高二数学相似三角形的判定及有关性质人教实验版（A）知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学相似三角形的判定及有关性质人教实验版 高二数学相似三角形的判定及有关性质人教实验版 A 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 相似三角形的判定及有关性质 二 重点 难点 1 平行线等分线段定理及其推论 2 平行线分线段成例定理及其推论 3 相似三角形判定定理 4 相似三角形性质 5 射影定理 典型例题典型例题 例 1 如图 ABC 中 C B 的平分线相交于 O 过 O 作 AO 的垂线与边 AB AC 分 别交于 D E 求证 BDO BOC DEC 证明 证明 易得 AO 平分 BAC AO DE ADO AEO BDO CEO 又 BDO 90 2 1 BAC BOC 180 2 1 ABC ACB 90 2 1 BAC BDO BOC 又 DBO OBC BDO BOC 同理 ECO OCB BDO BOC OEC 例 2 已知 在 ABC 中 D 为 BC 边上的点 且 AD BD BDE DAC 求证 BDDCEABE 证明 证明 AD BD B 1 2 B BDE 又 BDE DAC 2 BAC 在 AED 与 BAC 中 1 B 2 BAC 用心 爱心 专心 AED BAC BC AD AB AE AD BD BC BD AB AE DCBD BD EBAE AE AE EBAE BD DCBD BD DC AE EB 例 3 已知 D E 分别在 ABC 的边 AC 和 AB 上 BD 与 CE 交于 F 其中 AE BE 3 2 DC AD 40 ABC S 求 AEFD S 证明 证明 取 AD 中点 N 连结 EN EN 2 1 BD 2 2 2 2 4 3 CN CD S S CNE CDF 16 9 CNECDF SS 16 9 ABCCAECNE SSS 10 4 5 4 CDF S 9 16 4 10 ABC S 9 40 ABC S CAE S 1 2 ABC S AEFD S CAE S CDF S 1 2 ABC S 9 40 ABC S 11 40 ABC S 11 例 4 如图 在等腰直角 ABC 中 AB 1 A 90 点 E 为腰 AC 的中点 点 F 在底 边 BC 上 且 EF BE 求 CEF 的面积 解 解 作 FD AC 于 D 设 FD x 由 AB AC 1 A 90 C 45 知 DFC 45 C DC DF x 用心 爱心 专心 DE EC DC x 2 1 由 EF BE DF EC A 90 知 BEA 90 FEC EFD FDE A ABE DEF 2 AE AB FD ED 6 1 2 2 1 xxx 24 1 6 1 2 1 2 1 2 1 DFECS CEF 例 5 已知 Rt ABC 中 BAC 90 在 AB AC 边上分别取点 P Q 连结 PQ 作 AF PQ 于 F AF 延长线交 BC 于 D 求证 ACAQ ABAP CD BD 证明 证明 作 BM AD 于 M CN AD 交 AD 延长线于点 N PQ AD PQ BM CN PQ BM PF BM AP AB NC PQ AC AQ NC FQ ACAP AQAB NCPF FQBM NCBM DC BD NC BM PFDC FQBD ACAP AQAB Rt ABC 中 BAC 90 AF PQ 由射影定理得PQPFAP 2 PQFQAQ 2 FQ PF AQ AP 2 2 ACAP AQAB 2 2 APDC AQBD AC AB APDC AQBD AQAC APAB DC BD 用心 爱心 专心 例 6 已知 ABC 中 A 2 B 求证 ABACACBC 22 证明 证明 延长 CA 至 D 使 AD AB 连结 BD 则 1 D CAB 2 D CAB 2 CBA CBA D 又 C C ABC BDC CD CB CB AC CDACCB 2 ADACACADACAC 2 又 AD AB ADACACCB 22 或作 CAB 平分线 AD CAD CBA CA CB CD CA CBBDCBCBBDCBCA 22 例 7 已知 在 ABC 中 CD 为 AB 边上的高 E 为 BC 边上的中点 DE 的延长线交 AC 延长线于 F 求证 BC AC DF AF 证明 证明 1 方法一 在 EF 上截取 EM DE 连结 BM CD AB DBC 为 Rt E 为 BC 边上的中点 DE 2 1 BC 又 EM DE DM BC EM DM BE EC BDCM 用心 爱心 专心 MC BD AC AF DM DF BC AC DF AF 2 方法二 作 EM BA 交 AC 于 M E 为 BC 中点 AM 2 1 AC CD AB DBC 为 Rt DE 2 1 BC EM BA MA FA DE FD 11 22 FADF ACBC DF AF BC AC 例 8 如图 ABC 中 D E 分别在边 BC AB 上且 1 2 3 设 ABC EBD ADC 的周长分别为 m m1 m2 求证 4 5 21 m mm 证明 证明 令 AB c BC a CA b 由 2 3 知 ED AC 故 EDB ACB BC BD m m1 AC ED BA BE 即 b ED c BE a BD m m 1 由 1 3 C 公共 BAC ADC AC DC AB AD m m2 BC AC m m2 a b b DC c AD a b b DC a b DC 2 a b a BD m m m m 21 a b a DCa 2 2 2 2 1 1 a b a b a b 4 5 4 5 用心 爱心 专心 当 2 1 a b 即ACBC2 时 m mm 21 