二次函数动点及最值问题

一 二次函数中的最值问题 一 二次函数中的最值问题 例例 1 在平面直角坐标系中 全等的两个三角形 在平面直角坐标系中 全等的两个三角形 Rt AOB 与与 Rt A OC 如图放置 点如图放置 点 B C 的坐标分别为 的坐标分别为 1 3 0 1 BO 与与 A C 相交于相交于 D 若若 A OC 绕点绕点 O 旋转旋转 90 至至 AOC 如图所示 如图所示 1 若抛物线过 若抛物线过 C A A 求此抛物线的解析式及对称轴 求此抛物线的解析式及对称轴 y x2 2x 3 2 若点 若点 P 是第一象限内抛物线线上的一动点 问是第一象限内抛物线线上的一动点 问 P 在何处时在何处时 AP A 的面积最大 最大面积的面积最大 最大面积 是多少 并求出此时的点是多少 并求出此时的点 P 的坐标 的坐标 3 设抛物线的顶点为 设抛物线的顶点为 N 在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点 P 使使 A AN 与与 A AP 的面积相等的面积相等 若存在若存在 请求出此时点请求出此时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 的坐标 若不存在 请说明理由 例例 2 2012 攀枝花 如图 在平面直角坐标系攀枝花 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 四边形中 四边形 ABCD 是菱形 顶点是菱形 顶点 A C D 均在坐标轴上 均在坐标轴上 且且 AB 5 sinB 1 求过 求过 A C D 三点的抛物线的解析式 三点的抛物线的解析式 2 记直线 记直线 AB 的解析式为的解析式为 y1 mx n 1 中抛物线的解析式为 中抛物线的解析式为 y2 ax2 bx c 求当 求当 y1 y2时 自变量时 自变量 x 的取的取 值范围 值范围 3 设直线 设直线 AB 与 与 1 中抛物线的另一个交点为 中抛物线的另一个交点为 E P 点为抛物线上点为抛物线上 A E 两点之间的一个动点 当两点之间的一个动点 当 P 点在何点在何 处时 处时 PAE 的面积最大 并求出面积的最大值 的面积最大 并求出面积的最大值 解答 解答 解 解 1 四边形四边形 ABCD 是菱形 是菱形 AB AD CD BC 5 sinB sinD Rt OCD 中 中 OC CD sinD 4 OD 3 OA AD OD 2 即 即 A 2 0 B 5 4 C 0 4 D 3 0 设抛物线的解析式为 设抛物线的解析式为 y a x 2 x 3 得 得 2 3 a 4 a 抛物线 抛物线 y x2 x 4 2 由 由 A 2 0 B 5 4 得直线 得直线 AB y1 x 由 由 1 得 得 y2 x2 x 4 则 则 解得 解得 由图可知 当由图可知 当 y1 y2时 时 2 x 5 3 S APE AE h 当当 P 到直线到直线 AB 的距离最远时 的距离最远时 S ABC最大 最大 若设直线若设直线 L AB 则直线 则直线 L 与抛物线有且只有一个交点时 该交点为点与抛物线有且只有一个交点时 该交点为点 P 设直线设直线 L y x b 当直线 当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时 与抛物线有且只有一个交点时 x b x2 x 4 且 且 0 求得 求得 b 即直线 即直线 L y x 可得点可得点 P 由 由 2 得 得 E 5 则直线 则直线 PE y x 9 新新 课课 标标 第一网第一网 则点则点 F 0 AF OA OF PAE 的最大值 的最大值 S PAE S PAF S AEF 综上所述 当综上所述 当 P 时 时 PAE 的面积最大 为的面积最大 为 针对训练 针对训练 1 2013 宜宾 如图 抛物线宜宾 如图 抛物线 y1 x2 1 交交 x 轴的正半轴于点轴的正半轴于点 A 交 交 y 轴于点轴于点 B 将此抛物线向右平移 将此抛物线向右平移 4 个单位得个单位得 抛物线抛物线 y2 两条抛物线相交于点 两条抛物线相交于点 C 1 请直接写出抛物线 请直接写出抛物线 y2的解析式 的解析式 2 若点 若点 P 是是 x 轴上一动点 且满足轴上一动点 且满足 CPA OBA 求出所有满足条件的 求出所有满足条件的 P 点坐标 点坐标 3 在第四象限内抛物线 在第四象限内抛物线 y2上 是否存在点上 是否存在点 Q 使得 使得 QOC 中中 OC 边上的高边上的高 h 有最大值 若存在 请求出点有最大值 若存在 请求出点 Q 的坐标及的坐标及 h 的最大值 若不存在 请说明理由 的最大值 若不存在 请说明理由 解答 解 解答 解 1 抛物线 抛物线 y1 