（广东专用）2013高考数学总复习第五章第五节 课时跟踪训练 理

1 课时知能训练课时知能训练 一 选择题 1 已知实数等比数列 an 中 Sn 是它的前 n 项和 若 a2 a3 2a1 且 a4 与 2a7 的等差中项为 则 S5 等于 5 4 A 35 B 33 C 31 D 29 解析 设等比数列的公比为 q 则由 a2 a3 2a1 得 a q3 2a1 2 1 a1q3 2 又 a4 与 2a7 的等差中项为 a4 2a7 5 4 5 2 a1q3 2a1q6 5 2 由Error 得Error S5 31 16 1 1 2 5 1 1 2 答案 C 2 某人为了观看 2010 年南非足球世界杯 从 2006 年起 每年的 5 月 1 日到银行存入 a 元的定期储蓄 若年 利率为 p 且保持不变 并约定每年到期 存款的本息均自动转为新的一年的定期 到 2010 年的 5 月 1 日将所 有存款及利息全部取出 则可取出钱 元 的总数为 A a 1 p 4 B a 1 p 5 C 1 p 4 1 p D 1 p 5 1 p a p a p 解析 依题意 可取出钱的总数为 a 1 p 4 a 1 p 3 a 1 p 2 a 1 p a 1 p 5 1 p 1 p 1 1 p 4 1 1 p a p 答案 D 3 2012 中山质检 已知各项不为 0 的等差数列 an 满足 2a3 a 2a11 0 数列 bn 是等比数列 且 2 7 b7 a7 则 b6b8 A 2 B 4 C 8 D 16 解析 数列 an 是等差数列 a3 a11 2a7 由 2a3 a 2a11 0 得 4a7 a 0 2 72 7 又 an 0 a7 4 b6b8 b 42 16 2 7 答案 D 4 已知数列 an 的通项公式为 an log2 n N 设其前 n 项和为 Sn 则使 Sn 5 成立的自然数 n n 1 n 2 A 有最小值 63 B 有最大值 63 C 有最小值 31 D 有最大值 31 解析 an log2 log2 n 1 log2 n 2 n 1 n 2 Sn a1 a2 an 2 log22 log23 log23 log24 log2 n 1 log2 n 2 1 log2 n 2 由 Sn 5 得 log2 n 2 6 即 n 2 64 n 62 n 有最小值 63 答案 A 5 2012 清远调研 各项均为正数的等比数列 an 的公比 q 1 a2 a3 a1 成等差数列 则 1 2 a3a4 a2a6 a2a6 a4a5 A B 5 1 2 5 1 2 C D 1 5 2 5 1 2 解析 由题意知 a3 a2 a1 a1q2 a1q a1 q2 q 1 0 又 q 0 q 1 5 2 a3a4 a2a6 a2a6 a4a5 a2 1q5 a2 1q6 a2 1q6 a2 1q7 1 q q 1 q 1 q 5 1 2 答案 B 二 填空题 6 数列 an 是公差不为 0 的等差数列 且 a1 a3 a7 为等比数列 bn 的连续三项 则数列 bn 的公比为 解析 a a1 a7 即 a1 2d 2 a1 a1 6d 2 3 a1 2d 等比数列 bn 的公比 q 2 a3 a1 a1 2d a1 答案 2 7 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和 若 n N 是非零常数 则称数列 an 为 和等比数列 若数列 2bn 是首 S2n Sn 项为 2 公比为 4 的等比数列 则数列 bn 填 是 或 不是 和等比数列 解析 数列 2bn 是首项为 2 公比为 4 的等比数列 所以 2bn 2 4n 1 22n 1 bn 2n 1 设数列 bn 的前 n 项和为 Tn 则 Tn n2 T2n 4n2 所以 4 因此数列 bn 是 和等比数列 T2n Tn 答案 是 8 2012 潍坊模拟 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整数为 神秘数 则介于 1 到 200 之间的所有 神秘数 之和为 解析 设 神秘数 为 x 则 x 2n 2 2 2n 2 8n 4 n Z 由 1 x 200 及 n Z 知 0 n 24 所以所有 这样的 神秘数 之和为 2 500 25 4 196 2 答案 2 500 三 解答题 9 