4 5 4 5 21 m mm 例 9 已知 梯形 ABCD 中 B C 90 过 BC 的中点 F 作 FE AD 且 EF CF 求 证 CDABBC 4 2 解 解 连结 FD FA FE AD DEF 90 CF EF FD FD C DEF 90 DCF DEF DE DC 1 2 同理可证 EA BA 3 4 2 4 90 DFARt EF AD 由射影定理得EADEEF 2 EF CF CBEF 2 1 CDABCB 2 2 1 CDABCB 4 2 例10 已知 如图 在 ABC中 AB 12 AE 6 EC 4 且 EC AE DB AD 1 求AD的长 2 求证 AC EC AB DB 1 解 解 设AD x 则DB AB AD 12 x 则 4 6 12 x x 12 64xx 5 36 x 即 5 36 AD 2 证明 证明 AB AD DB AC AE EC 1 DB AD DB DBAD DB AB 用心 爱心 专心 EC AC 1 EC AE EC ECAE EC AE DB AD EC AC DB AB AC EC AB DB 例11 如图 在Rt ABC中 已知 ACB 90 且CH AB HE BC HF AC 求证 1 HEF EHC 2 HEF HBC 分析 分析 由已知条件中三个 重点 AC BC HF AC HE BC 可得出四边形 EHFC是矩形 由矩形对角线相等 各角均为90 对边相等中两个条件加公共边可证 1 题 由此可得 HCB HFE 证明 证明 1 ACB 90 HE BC HF AC 四边形FHEC是矩形 HF EC FHE CEH 90 又 HE EH HEF EHC 2 由 HEF EHC得 HFE HCB 又 FHE CHB 90 HEF HBC 例12 如图 梯形ABCD中 AB CD 且AB 2CD E F分别是AB BC的中点 EF与BD 相交于点M 1 求证 EDM FBM 2 若DB 9 求BM 1 证明 证明 E是AB的中点 AB 2EB AB 2CD CD EB 又 AB CD 四边形CBED是平行四边形 CB ED DEM BFM EDM FBM EDM FBM 2 解 解 EDM FBM BF DE BM DM F是BC的中点 DE 2BF DM 2BM 3 3 1 DBBM 模拟试题模拟试题 用心 爱心 专心 1 如图所示 在 ABC 中 BAC 90 D 是 BC 的中点 AE AD 交 CB 延长线于 E 则结论正确的是 A AED ACBB AEB ACD C BAE ACED AEC DAC 2 如图所示 DE 是 ABC 的中位线 FG 为梯形 BCED 的中位线 若 DE 4 则 FG 等 于 A 6 B 8 C 10 D 12 3 ABC 的三边长分别为CBA 2 6 2的两边长分别为 1 和3 如果 ABC CBA 那么 CBA 的第三边长为 A 2 B 2 2 C 2 6 D 3 3 4 如图所示 D 是 ABC 的 AB 边上的一点 要使 ACD ABC 则它们还必须具 备的条件是 A BCABCDAC B ACBCADCD C DBADCD 2 D ABADAC 2 5 如图所示 ABC 中 DE BC 2 1 DBAD 则下列结论中错误的是 A 3 1 BC DE B 3 1 的周长 的周长 ABC ADE C 3 1 的面积 的面积 ABC ADE D 8 1 的面积梯形 的面积 BCED ADE 用心 爱心 专心 6 如图所示 已知 ABCD 是正方形 E 是 CD 的中点 P 是 BC 边上的一点 下列条件 不能推出 ABP 与 ECP 相似的是 A APB EPCB APE 90 C P 是 BC 的中点D 3 2 BCBP 7 如图所示 在正方形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 F 是 CD 上一点 AE EF 则下列 结论正确的是 A BAE 30 B CFABCE 2 C CDCF 3 1 D ABE AEF 8 如图所示 等腰直角 ABC 中 AD 是直角边 BC 上的中线 BE AD 交 AC 于 E EF BC 若 AB BC a 则 EF 等于 A a 3 1 B a 2 1 C a 3 2 D a 5 2 9 如图所示 已知 AD 是 ABC 的中线 E 是 AD 上的一点 CE 交 AB 于 F 且 4 1 ED AE 则 FB AF 等于 A 7 1 B 8 1 C 9 1 D 10 1 用心 爱心 专心 10 如图所示 ABCD 中 E 是 BC 上一点 3 2 ECBE AE 交 BD 于 F 则 FDBF 等于 A 2 5 B 3 5 C 2 3 D 5 7 11 如图所示 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 F 是 AD 上的一点 且 5 1 FDAF 连结 CF 并延长交 AB 于点 E 则EBAE 等于 A 1 6 B 1 8 C 1 9 D 1 10 12 如图所示 梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 对角线 AC BD 垂足为 P 已知4 3 BCAD 则ACBD 的值是 A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 4 13 如图所示 P 为ABCRt 的斜边 AB 上任意一点 除 A B 外 过点 P 作直线截 ABC 使截得的新三角形与 ABC 相似 满足这样条件的直线的作法共有 A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 3 种以上 14 如图所示 已知 ABC 中 DE FG BC 且3 2 1 FBDFAD 则 DFGEADE SS