（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第六篇 数列、推理与证明《第33讲　等比数列及其前n项和》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第六篇高考总复习江苏专用 理科 第六篇 数列 推理与证明数列 推理与证明 第第 3333 讲讲 等比数列及其前等比数列及其前 n n 项和项和 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 综合创新备选 含解析 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 设 an 是公比为正数的等比数列 若a1 1 a5 16 则数列 an 前 7 项的和为 解析 设数列 an 的公比为q q 0 前n项和为Sn 由a1 1 a5 16 得q4 16 a5 a1 所以q 2 从而得S7 127 a1 1 q7 1 q 答案 127 2 设数列 a 前n项和为Sn a1 t a2 t2 Sn 2 t 1 Sn 1 tSn 0 则 an 是 2n 数列 通项an 解析 由Sn 2 t 1 Sn 1 tSn 0 得Sn 2 Sn 1 t Sn 1 Sn 所以an 2 tan 1 所以 t 又 t 所以 an 成等比数列 且an t tn 1 tn an 2 an 1 a2 a1 答案 等比 tn 3 2011 南京模拟 已知正数数列 an 对任意p q N N 都有ap q ap aq 若a2 4 则 a9 解析 令p n q 1 得an 1 an a1 又an 0 所以 an 是公比为a1的等比数列 所 以an a 又a2 4 所以an 2n a9 29 512 n1 答案 512 4 2011 泰州模拟 数列 an 为正项等比数列 若a2 2 且 an an 1 6an 1 n N N n 2 则此数列的前 4 项和S4 解析 由a1q 2 a1qn 1 a1qn 6a1qn 2 得qn 1 qn 6qn 2 所以q2 q 6 又q 0 所以q 2 a1 1 所以S4 15 a1 1 q4 1 q 1 24 1 2 答案 15 5 已知等比数列 an 的前n项和Sn t 5n 2 则实数t的值为 1 5 2 解析 a1 S1 t a2 S2 S1 t a3 S3 S2 4t 由 an 是等比数列知 2 1 5 1 5 4 5 4 5t 4t 显然t 0 所以t 5 1 5t 1 5 答案 5 6 2011 南京模拟 已知各项都为正数的等比数列 an 中 a2 a4 4 a1 a2 a3 14 则满足an an 1 an 2 的最大正整数n的值为 1 9 解析 由等比数列的性质 得 4 a2 a4 a a3 0 所以a3 2 所以 2 3 a1 a2 14 a3 12 于是由Error 解得Error 所以an 8 n 1 n 4 1 2 1 2 于是由an an 1 an 2 a 3 n 3 n 3 得n 3 1 即n 4 3n 1 1 2 1 8 1 9 答案 4 7 2011 宿迁联考 设a1 2 an 1 bn 1 n N N 则b2 011 2 an 1 an 2 an 1 解析 由题意得b1 1 3 a1 2 a1 1 bn 1 1 2 1 2 bn 1 1 2bn 1 an 1 2 an 1 1 an 2 an 1 bn 1 1 2 bn 1 故 2 故数列 bn 1 是以 4 为首项 2 为公比的等比数 bn 1 1 bn 1 列 bn 1 2n 1 bn 2n 1 1 答案 22 012 1 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 2011 扬州模拟 设数列 an 的首项a1 a 且an 1 Error 1 4 记bn a2n 1 n 1 2 3 1 4 1 求a2 a3 2 判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 解 1 a2 a1 a a3 a2 a 1 4 1 4 1 2 1 2 1 8 2 因为a4 a3 a 所以a5 a4 a 所以b1 a1 0 b2 a3 1 4 1 2 3 8 1 2 1 4 3 16 1 4 1 4 1 2 3 b3 a5 a 1 4 1 4 1 4 a 1 4 猜想 bn 是公比为 的等比数列 1 2 证明如下 因为bn 1 a2n 1 a2n bn n N N 所以 bn 是 1 4 1 2 1 4 1 2 a2n 1 1 4 1 4 1 2 a2n 1 1 4 1 2 首项为a 公比为 的等比数列 1 4 1 2 9 2011 南通无锡调研 设数列 an 的前n项和为Sn 已知 a1 a an 1 Sn 3n n N N 且a 3 1 设bn Sn 3n 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 an 的通项公式 解 1 依题意 Sn 1 Sn an 1 Sn 3n 即Sn 1 2Sn 3n 由此得Sn 1 3n 1 2 Sn 3n 因此 bn 以a 3 为首项 2 为公比的等比数列 因此 所求通项公式为 bn a 3 2n 1 n N N 2 由 1 知Sn 3n a 3 2n 1 n N N 于是 当n 2 时 an Sn Sn 1 3n a 3 2n 1 3n 1 a 3 2n 2 2 3n 1 a 3 2n 2 又a1 S1 a 所以an Error 10 2011 镇江统考 已知公差大于零的等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足 