（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第六篇 数列、推理与证明《第31讲　数列的概念与简单表示法》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第六篇高考总复习江苏专用 理科 第六篇 数列 推理与证明数列 推理与证明 第第 3131 讲讲 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备综合创新备 选 含解析 选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 已知数列 1 则 3是它的第 项 3572n 15 解析 3 5452 23 1 答案 23 2 2011 福州一模 把 1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点子 可以排成一个正三角形 如图所示 则第七个三角形数是 解析 观察三角形数的增长规律 可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序 号 所以根据这个规律计算即可 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是 1 2 3 4 5 6 7 28 答案 28 3 2011 四川卷改编 数列 an 的前n项和为Sn 若a1 1 an 1 3Sn n 1 则 a6 解析 a1 1 a2 3S1 3 a3 3S2 12 3 41 a4 3S3 48 3 42 a5 3S4 3 43 a6 3S5 3 44 答案 3 44 4 2011 四川绵阳二诊 在数列 an 中 an 2n2 29n 3 则此数列最大项的值是 解析 根据题意并结合二次函数的性质可得 an 2n2 29n 3 2 3 2 n2 29 2 n 2 3 n 29 4 841 8 n 7 时 an取得最大值 最大项a7的值为 108 答案 108 5 在函数f x 中 令x 1 2 3 得到一个数列 则这个数列的前 5 项是 x 2 答案 1 2 235 6 在数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 解析 由an 1 an n 1 可得 an an 1 n an 1 an 2 n 1 an 2 an 3 n 2 a3 a2 3 a2 a1 2 以上n 1 个式子左右两边分别相加得 an a1 2 3 n an 1 1 2 3 n 1 n n 1 2 答案 1 n n 1 2 7 已知数列 an 的前n项和Sn n2 9n 第k项满足 5 ak 8 则k的值为 解析 Sn n2 9n n 2 时 an Sn Sn 1 2n 10 a1 S1 8 适合上式 an 2n 10 n N N 5 2k 10 8 得 7 5 k 9 k 8 答案 8 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 已知数列 an 的通项公式为an n2 5n 4 1 数列中有多少项是负数 2 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 解 1 由n2 5n 4 0 解得 1 n 4 n N N n 2 3 数列中有两项是负数 即为a2 a3 2 an n2 5n 4 2 又n N N n 2 或n 3 时 an有最小值 其最小值为 n 5 2 9 4 a2 a3 2 9 已知各项均为正数的数列 an 的前n项和满足Sn 1 且 6Sn an 1 an 2 n N N 求 an 的通项公式 解 由a1 S1 a1 1 a1 2 1 6 解得a1 1 或a1 2 由已知a1 S1 1 因此a1 2 又由an 1 Sn 1 Sn an 1 1 an 1 2 an 1 an 2 1 6 1 6 得an 1 an 3 0 或an 1 an 3 因an 0 故an 1 an不成立 舍去 因此an 1 an 3 0 即an 1 an 3 从而 an 是公差为 3 首项为 2 的等差数列 故 an 的通项为an 3n 1 点评 解决已知数列的前n项和Sn与通项an的关系 求通项an的问题 步骤主要有 第一步 令n 1 由Sn f an 求出a1 第二步 令n 2 构造an Sn Sn 1 用an代换Sn Sn 1 或用Sn Sn 1代换an 这要结 合题目的特点 由递推关系求通项 第三步 验证当n 1 时的结论是否适合当n 2 时的结论 如果适合 则统一 合写 如 果不适合 则应分段表示 第四步 明确规范表述结论 10 已知数列 an 中 an 1 n N N a R R 且a 0 1 a 2 n 1 1 若a 7 求数列 an 中的最大项和最小项的值 2 若对任意的n N N 都有an a6成立 求a的取值范围 解 1 an 1 n N N a R R 且a 0 1 a 2 n 1 a 7 an 1 1 2n 9 结合函数f x 1 的单调性 1 2x 9 可知 1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an 1 n N N 数列 an 中的最大项为a5 2 最小项为a4 0 2 an 1 1 1 a 2 n 1 1 2 n 2 a 2 对任意的n N N 都有an a6成立 并结合函数f x 1 的单调性 1 2 x 2 a 2 5 6 10 a 8 2 a 2 4 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2011 广东惠州二模 已知整数按如下规律排成一列 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 则第 60 个数对是 解析 按规律分组 第一组 1 1 第二组 1 2 2 1 第三组 1 3 2 2 3 1 则前 10 组共有 55 个有序实数对 10 11 2 第 60 项应在第 11 组中即 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 11 1 因此第 60 个 数对为 5 7 答案 5 7 2 在数列 an 的通项公式是an n2 kn 2 若对所有的n N N 都有an 1 an成立 则实 数k的取值范围是 解析 an 1 an 即 n 1 2 k n 1 2 n2 kn 2 则k 2n 1 对所有的n N N 都 成立 而当n 1 时 2n 1 取得最大值 3 所以k 3 答案 3 3 2011 合肥三检 在数列 an 中 a1 an 1 1 n 2 则a16 1 2 1 an 解析 由题可知a2 1 1 a3 1 2 a4 1 此数列是以 3 为周期 1 a1 1 a2 1 a3 1 2 的周期数列 a16 a3 5 1 a1 1 2 答案 1 2 4 已知 an 的前n项和为Sn 且满足 log2 Sn 1 n 1 则an 解析 由已知条件可得Sn 1 2n 1 Sn 2n 1 1 当n 1 时 a1 S1 3 当n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 1 2n 1 2n n 1 时不适合an an Error 答案 Error 5 已知数列 an 满足 a4n 3 1 a4n 1 0 a2n an n N N 则a2 009 a2 014 5 解析 依题意 得a2 009 a4 503 3 1 a2 014 a2 1 007 a1 007 a4 252 1 0 应填 1 0 答案 1 0 6 2012 泰州月考 数列 1 1 2 3 5 8 13 x 34 55 中x的值为 解析 观察数列中项的规律 易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和 答案 21 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 在数列 an 中 已知a1 1 an 1 an 2n 1 求an 解 由an 1 an 2n 1 得an 1 an 2n 1 所以a2 a1 1 a3 a2 2 a4 a3 22 a5 a4 23 an an 1 2n 2 n 2 将以上各式左右两端分别相加 得an a1 1 2 22 2n 2 2n 1 1 所以an 2n 1 n 2 又因为a1 1 适合上式 故an 2n 1 n 1 8 2011 广州模拟 已知数列 an 的前n项和Sn 且a1 1 n 1 an 2 1 求数列 an 的通项公式an 2 令bn ln an 是否存在k k 2 且k N N 使得bk bk 1 bk 2成等比数列 若存在 求出所有符合条件的k值 若不存在 请说明理由 解 1 法一 当n 2 时 an Sn Sn 1 即 n 2 所 n 1 an 2 nan 1 2 an n an 1 n 1 以是首项为 1 的常数数列 所以 1 即an n n N N an n a1 1 an n 法二 同上 得 n 1 an nan 1 同理 得 nan 1 n 1 an 所以 2nan n an 1 an 1 即 2an an 1 an 1 所以 an 成等差数列 又由a1 1 得a2 S2 a1 2 得an 1 n 1 n n N N 法三 同上 得 n 2 an an 1 n n 1 所以an a1 1 n 当 an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 a3 a2 a2 a1 n n 1 n 1 n 2 3 2 2 1 n 1 时a1 1 也满足an n 所以an n n N N 6 2 假设存在k