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 且 3an 1 2Sn 3 n 为正整数 1 求数列 an 的通项公式 3 2 记 S 若对任意正整数 n kS Sn 恒成立 求实数 k 的最大值 3 2 解 1 3an 1 2Sn 3 当 n 2 时 3an 2Sn 1 3 由 得 3an 1 3an 2an 0 n 2 an 1 an 1 3 又 a1 1 3a2 2a1 3 解得 a2 1 3 数列 an 是首项为 1 公比为 的等比数列 1 3 an a1qn 1 n 1 n N 1 3 2 由 1 知 Sn 1 n a1 1 qn 1 q 1 1 3 n 1 1 3 3 2 1 3 又对 n N 恒有 k 1 n 得 k 1 n 3 2 3 2 1 3 1 3 数列 1 n 单调递增 1 3 当 n 1 时 数列中的最小项为 必有 k 即实数 k 的最大值为 2 3 2 3 2 3 10 2012 湘潭模拟 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款 旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期 间所需的学费 住宿费及生活费 每一年度申请总额不超过 6 000 元 某大学 2010 届毕业生李霄在本科期间共 申请了 24 000 元助学贷款 并承诺在毕业后 3 年内 按 36 个月计 全部还清 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1 500 元 第 13 个月开始 每月工资比前一个月增加 5 直到 4 000 元 李霄同学计划前 12 个月每个月还款额为 500 元 第 13 个月开始 每月还款额比前一月多 x 元 1 若李霄恰好在第 36 个月 即毕业后三年 还清贷款 求 x 的值 2 当 x 50 时 李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款 他还清贷款的那一个月的工资余额是多少 参考数据 1 0518 2 406 1 0519 2 526 1 0520 2 653 1 0521 2 786 解 1 依题意 从第 13 个月开始 每个月的还款额为 an 构成等差数列 其中 a1 500 x 公差为 x 从而 到第 36 个月 李霄共还款 12 500 24a1 x 24 24 1 2 令 12 500 500 x 24 x 24 000 解之得 x 20 元 24 24 1 2 据题意 验证可行 即要使在三年全部还清 第 13 个月起每个月必须比上一个月多还 20 元 2 设李霄第 n 个月还清 则应有 12 500 500 50 n 12 50 24 000 n 12 n 12 1 2 整理可得 n2 3n 828 0 解之得 n 30 3 3 321 2 取 n 31 即李霄工作 31 个月就可以还清贷款 4 这个月李霄的还款额为 24 000 12 500 500 50 30 12 50 450 元 30 12 30 12 1 2 第 31 个月李霄的工资为 1 500 1 0519 1 500 2 526 3789 元 因此 李霄的剩余工资为 3789 450 3339 11 2012 肇庆调研 已知等差数列 an 满足 an 1 an n N a1 1 该数列的前三项分别加上 1 1 3 后顺 次成为等比数列 bn 的前三项 1 分别求数列 an bn 的通项公式 an bn 2 设 Tn n N 若 Tn c c Z 恒成立 求 c 的最小值 a1 b1 a2 b2 an bn 2n 3 2n 1 n 解 1 设 d q 分别为数列 an 数列 bn 的公差与公比 由题知 a1 1 a2 1 d a3 1 2d 分别加上 1 1 3 后得 2 2 d 4 2d 是等比数列 bn 的前三项 2 d 2 2 4 2d d 2 an 1 an d 0 d 2 an 2n 1 n N 由此可得 b1 2 b2 4 q 2 bn 2n n N 2 Tn a1 b1 a2 b2 an bn 1 2 3 22 5 23 2n 1 2n 当 n 1 时 T1 1 2 当 n 2 时 Tn 1 2 1 22 3 23 5 24 2n 1 2n 1