x2 1 向右平移向右平移 4 个单位的顶点坐标为 个单位的顶点坐标为 4 1 所以 抛物线所以 抛物线 y2的解析式为的解析式为 y2 x 4 2 1 2 x 0 时 时 y 1 y 0 时 时 x2 1 0 解得 解得 x1 1 x2 1 所以 点所以 点 A 1 0 B 0 1 OBA 45 联立联立 解得解得 点点 C 的坐标为 的坐标为 2 3 CPA OBA 点点 P 在点在点 A 的左边时 坐标为 的左边时 坐标为 1 0 在点在点 A 的右边时 坐标为 的右边时 坐标为 5 0 所以 点所以 点 P 的坐标为 的坐标为 1 0 或 或 5 0 3 存在 存在 点点 C 2 3 直线直线 OC 的解析式为的解析式为 y x 设与设与 OC 平行的直线平行的直线 y x b 联立联立 消掉消掉 y 得 得 2x2 19x 30 2b 0 当当 0 方程有两个相等的实数根时 方程有两个相等的实数根时 QOC 中中 OC 边上的高边上的高 h 有最大值 有最大值 此时此时 x1 x2 此时此时 y 4 2 1 存在第四象限的点存在第四象限的点 Q 使得 使得 QOC 中中 OC 边上的高边上的高 h 有最大值 有最大值 此时此时 192 4 2 30 2b 0 解得解得 b 过点过点 Q 与与 OC 平行的直线解析式为平行的直线解析式为 y x 令令 y 0 则 则 x 0 解得 解得 x 设直线与设直线与 x 轴的交点为轴的交点为 E 则 则 E 0 过点过点 C 作作 CD x 轴于轴于 D 根据勾股定理 根据勾股定理 OC 则则 sin COD 解得解得 h最大 最大 2 如图 抛物线 如图 抛物线的图象与的图象与轴交于轴交于 两点 与两点 与轴交于轴交于点 已知点 已知点坐标为点坐标为 0 2 2 3 2 axaxyxAByCB 0 4 1 1 求抛物线的解析式 求抛物线的解析式 2 2 试探究 试探究的外接圆的圆心位置 并求出圆心坐标 的外接圆的圆心位置 并求出圆心坐标 ABC 3 3 若点 若点是线段是线段下方的抛物线上一点 求下方的抛物线上一点 求的面积的最大值 的面积的最大值 并并类型一 最值问题 MBCMBC 类型一 最值问题 2013 泸州 如图 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标为 1 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 经过三点 A B O O 为原点 1 求抛物线的解析式 2 在该抛物线的对称轴上 是否存在点 C 使 BOC 的周长最小 若存在 求出点 C 的坐标 若不存在 请 说明理由 3 如果点 P 是该抛物线上 x 轴上方的一个动点 那么 PAB 是否有最大面积 若有 求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积 若没有 请说明理由 注意 本题中的结果均保留根号 A B C M O x y 考点 二次函数综合题 3338333 分析 1 直接将 A O B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式 可求解析式 2 因为点 A O 关于对称轴对称 连接 AB 交对称轴于 C 点 C 点即为所求 求直线 AB 的解析式 再根据 C 点的横坐标值 求纵坐标 3 设 P x y 2 x 0 y 0 用割补法可表示 PAB 的面积 根据面积表达式再求取最大值时 x 的值 解答 解 1 将 A 2 0 B 1 O 0 0 三点的坐标代入 y ax2 bx c a 0 可得 解得 故所求抛物线解析式为 y x2 x 2 存在 理由如下 如答图 所示 y x2 x x 1 2 抛物线的对称轴为 x 1 点 C 在对称轴 x 1 上 BOC 的周长 OB BC CO OB 2 要使 BOC 的周长最小 必须 BC CO 最小 点 O 与点 A 关于直线 x 1 对称 有 CO CA BOC 的周长 OB BC CO OB BC CA 当 A C B 三点共线 即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时 BC CA 最小 此时 BOC 的周 长最小 设直线 AB 的解析式为 y kx t 则有 解得 直线 AB 的解析式为 y x 当 x 1 时 y 所求点 C 的坐标为 1 3 设 P x y 2 x 0 y 0 则 y x2 x 如答图 所示 过点 P 作 PQ y 轴于点 Q PG x 轴于点 G 过点 A 作 AF PQ 轴于点 F 过点 B 作 BE PQ 轴于点 E 则 PQ x PG y 由题意可得 S PAB S梯形 AFEB S AFP S BEP AF BE FE AF FP