（新课程）高中数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》导学案 新人教A版必修4

1 2 2 3 2 2 3 向量数乘运算及其向量数乘运算及其 几何意义几何意义 学习目标 1 掌握向量数乘运算 并理解其几何意义 2 理解两个向量共线的含义 掌握向量的线性运算性质及其几何意义 学习过程 一 课前准备 预习教材 P87 P90 复习 向量减法的几何意义是什么 二 新课导学 探索新知 探究探究 向量数乘运算与几何意义向量数乘运算与几何意义 问题 1 已知非零向量已知非零向量 作出 作出 a aaa aaa 通过作出图形 同学们能否说明它们的几何意义 通过作出图形 同学们能否说明它们的几何意义 a 1 一般地 我们规定 是一个向量 这种运算称做向量的数乘记作 它的长度与方向规定如下 a 1 a 2 当 时 的方向与的方向相同 当 时 的方向与方向相a a a a 反 当 时 a O 问题 2 向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算 请同学们解释它们的几何意义请同学们解释它们的几何意义 2 向量数乘运算律 设为实数 1 a 2 a 3 ab 4 a 5 ab 2 6 对于任意向量 任意实数恒有 a b 12 2 ab 1 问题 3 引入向量数乘运算后 你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系 引入向量数乘运算后 你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系 3 两个向量共线 平行 的充要条件 向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一b a 个实数 使得 对此定理的证明 是两层来说明的 其一 若存在实数 使 则由实数与向量乘积定义中第 2 条可知与平 b a b a 行 即与平行 b a 其二 若与平行 且不妨令 设 这是实数概念 接下来看 b a 0a b a a 方向如何 同向 则 若 反向 则记 总而言之 b a b b a a b b a 存在实数 或 使 b a 典型例题 例 1 计算 76a 438ababa 542 32abcabc 例 2 2 如图 在中 已知 分别是 的中点 用向量方法证明 ABCMNABAC 1 2 MNBC 例 3 已知两个向量和不共线 求证 1 e 2 e 12 ABee 12 28BCee 12 33CDee 三点共线 ABD 题 2 N M C B A 3 例 4 如图 平行四边形的两条对角线相交于点 且 你能用ABCDMABa ADb 表示 吗 a b AM BM CM DM 三 小结反思 1 与的积还是向量 与是共线的 a a a 2 向量平行的充要条件的内容和证明思路 也是应用该结论解决问题的思路 该结 论主要用于证明点共线 求系数 证直线平行等题型问题 3 运算律暗示我们 化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项 学习评价学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 8 7 acacc 92 2 abcbc 2aaba 1 1 2 8 42 3 2 abab 2 在中 分别是 的中点 若 则等于 ABC EFABACABa ACb EF A B 1 2 ab 1 2 ab C D 1 2 ba 1 2 ab 4 3 点 C 在线段 AB 上 且 则 3 5 ACAB ACCB 4 设是两个不共线向量 若 与共线 则实数的值为 12 e e 12 bee 12 2aee 5 5 设两非零向量不共线 且 则实数 k 的值为 12 e e 1212 k eeeke 课后作业课后作业 1 中 且与边相交于点 的中线与ABC 1 3 ADAB DEBCACEABC AM 相交于点 设 用 分别表示向量 D