高二数学解析几何综合复习资料：直线与圆锥曲线的位置关系旧人教版

用心 爱心 专心 高二数学寒假辅导资料 高二数学寒假辅导资料 5 5 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 一 基础知识 一 基础知识 1 位置关系的判定 将直线方程和圆锥曲线方程联立 消去一个未知数 进而转化为一 元二次方程 利用 判断直线与圆锥曲线 的情况 2 判断直线与圆的位置关系时 最常用的方法是利用圆心到直线的距离和 的大 小关系 3 弦长公式 斜率为 k 的直线被圆锥直线截得的弦 AB 若 11 yxA 22 yxB 则 AB AB 二 基础练习 二 基础练习 1 双曲线1 3 2 2 y x的左右焦点分别为 21 F F 过 2 F作倾斜角为 150的直线交双曲线于 A B 两点 则ABF1 的周长是 C A 6 B 5 C 333 D 2 33 3 2 已知双曲线 C 1 4 2 2 y x 过点 P 1 1 作直线l 使l与 C 有且只有一个公共点 则 满足上述条件的直线l共有 D A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 3 过抛物线xy8 2 的焦点 F 作倾斜角为 60直线 若此直线与抛物线交于 A B 两点 弦 AB 的中垂线与x轴交于点 P 则线段 PF 的长等于 A A 3 16 B 3 8 C 3 316 D 38 4 设 F 是抛物线xy4 2 的焦点 A B 是抛物线上两点 且FAB 是正三角形 则该正三 角形的边长等于 D A 324 B 348 C 324 D 348 5 1 916 1 34 22 yxyx 与椭圆直线 相交于 A B 两点 该椭圆上的点 P 使得 PAB 的面积等 于 6 这样的点 P 有 A A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 三 典型例题 三 典型例题 例 1 设椭圆 E 的中心在坐标原点 O 焦点在 x 轴上 离心率为 3 3 过点C 1 0 的直线交椭 圆 E 于 A B 两点 且CA2BC 求当AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方程 用心 爱心 专心 则 AOB12 2 1m S yy 6 22m3 66 3 2 2 m m 当 2 3 m 2 即 6 m 2 时 AOB 面积取最大值 此时 2 12 222 2t32m y y 2m3 2m3 即 t10 所以 直线方程为 6 xy10 2 椭圆方程为 22 2x3y10 答案 22 2x3y10 方法与技巧 利用向量的数量积构造出等式或函数关系 再利用函数求最值的方法求最值 要比只利用解析几何知识建立等量关系容易 例 2 抛物线 C 的方程为 0 2 aaxy 过抛物线 C 上一点 P x0 y0 x 0 0 作斜率为 k1 k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A x1 y1 B x2 y2 两点 P A B 三点互不相同 且满足 10 0 12 且kk 求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程 设直线 AB 上一点 M 满足MABM 证明线段 PM 的中点在 y 轴上 当 1 时 若点 P 的坐标为 1 1 求 PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 1 y的取值 范围 思路分析 将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程 用韦达定理来 求解 解 由抛物线C的方程 2 axy 0 a 得 焦点坐标为 4 1 0 a 准线方程为 a y 4 1 证明 设直线PA的方程为 010 xxkyy 直线PB的方程为 020 xxkyy 点 00 yxP和点 11 yxA的坐标是方程组 010 2 yyk xx yax 的解 将 式代入 式得0 0011 2 yxkxkax 于是 a k xx 1 01 故 0 1 1 x a k x 又点 00 yxP和点 22 yxB的坐标是方程组 020 2 yykxx yax 的解 将 式 用心 爱心 专心 代入 式得0 0022 2 yxkxkax 于是 2 20 k xx a 故 2 20 k xx a 由已知得 12 kk 则 012 xk a x 设点M的坐标为 MM yx 由MABM 则 1 12 xx xM 将 式和 式代入上式得 0 00 1 x xx xM 即0 0 xxM 线段PM的中点在y轴上 因为点 1 1 P在抛物线 2 axy 上 所以1 a 抛物线方程为 2 xy 由 式知1 11 kx 代入 2 xy 得 2 11 1 ky 将1 代入 式得 21 1xk 代入 2 xy 得 2 22 1 ky 因此 直线PA PB分别与抛物线C的交点A B的坐标为 2 111 1 21 Akkk 2 111 1 21 B kkk 于是 2 111 2 2 APkkk 11 2 4 ABkk 2 11111111 2 2 4 2 2 2 21 AP ABk kk kkk kk 因PAB 为钝角且P A B三点互不相同 故必有0AP AB 求得 1 k的取值范围是 1 2k 或 1 1 0 2 k 又点A的纵坐标 1 y满足 2 11 1 yk 故当 1 2k 时 1 1y 当 1 1 0 2 k 时 1 1 1 4 y 即 1 1 1 1 4 y 点评 解析几何解题思维方法比较简单 但对运算能力的要求比较高 平时练习要注意 提高自己的运算能力 例 3 过点 1 0 的直线 l 与中心在原点 焦点在 x 轴上且离心率为 2 2 的椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 y 2 1 x 过线段 AB 的中点 同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称 试求直线 l 与椭圆 C 的方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 思路分析 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题 解法一 将 A B 两点坐标代入圆 锥曲线方程 两式相减得关于直线 AB 斜率的等式 再利用对称点所连线段被对称轴垂直平 分来列式求解 解法二 用韦达定理 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 由 e 2 2 a c 得 2 1 2 22 a ba 从而 a2 2b2 c b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设椭圆方程为 x2 2y2 2b2 A x1 y1 B x2 y2 在椭圆上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 则 x12 2y12 2b2 x22 2y22 2b2 两式相减得 x12 x22 2 y12 y22 0 2 21 21 21 21 yy xx xx yy 