（江苏专用）2013年高考数学二轮复习 专题17附加题21题学案

专题专题 1717 附加题附加题 2121 题题 回顾 2009 2012 年的高考考题 附加题选做 四选二 中分别考查几何证明选讲 极坐标与参数方 程 矩阵与变换 不等式选讲这四个内容 要求考生从中选择两个来完成 每题 10 分 难度不是很大 但是要求考生对所学知识点熟练掌握 2012 江苏高考 如图 AB是圆O的直径 D E为圆上 典例1 位于AB异侧的两点 连结BD并延长至点C 使BD DC 连结 AC AE DE 求证 E C 解 证明 如图 连结AD AB是圆O的直径 ADB 90 AD BD 又 BD DC AD是线段BC的中垂线 AB AC B C 又 D E为圆上位于AB异侧的两点 B E E C 1 本题利用中间量代换的方法证明 E C 一方面考虑到 B和 E是同弧所对圆周角相等 另 一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 B C 2 本题还可连结OD 利用三角形中位线来证明 B C 演练1 2012 泰州期末 已知AD是 ABC的外角 EAC的平分线 交BC的延长线于点D 延长DA交 ABC 的外接圆于点F 连结FB FC 1 求证 FB FC 2 若AB是 ABC外接圆的直径 EAC 120 BC 3 求AD的长 3 解 1 证明 AD平分 EAC EAD DAC 四边形AFBC内接于圆 DAC FBC EAD FAB FCB FBC FCB FB FC 2 AB是圆的直径 ACD 90 EAC 120 DAC EAC 60 D 30 1 2 在 Rt ACB中 BC 3 BAC 60 AC 3 3 又在 Rt ACD中 D 30 AC 3 AD 6 典例2 2012 江苏高考 已知矩阵A A的逆矩阵A A 1 求矩阵A A的特征值 1 4 3 4 1 2 1 2 解 A A 1A A E E A A A A 1 1 A A 1 A A A A 1 1 1 4 3 4 1 2 1 2 2 3 2 1 矩阵A A的特征多项式为 f 2 3 4 2 3 2 1 令f 0 解得矩阵A A的特征值 1 1 2 4 由矩阵A A的逆矩阵 根据定义可求出矩阵A A 从而可求出矩阵A A的特征值 演练2 2012 泰州期末 已知矩阵A A B B 求满足AXAX B B的二阶矩阵X X 2 1 4 3 4 1 3 1 解 由题意得A A 1 3 2 1 2 2 1 AXAX B B X X A A 1B B 3 2 1 2 2 1 4 1 3 1 9 2 1 5 1 典例3 2012 江苏高考 在极坐标中 已知圆C经过点P 圆心为直线 sin 与 2 4 3 3 2 极轴的交点 求圆C的极坐标方程 解 圆C圆心为直线 sin 与极轴的交点 在 sin 中令 3 3 2 3 3 2 0 得 1 圆C的圆心坐标为 1 0 圆C经过点P 2 4 圆C的半径为PC 1 2 2 12 2 1 2cos 4 圆C经过极点 圆C的极坐标方程为 2cos 求圆的方程的关键是求出圆心坐标和圆的半径 演练3 2012 南通二模 在极坐标系中 圆C1的方程为 4cos 以极点为坐标原点 极轴 2 4 为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 圆C2的参数方程Error Error 为参数 若圆C1与圆C2相切 求实数 a的值 解 C1 x 2 2 y 2 2 8 圆心C1 2 2 半径r1 2 2 C2 x 1 2 y 1 2 a2 圆心C2 1 1 半径r2 a 圆心距C1C2 3 2 两圆外切时 C1C2 r1 r2 2 a 3 a 222 两圆内切时 C1C2 r1 r2 2 a 3 22 a 5 2 综上 a 或a 5 22 典例4 2012 江苏高考 已知实数x y满足 x y 2x y 求证 y 1 3 1 6 5 18 证明 3 y 3y 2 x y 2x y 2 x y 2x y 由题设知 x y 2x y 1 3 1 6 3 y y 1 3 1 6 5 6 5 18 解决本题的关键是用 x y 和 2x y 表示y 演练4 2012 南通二模 已知x y z均为正数 求证 x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 证明 因为x y z都为正数 所以 x yz y zx 1 z x y y x 2 z 同理 可得 y zx z xy 2 x z xy x yz 2 y 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 专题技法归纳 1 几何证明选讲主要考查直线与圆的相切关系 弦切角定理是沟通角的桥梁 解决与圆有关的线段 