a2 a4 65 a1 a5 18 1 求数列 an 的通项公式an 2 若 1 i 21 a1 ai a21是某等比数列的连续三项 求i的值 3 是否存在常数k 使得数列 为等差数列 若存在 求出常数k 若不存在 请 Sn kn 说明理由 解 1 因为a1 a5 a2 a4 18 又a2 a4 65 所以a2 a4是方程x2 18x 65 0 的两个根 又公差d 0 4 所以a2 a4 所以a2 5 a4 13 所以Error 解得a1 1 d 4 所以an 4n 3 2 由 1 i 21 a1 ai a21是某等比数列的连续三项 所以a1 a21 a 即 2i 1 81 4i 3 2 解得i 3 3 由 1 知 Sn n 1 4 2n2 n n n 1 2 假设存在常数k 使数列 为等差数列 Sn kn 由等差数列通项公式 可设 an b Sn kn 得 2n2 k 1 n an2 2abn b恒成立 可得a 2 b 0 k 1 所以存在k 1 使得 为等差数列 Sn kn B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 已知 an 为等比数列 Sn是它的前n项和 若a2 a3 2a1 且a4与 2a7的等差中项为 5 4 则S5 解析 设数列 an 的公比为q 则由等比数列的性质知 a2 a3 a1 a4 2a1 即a4 2 由a4与 2a7的等差中项为 知 a4 2a7 2 5 4 5 4 a7 q3 即q 1 2 2 5 4 a4 1 4 a7 a4 1 8 1 2 a4 a1q3 a1 2 a1 16 S5 31 1 8 16 1 1 25 1 1 2 答案 31 2 2011 江苏卷 设 1 a1 a2 a7 其中a1 a3 a5 a7成公比为q的等比数列 a2 a4 a6成公差为 1 的等差数列 则q的最小值为 解析 由题意知a3 q a5 q2 a7 q3且q 1 a4 a2 1 a6 a2 2 且a2 1 那么有 q2 2 且q3 3 故q 即q的最小值为 3 3 3 3 答案 3 3 3 2011 山东日照二模 在等比数列 an 中 若a9 a10 a a 0 a19 a20 b 则 a99 a100 5 解析 因为 an 是等比数列 所以a9 a10 a19 a20 a99 a100成等比数列 从而得 a99 a100 b9 a8 答案 b9 a8 4 已知数列 xn 满足 lg xn 1 1 lg xn n N N 且x1 x2 x3 x100 1 则 lg x101 x102 x200 解析 由 lg xn 1 1 lg xn n N N 得 lg xn 1 lg xn 1 10 数列 xn 是公 xn 1 xn 比为 10 的等比数列 xn 100 xn 10100 x101 x102 x200 10100 x1 x2 x3 x100 10100 lg x101 x102 x200 lg 10100 100 答案 100 5 2011 泰州模拟 已知数列 an 满足 3an 1 an 4 n N N 且a1 9 其前n项和为Sn 则满足不等式 Sn n 6 的最小正整数n是 1 125 解析 由 3an 1 an 4 得 an 1 1 an 1 运用构造数列法 an 1 是以a1 1 8 为首项 以 为公比的 1 3 1 3 等比数列 所以an 1 8 n 1 所以an 8 n 1 1 1 3 1 3 所以Sn 8 n 8 n 6 n 6 n 1 1 3 1 3 2 1 3 n 1 1 1 3 n 1 1 3 1 3 所以 Sn n 6 1 3 n 6 n 6 即 3n 750 1 3 1 125 将n 5 6 7 代入验证符合题意的最小正整数n 7 答案 7 6 2011 盐城调研 已知 an 是公差不为 0 的等差数列 bn 是等比数列 其中 a1 2 b1 1 a2 b2 2a4 b3 且存在常数 使得an log bn 对每一个正整 数n时成立 则 解析 由题意 可设an 2 n 1 d bn qn 1 于是由Error 得Error 解得Error 所以 an 2n q 22n 2 代入an log bn 得 2n 2n 2 log 2 即 2n 1 log 2 6 2log 2 所以Error 解得Error 故 22 4 答案 4 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 1 证明 由已知有a1 a2 4a1 2 解得a2 3a1 2 5 故b1 a2 2a1 3 又an 2 Sn 2 Sn 1 4an 1 2 4an 2 4an 1 4an 于是an 2 2an 1 2 an 1 2an 即bn 1 2bn 因此数列 bn 是首项为 3 公比为 2 的等比数列 2 解 由 1 知等比数列 bn 中b1 3 公比q 2 所以an 1 2an 3 2n 1 于是 an 1 2n 1 an 2n 3 4 因此数列是首项为 公差为 的等差数列 an 2n 1 2 3 4 n 1 n an 2n 1 2 3 4 3 4 1 4 所以an 3n 1 2n 2 8 2010 苏北四市调研二 设Sn为数列 an 的前n项和 若 n N N 是非零常数 则称 S2n Sn 该数列为 和等比数列 1 若数列 2bn 是首项为 2 公比为 4 的等比数列 试判断数 列 bn 是否为 和等比数列 2 若数列 cn 是首项为c1 公差为d d 0 的等差数列 且数列 cn 是 和等比数列 试 探究d与c1之间的关系 解 1 因为数列 2bn 是首项为 2 公比为 4 的等比数列 所以 2bn 2 4n 1 22n 1 因 此 bn 2n 1 设数列 bn 前n项和为Tn 则Tn n2