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1 专题限时集训专题限时集训 二十一二十一 A A 第第 2121 讲讲 几何证明选讲几何证明选讲 时间 30 分钟 1 如图 21 1 过圆O外一点M作它的一条切线 切点为A 过A作直线AP 直线 OM 垂足为P 1 证明 OM OP OA2 2 N为线段AP上一点 直线NB 直线ON 且交圆O于B点 过B点的切线交直线ON 于K 证明 OKM 90 图 21 1 2 如图 21 2 O的半径OB垂直于直径AC M为AO上一点 BM的延长线交 O于 N 过N点的切线交CA的延长线于P 1 求证 PM2 PA PC 2 若 O的半径为 2 OA OM 求MN的长 33 图 21 2 2 3 如图 21 3 AB是 O的一条切线 切点为B ADE CFD都是 O的割线 AC AB 1 证明 AC2 AD AE 2 证明 FG AC 图 21 3 4 如图 21 4 O1与 O2相交于A B两点 AB是 O2的直径 过A点作 O1的切线 交 O2于点E 并与BO1的延长线交于点P PB分别与 O1 O2交于C D两点 求证 1 PA PD PE PC 2 AD AE 图 21 4 3 4 专题限时集训 二十一 A 1 证明 1 因为MA是圆O的切线 所以OA AM 又因为AP OM 在 Rt OAM中 由射影定理知 OA2 OM OP 2 因为BK是圆O的切线 BN OK 同 1 有OB2 ON OK 又OB OA 所以OP OM ON OK 即 ON OP OM OK 又 NOP MOK 所以 ONP OMK 故 OKM OPN 90 2 解 1 证明 连接ON 则ON PN 且 OBN为等腰三角形 则 OBN ONB PMN OMB 90 OBN PNM 90 ONB PMN PNM PM PN 由条件 根据切割线定理 有PN2 PA PC 所以PM2 PA PC 2 OA 2 OA OM OM 2 在 Rt BOM中 BM 4 33OB2 OM2 延长BO交 O于点D 连接DN 由条件易知 BOM BND 于是 BO BN BM BD 即 得BN 6 2 3 BN 4 4 3 MN BN BM 6 4 2 3 证明 1 AB是 O的一条切线 AB2 AD AE 又 AC AB AC2 AD AE 5 2 AC2 AD AE 又 DAC CAE AC AD AE AC CAD EAC ACD AEC 又 四边形DEGF是 O的内接四边形 CFG AEC ACD CFG FG AC 4 证明 1 PE PB分别是 O2的割线 PA PE PD PB 又 PA PB分别是 O1的切线和割线 PA2 PC PB 由 得PA PD PE PC 2 连接AC ED 设DE与AB相交于点F BC是 O1的直径 CAB 90 AC是 O2的切线 由 1 知 AC ED AB DE
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