定义 极限称为的一个聚点 维尔斯特拉斯聚点定理实轴上的任 定理 3 7 3 S SH H SH HSHSH HS Ha b H 一 有界无限点集至少有一个聚点 推论致密性定理有界数列必含有收敛子列 设为数轴上的点集 为开区间的集合 即的每一个元素都是形如的开区间 定义若中任何一点都含在中至少一个开区间内 则称 为的一个开覆盖 或称覆盖若中开区间的个数是 无限有限的 则称为的一个无限开覆盖有限开覆盖 海涅 博雷尔有限覆盖定理设为闭区间的一个 定理 无限开覆盖 则从中可选出有限个开区间来 a b覆盖 8 1 8 2 i ii fFI Fxf xxI FfI fIfIF Fxf xxI FfI FCfIC fI fIfI f x dx 设函数与在区间上都有定义 原函数若 则称为在区间上的一个原函数 若函数在区间上连续 则在上存在原函数 定理 即 设是在区间上的一个原函数 则 定理也是在上的原函数 其中为任一常量函数 在上的任意两个原函数之间 只可能相差一个常数 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分 不定积分 记作 12 12 1212 8 3 fgIkk k fk gI k f xk g xdxkf x dxkg x dx 若函数与在区间上都存在原函数 为两个 定理任意常数 则在上也存在原函数 且 1 i ii0 i g uuxa b xxa b f xgxxxa b g uG uf xa b F xF xGxC f x dxgxx dxg u duG uCGxC xxa b g u dugxx dxf x dxF xCFuC 设在上有定义 在上 可导 且 并记 若在上存在原函数 则在上 换元积分法 也存在原函数即 又若则可逆 即 u xv xux v x dx u x v x dx u x v x dx u x v xux v x dx 若和可导 不定积分存在 分部积分则也存在 并有 1 01 1 01 00 0 nn n mm m P xxx R x Q xxx n m mnmn 有两个多项式