第三章-坐标变换

第三章第三章 坐标变换坐标变换 3 1 时空矢量图时空矢量图 根据电路原理 凡随时间作正弦变化的物理量 如电动势 电压 电流 磁通等 均可用一个以其交变频率作为角速度而环绕时间参考轴 简称时轴 t 逆时针旋转的时间矢量 即相量 来代替 该相量在时轴上的投影即为该物理 量的瞬时值 我们这里介绍的时空矢量图表示法是一种多时轴单相量表示法 即每相的时间相量都以该相的相轴作为时轴 而各相对称的同一物理量用一根 统一的时间向量来代表 如图 3 1 所示 只用一根统一的电流相量 定子电 1 I 流 即可代表定子的对称三相电流 不难证明 在 A 上的投影即为该时刻 1 I 瞬时值 在 B 上的投影即为该时刻瞬时值 在 C 上的投影即为该时刻瞬 A i B i C i 时值 有了统一时间相量的概念 我们就可以方 便地将时间相量跟空间矢量联系起来 将他 们画在同一矢量图中 得到交流电机中常用 的时空矢量图 在图 3 2 所示的时空矢量图 中 我们取各相的相轴作为该相的时轴 假 设某时刻达到正最大 则此时刻统一 mA Ii 相量应与 A 重合 据旋转磁场理论 这时 A I 由定子对称三相电流所生成的三相合成基波 磁动势幅值应与 A 重合 即应与 A 重合 1 F 亦即与重合 由于时间相量的角频率 1 I 1 I 跟空间矢量的电角速度相等 所以在 1 F 1 任何其他时刻 与都始终重合 为此 1 F 1 I 我们称与由它所生成的三相合成基波磁动 1 I 势在时空图上同相 在考虑铁耗的情况下 1 F 应滞后于一个铁耗角 磁通相量 1 B 1 F Fe 与重合 定子对称三相电动势的统一电 m 1 B 动势相量应落后于为 90 度 1 E m 由电机学我们知道 当三相对称的静止绕 组 A B C 通过三相平衡的正弦电流 A i 时产生的合成磁势 F 它在空间呈正弦分布 并以同步速度 电角速度 B i c i 顺着 A B C 的相序旋转 如图 3 3 a 所示 然而产生旋转磁势并不一定非要 三相电流不可 三相 四相等任意多相对称绕组通以多相平衡电流 都能产生 旋转磁势 如图 3 3 b 所示 所示为两相静止绕组 它们在空间上互差 90 度 当它们流过时间相位上相差 90 度的两相平衡的交流电流 时 也 i i A B C I 图 3 1 统一时间向量 图 3 2 时空矢量图 可以产生旋转磁动势 当图 3 3 a 和图 3 3 b 的两个旋转磁动势大小和转速都相 等时 即认为图 3 3 a 中的两相绕组和图 3 3 b 中三相绕组等效 再看图 3 3 c 中的两个匝数相等且相互垂直的绕组 d 和 q 其中分别通以直流电流和 d i q i 也能够产生合成磁动势 F 但其位置相对于绕组来说是固定的 如果让包含两 个绕组在内的整个铁芯以转速旋转 则磁势 F 自然也随着旋转起来 称为旋 转磁势 于是这个旋转磁势的大小和转速与图 3 3 a 和图 3 3 b 中的磁势一样 那么这套旋转的直流绕组也就和前两套固定的交流绕组等效了 图 3 3 等效交直流绕组物理模型 当观察者站在图 3 3 c 中的两相旋转绕组 d q 铁芯上与绕组一起旋转时 在观察者看来这时两个通以直流电流的相互垂直的静止绕组 这样就将对交流 电机的控制转化为类似直流电机的控制了 在交流励磁电机中 定子三相绕组 转子三相绕组都可以等效成这样的两 相旋转绕组 由于相互垂直的原因 定子两相轴之间和转子两相轴之间都没有 互感 又由于定子两相轴与转子两相轴之间没有相对运动 因为定 转子磁势 没有相对运动 其互感必然是常数 因而在同步两相轴系电机的微分方程就 必然是常系数 这就为使用矩阵方程求解创造了条件 习惯上我们分别称图 3 3 a b c 中三种坐标系统为三相静止坐标系 a b c 坐 标系 两相静止坐标系 坐标系 两相旋转坐标系 d q 0 坐标0 系 要想以上三种坐标系具有等效关系 关键是要确定 与 A i B i C i i 和 之间的关系 以保证它们产生同样的旋转磁动势 而这就需要我们 i d i q i 引入坐标变换矩阵 坐标变换的方法有很多 这里我们只介绍根据等功率原则构造的变换阵 可以证明根据等功率原则构造的变换阵的逆与其转置相等 这样的变换阵属于 正交变换 3 2 坐标变换坐标变换 3S 2S 图 3 4 所示为交流电机的定子三相绕组 A B C 和与之等效的两相电机定 子绕组各相磁势的空间位置 当两者的旋转磁场完全等效时 合成磁势沿 相同轴向的分量必定相等 即三相绕组和两相绕组的瞬间磁势沿轴的投影 相等 即 图 3 4 三相定子绕组与两相定子绕组磁势的空间位置 即 3 4 sin 3 2 sin0 3 4 cos 3 2 cos 332 3332 CBs CBAs iNiNiN iNiNiNiN 式中 分别为三相电机和两相电机定子每相绕组匝数 经计算并整理 3 N 2 N 后 用距阵表示为 3 C B A s s i i i N N i i 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 0 1 1 简记为 iCi ss23 为求其逆变换 引入另一个独立于 