设 AB 中点为 x0 y0 则 kAB 0 0 2y x 又 x0 y0 在直线 y 2 1 x 上 y0 2 1 x0 于是 0 0 2y x 1 kAB 1 设 l 的方程为 y x 1 右焦点 b 0 关于 l 的对称点设为 x y by x bxy bx y 1 1 1 22 1 解得则 用心 爱心 专心 由点 1 1 b 在椭圆上 得 1 2 1 b 2 2b2 b2 8 9 16 9 2 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所求椭圆 C 的方程为 2 2 9 16 9 8 y x 1 l 的方程为 y x 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法二 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 由 e 2 1 2 2 2 22 a ba a c 得 从而 a2 2b2 c b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设椭圆 C 的方程为 x2 2y2 2b2 l 的方程为 y k x 1 将 l 的方程代入 C 的方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2b2 0 则 x1 x2 2 2 21 4 k k y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k 2 21 2 k k 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直线 l 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 y 2 1 x 过 AB 的中点 2 2 2121 yyxx 则 2 2 2 21 2 2 1 21k k k k 解得 k 0 或 k 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 k 0 则 l 的方程为 y 0 焦点 F c 0 关于直线 l 的对称点就是 F 点本身 不能在椭圆 C 上 所以 k 0 舍去 从而 k 1 直线 l 的方程为 y x 1 即 y x 1 以下同解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点评 点评 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法 设计新颖 基础性强 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 待定系数法求曲线方程 如何处理直线与圆锥曲线问题 对称问题 成为解决本题的关键 注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论 四 巩固练习四 巩固练习 1 与直线 2x y 4 0 平行的抛物线 y x2的切线方程是 D A 2x y 3 0 B 2x y 3 0 C 2x y 1 0 D 2x y 1 0 2 已知 x y R 集合 A x y x2 y2 1 B x y y t x 2 2 若 A B 是单元素集合 则 t 值的个数是 C A 0 B 1 C 2 D 3 3 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 0 a a b22 的线段 AB 的端点在双曲线 b2x2 a2y2 a2b2的右支上 则 AB 中点 M 的横 坐标的最小值为 22 2 2 ba ala 13 设椭圆方程为1 4 2 2 y x 过点 M 0 1 的直线 l 交椭圆于点 A B O 是坐标原点 点 P 满足 2 1 OBOAOP 点 N 的坐标为 2 1 2 1 当 l 绕点 M 旋转时 求 动点 P 的轨迹方程 NP的最小值与最大值 13 解法一 直线 l 过点 M 0 1 设其斜率为 k 则 l 的方程为 1 kxy 记 11 yxA 22 yxB由题设可得点 A B 的坐标 11 yx 22 yx是方程组 1 4 1 2 2 y x kxy 的解 将 代入 并化简得 032 4 22 kxxk 所以 4 8 4 2 2 21 2 21 k yy k k xx 于是 4 4 4 2 2 2 1 22 2121 kk kyyxx OBOAOP 设点 P 的坐标为 yx则 4 4 4 2 2 k y k k x 消去参数 k 得04 22 yyx 当 k 不存在时 A B 中点为坐标原点 0 0 也满足方程 所以点 P 的轨迹方程为 0 4 22 yyx 解法二 设点 P 的坐标为 yx 因 11 yxA 22 yxB在椭圆上 所以 1 4 2 12 1 y x 1 4 2 22 2 y x 得0 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 所以 0 4 1 21212121 yyyyxxxx 当 21 xx 时 有 用心 爱心 专心 0 4 1 21 21 2121 xx yy yyxx 并且 1 2 2 21 21 21 21 xx yy x y yy y xx x 将 代入 并整理得 0 4 22 yyx 当 21 xx 时 点 A B 的坐标为 0 2 0 2 这时点 P 的坐标为 0 0 也满足 所以点 P 的轨迹方程为 1 4 1 2 1 16 1 2 2 y x 解 由点 P 的轨迹方程知 4 1 4 1 16 1 2 xx即所以 12 7 6 1 34 4 1 2 1 2 1 2 1 222222 xxxyxNP 故当 4 1 x NP取得最小值 最小值为 6 1 4 1 x当时 NP取得最大值 最大值为 6 21 14 已知双曲线的中心在原点 右顶点为 A 1 0 点 P Q 在双曲线的右支上 支 M m 0 到直线 AP 的距离为 1 若直线 AP 的斜率为 k 且 3 3 3 k 求实数 m 的 取值范围 当12 m时 APQ 的内心恰好是点 M 求此双曲 线的方程 14 解 由条件得直线 AP 的方程 1 xky即 0 kykx因为点 M 到直线 AP 的距 离为 1 1 1 2 k kmk 即 2 2 1 1 1 1 k k k m 3 3 3 k 21 3 32 m解得 3 32 1 m 3 或 1 m 1 3 32 m 的取值范围是 3 3 32 1 3 32 1 1 可设双曲线方程为 0 1 2 2 2 b b y x由 0 1 0 12 AM 得2 AM 又因为 M 是 APQ 的内心 M 到 AP 的距离为 1 所以 MAP 45 直线 AM 是 PAQ 的角平分线 且 M 到 AQ PQ 的距离均为 1 因此 1 1 AQAP kk 不妨设 P 在第一象限 直线 PQ 方程为22 x 直线 AP 的方程 y x 1 解得 P 的坐标是 2 2 1 2 将 P 点坐标代入1 2 2 2 b y x得 32 12 2 b所 以所求双曲线方程为 1 12 32 22 yx 即 1 122 22 yx 15 椭圆的中心是原点 O 它的短轴长为22 相应于焦点 F c 0 0 c 的准线l与 x 轴相交于点 A OF