问题常利用相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理 并结合三角形相似等知识 2 矩阵与变换主要考查变换 矩阵的特征值与特征向量 逆矩阵 二阶矩阵的乘法 3 极坐标与参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化及应用参数方程求最值 范围等问题 4 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号化为不含绝对值的不等式 其过程体现了分类讨论思想 的应用 1 2012 苏北四市三模 如图 圆O的直径AB 4 C为圆周上一点 BC 2 过C作圆O的切线l 过A作l的垂线AD分别与直线l 圆O交于点D E 求线段AE的长 解 在 Rt ABC中 因为AB 4 BC 2 所以 ABC 60 因为l为过C的切线 所以 DCA CBA 所以 DCA ABC 60 又因为AD DC 所以 DAC 30 在 AOE中 因为 EAO DAC CAB 60 且OE OA 所以AE AO AB 2 1 2 2 如 图 O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P E为 O上一点 AE AC 求证 PDE POC 证明 因AE AC AB为直径 故 OAC OAE 所以 POC OAC OCA OAE OAC EAC 又 EAC PDE 所以 PDE POC 3 2012 扬州期末 求矩阵M M 的特征值和特征向量 1 4 2 6 解 f 1 6 8 2 5 14 7 2 由f 0 可得 1 7 2 2 由Error Error 可得属于 1 7 的一个特征向量为 1 2 由Error Error 可得属于 1 2 的一个特征向量为 4 1 4 2012 南通二模 已知M M 计算M M5 5 1 2 2 1 1 7 解 矩阵M M的特征多项式为f 2 2 3 1 2 2 1 令f 0 解得 1 3 2 1 从而求得它们对应的一个特征向量分别为 1 2 1 1 1 1 令 m 1 n 2 所以求得m 4 n 3 M M5 M M5 4 1 3 2 4 M M5 5 1 3 M M5 5 2 4 1 3 2 5 15 2 4 35 3 1 5 1 1 1 1 975 969 5 已知矩阵A A 向量 求向量 使得A A2 1 1 2 1 1 2 解 A A A A2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2 4 3 设 则A A2 x y 3 2 4 3 x y 1 2 3x 2y 4x 3y 1 2 Error Error Error Error 1 2 6 已知P x y 是椭圆 y2 1 上的点 求M x 2y的取值范围 x2 4 解 y2 1 的参数方程Error Error 为参数 x2 4 设P 2cos sin M x 2y 2cos 2sin 2sin 2 4 M x 2y的取值范围是 2 2 22 7 2012 泰州期末 已知曲线C的极坐标方程为 6sin 以极点为原点 极轴为x轴的非负 半轴建立平面直角坐标系 直线l的参数方程为Error Error t为参数 求直线l被曲线C截得的线段长度 解 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 y2 6y 0 即x2 y 3 2 9 它表示以 0 3 为圆心 3 为半径的圆 直线方程l的普通方程为y x 1 3 圆C的圆心到直线l的距离d 1 3 1 3 1 故直线l被曲线C截得的线段长度为 2 4 32 122 8 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为Error Error t为参数 若以直角坐标系xOy的O点为极 点 Ox为极轴 且长度单位相同 建立极坐标系 得曲线C的极坐标方程为 2cos 4 1 求直线l的倾斜角 2 若直线l与曲线C交于A B两点 求AB 解 1 设直线l的倾斜角为 则Error Error 且 0 即直线l的倾斜角为 3 3 2 l的直角坐标方程为y x 3 2 2 2cos的直角坐标方程为 4 2 2 1 x 2 2 y 2 2 圆心到直线l的距离d 2 2 2 2 6 4 AB 10 2 9 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 求 x y 1 的最大值 解 法一 x y 1 x 1 y 2 x 1 y 2 2 当且仅当x 2 y 3 或x 0 y 1 时 取等号 x y 1 的最大值为 2 法二 x 1 1 0 x 2 y 2 1 1 y 3 3 y 1 2 x y 1 2