的新变量 称之为零序电流 并定 s i s i 0 i 义 3 2 3 0CBA KiKiKi N N i 2 式中 K 为待定系数 对两相系统而言 零序电流是没有意义的 这里只是为了纯数学上的求逆 的需要而补充定义的一个其值为零的零序电流 相应坐标系才称为坐0 标系 需要说明的是 这并不影响总的变换过程 式 3 1 和式 3 2 合并后 成为 ss C 23 KKK N N C ss 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 2 3 23 将求逆 得到 ss C 23 K K K N N C ss 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 01 3 2 3 2 1 23 根据等功率原则 要求 用到矩阵的运算公式 T ssss CC 23 1 23 据此 经过计算整理可得 于是 TTT ABAB 2 1 3 2 2 3 K N N 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 3 2 23ss C 3 3 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 01 3 2 1 2332ssss CC 4 式 3 3 和式 3 4 即为定子三相 两相静止轴系变化矩阵 以上两式同样适用 于定子电压和磁链的变化过程 需要注意的是 当把以上两式运用于转子轴系 的变换时 变换后得到的两相轴系和转子三相轴系一样 相对转子实体是静止 的 但是 相对于静止的定子轴系而言 却是以转子角频率旋转的 因此和 r 定子部分的变换不同 转子部分实际上是三相旋转轴系变换成两相旋转轴系 3 3 坐标变换坐标变换 2S 2R 如图 3 5 所示 为定子电流空间矢量 图中 d q 0 坐标系是任意同步旋转 s i 坐标系 旋转角速度为同步角速度 由于两相绕组在空间上的位置是 1 固定的 因而轴和轴的夹角随时间而变化 在矢量变换控制d dt d 1 系统中 通常称为磁场定向角 图 3 5旋转变换矢量关系图 由上图可以看出 qs ds s s i i i i cossin sincos 令 3 cossin sincos 22sr C 5 式 3 5 表示了由两相同步旋转坐标系到两相静止坐标系的矢量旋转变换矩 阵 由于变换矩阵是一个正交矩阵 所以 因而 由静 sr C 22 sr T srCC2222 1 止坐标系变换到同步旋转坐标系的矢量变换方程式为 3 s s s s qs ds i i i i i i cossin sincos cossin sincos 1 6 令 3 cossin sincos 1 2222rsrs CC 7 式 3 7 表示了两相静止坐标系到两相同步旋转坐标系的矢量旋转变换矩阵 仿照两相同步旋转轴系到两相静止坐标系的矢量旋转变换 可以得到旋转 两相 d q 0 轴系到两相静止轴系的坐标变换过程 3 qr dr rr rr r r i i i i cossin sincos 8 式中 为经变换所得的转子两相旋转 d q 0 轴系的电流 dr i qr i ss C 23 为两相静止轴系下的电流 为转子转过的空间电角度 r i r i r 3 4 坐标变换坐标变换 3S 2R 将 3S 2S 变换和 2S 2R 变换合并成一步就得到三相静止坐标系和 d q 0 坐 标系之间的定子量的变换矩阵 推导如下 按式 3 6 有 0 100 0cossin 0sincos 0 s s qs ds i i i i i 又由于 代入上式可得 T CBAss T ss iiiCiii 230 C B A qs ds i i i i i i 2 1 2 1 2 1 3 2 sin 3 2 sinsin 3 2 cos 3 2 coscos 0 3 C B A rs i i i C 23 9 由于等功率坐标变换矩阵为正交矩阵 易知 rs T sr CC23 32 两相同步旋转坐标系下的转子量可以经过如下变换得到 先利用式 3 8 的 变换矩阵得到 q 0 轴系下的转子量 再利用式 3 8 实现到坐标系的0 转换 最后利用式 3 7 的变换矩阵 最终得到两相同步旋转坐标系下的转子量 经推导 以上三个步骤可合并为一个坐标变换矩阵 c b a rrr rrr qr dr i i i i i i 2 1 2 1 2 1 3 2 sin 3 2 sinsin 3 2 cos 3 2 cos cos 0 3 c b a rs i i i C 23 10 同样 以上变换也满足等功率原则 该变换矩阵仍为正交矩阵 由于转子绕组变量可以看作是处在一个以角速度旋转的参考坐标系下 r 对应式 3 9 转子各变量可直接以角度差的关系变换到同步 d q 坐标系下 r 相应地 显然 式 3 10 与这一思路完全吻合 dt d r r 1 最后 有必要指出 以上坐标变换矩阵同样适用于电压和磁链的变换过程 而且变换是以各量的瞬时值为对象的 同样适用于稳态和动态 对三相坐标系 到两相坐标系的变换而言