PE BE y y 1 2 y 2 x 1 x y y x 将 代入 得 S PAB x2 x x x2 x x 2 当 x 时 PAB 的面积最大 最大值为 此时 y 点 P 的坐标为 类型二 探索三角形的存在性 例 1 2013 绵阳 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象的顶点 C 的坐标为 0 2 交 x 轴于 A B 两点 其 中 A 1 0 直线 l x m m 1 与 x 轴交于 D 1 求二次函数的解析式和 B 的坐标 2 在直线 l 上找点 P P 在第一象限 使得以 P D B 为顶点的三角形与以 B C O 为顶点的三角形相似 求点 P 的坐标 用含 m 的代数式表示 3 在 2 成立的条件下 在抛物线上是否存在第一象限内的点 Q 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角 三角形 如果存在 请求出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 由于抛物线的顶点 C 的坐标为 0 2 所以抛物线的对称轴为 y 轴 且与 y 轴交点的纵坐标为 2 即 b 0 c 2 再将 A 1 0 代入 y ax2 bx c 求出 a 的值 由此确定该抛物线的解析式 然后 令 y 0 解一元二次方程求出 x 的值即可得到点 B 的坐标 2 设 P 点坐标为 m n 由于 PDB BOC 90 则 D 与 O 对应 所以当以 P D B 为顶点的三 角形与以 B C O 为顶点的三角形相似时 分两种情况讨论 OCB DBP OCB DPB 根据相似三角形对应边成比例 得出 n 与 m 的关系式 进而可得到点 P 的坐标 3 假设在抛物线上存在第一象限内的点 Q x 2x2 2 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角 形 过点 Q 作 QE l 于点 E 利用 AAS 易证 DBP EPQ 得出 BD PE DP EQ 再分两种情况讨论 P m P m 2 m 1 都根据 BD PE DP EQ 列出方程组 求出 x 与 m 的值 再结 合条件 x 0 且 m 1 即可判断不存在第一象限内的点 Q 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角 形 解答 解 1 抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标为 C 0 2 b 0 c 2 y ax2 bx c 过点 A 1 0 0 a 0 2 a 2 抛物线的解析式为 y 2x2 2 当 y 0 时 2x2 2 0 解得 x 1 点 B 的坐标为 1 0 2 设 P m n PDB BOC 90 当以 P D B 为顶点的三角形与以 B C O 为顶点的三角形相似时 分两种情况 若 OCB DBP 则 即 解得 n 由对称性可知 在 x 轴上方和下方均有一点满足条件 此时点 P 坐标为 m 或 m 若 OCB DPB 则 即 解得 n 2m 2 由对称性可知 在 x 轴上方和下方均有一点满足条件 此时点 P 坐标为 m 2m 2 或 m 2 2m 综上所述 满足条件的点 P 的坐标为 m m m 2m 2 或 m 2 2m 3 假设在抛物线上存在第一象限内的点 Q x 2x2 2 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角 形 如图 过点 Q 作 QE l 于点 E DBP BPD 90 QPE BPD 90 DBP QPE 在 DBP 与 EPQ 中 DBP EPQ BD PE DP EQ 分两种情况 当 P m 时 B 1 0 D m 0 E m 2x2 2 解得 均不合题意舍去 当 P m 2 m 1 时 B 1 0 D m 0 E m 2x2 2 解得 均不合题意舍去 综上所述 不存在满足条件的点 Q 类型三 探究二次函数与圆 2013 巴中 如图 在平面直角坐标系中 坐标原点为 O A 点坐标为 4 0 B 点坐标为 1 0 以 AB 的中点 P 为圆心 AB 为直径作 P 的正半轴交于点 C 1 求经过 A B C 三点的抛物线所对应的函数解析式 2 设 M 为 1 中抛物线的顶点 求直线 MC 对应的函数解析式 3 试说明直线 MC 与 P 的位置关系 并证明你的结论 考点 二次函数综合题 解二元一次方程组 待定系数法求一次函数解析式 二次函数的最值 待定系数法求 二次函数解析式 勾股定理 勾股定理的逆定理 切线的判定 245761 专题 计算题 分析 1 求出半径 根据勾股定理求出 C 的坐标 设经过 A B C 三点抛物线解析式是 y a x 4 x 1 把 C 0 2 代入求出 a 即可 2 求出 M 的坐标 设直线 MC 对应函数表达式是 y kx b 把 C 0 2 M 代入得到方 程组 求出方程组的解即可 3 根据点的坐标和勾股定理分别求出 PC DC PD 的平方 根据勾股定理的逆定理得出 PCD 90 即可求出答案 解答 解 1 A 4 0 B 1 0 AB 5 半径是 PC PB PA OP 1 在 CPO 中 由勾股定理得 OC 2 C 0 2 设经过 A B C 三点抛物线解析式是 y a x 4 x 1 把 C 0 2 代入得 2 a 0 4 0 1 a y x 4 x 1 x2 x 2 答 经过 A B C 三点抛物线解析式是 y x2 x 2 2 y x2 x 2 M 设直线 MC 对应函数表达式是 y kx b 把 C 0 2 M 代入得 解得 k b 2 y x 2 y x 2 答 直线 MC 对应函数表达式是 y x 2 3 MC 与 P 的位置关系是相切 证明 设直线 MC 交 x 轴于 D 当 y 0 时 0 x 2 x OD D 0 在 COD 中 由勾股定理得 CD2 22 PC2 PD2 CD2 PC2 PD2 PCD 90 PC DC PC 为半径 MC 与 P 的位置关系是相切 针对训练 1 2013 湘西州 如图 已知抛物线 y x2 bx 4 与 x 轴相交于 A B 两点 与 y 轴相交于点 C 若已知 A 点 的坐标为 A 2 0 1 求抛物线的解析式及它的对称轴方程 2 求点 C 的坐标 连接 AC BC 并求线段 BC 所在直线的解析式 3 试判断 AOC 与 COB 是否相似 并说明理由 4 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使 ACQ 为等腰三角形 若不存在 求出符合条件的 Q 点坐标 若不 存在 请说明理由 5 点 M 是抛物线上位于第一象限内的动点 当 BCM 的面积达到最大值时 求点 M 的坐标及最大值 6 求 BAC 的外接圆圆心 E 点的坐标 7 求证圆 E 与直线 y 3x 4 4 相切 在该直线上找一点 F 使 BCF 为直角三角形 求 F 的坐标 8 l 是过点 A 且平行于 BC 的直线 在该直线上找一点 D 使 A B C D 所在的四边形为平行四边形 求 D 的 坐标 9 将 BAC 绕点 B 顺时针旋转 90 得到 BA C 求点 A 和点 C 的坐标及线段 BC 所扫过的区域的面 积 10 在 x 轴上找一点 G 使 CFG 的周长最小 求 G 点坐标及周长最小值 求此时 CFG 的面积 11 在抛物线上找一点 H 使 ABH 的面积 AOC 的面积 求点 H 的坐标 12 求抛物线关于直线 x 10 对称的抛物线的解析式 13 N 是线段 AB 上的一个动点 与 A B 不重合 分别连接 AC BC 过点 N 作 NP AC 交线段 BC 于点 P 连接 CN 记 CNP 的面积为 S S 是否存在最大值 若存在 求出 S 的最大值及此时 E 点的坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 利用待定系数法求出抛物线解析式 利用配方法或利用公式 x 求出对称轴方程 2 在抛物线解析式中 令 x 0 可求出点 C 坐标 令 y 0 可求出点 B 坐标 再利用待定系数法求出 直线 BD 的解析式 3 根据 AOC BOC 90 可以判定 AOC COB 4 本问为存在型问题 若 ACQ 为等腰三角形 则有三种可能的情形 需要分类讨论 逐一计算 避免漏解 解答 解 1 抛物线 y x2 bx 4 的图象经过点 A 2 0 2 2 b 2 4 0 解得 b 抛物线解析式为 y x2 x 4 又 y x2 x 4 x 3 2 对称轴方程为 x 3 2 在 y x2 x 4 中 令 x 0 得 y 4 C 0 4 令 y 0 即 x2 x 4 0 整理得 x2 6x 16 0 解得 x 8 或 x 2 A 2 0 B 8 0 设直线 BC 的解析式为 y kx b 把 B 8 0 C 0 4 的坐标分别代入解析式 得 解得 k b 4 直线 BC 的解析式为 y x 4 3 可判定 AOC COB 成立 理由如下 在 AOC 与 COB 中 OA 2 OC 4 OB 8 又 AOC BOC 90 AOC COB 4 抛物线的对称轴方程为 x 3 可设点 Q 3 t 则可求得 AC AQ CQ i 当 AQ CQ 时 有 25 t2 t2 8t 16 9 解得 t 0 Q1 3 0 ii 当 AC AQ 时 有 t2 5 此方程无实数根 此时 ACQ 不能构成等腰三角形 iii 当 AC CQ 时 有 整理得 t2 8t 5 0 解得 t 4 点 Q 坐标为 Q2 3 4 Q