2008年高考理科数学试题及参考答案20130822(北京卷)[1].doc

2008年高考北京数学理科试卷含详细解答一、选择题（本大题共8小题，共0分）1（2008北京理1）已知全集，集合，那么集合等于（ ）A.B.C.D.【答案】D【解题关键点】 CB=-1, 4，【结束】2（2008北京理2）若，则（ ）A.B.C.D.【答案】A【解题关键点】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0.【结束】3（2008北京理3）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解题关键点】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。【结束】4（2008北京理4）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】 D【解题关键点】把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义【结束】5（2008北京理5）若实数满足则的最小值是（ ）A.0B.1C.D.9【答案】 B【解题关键点】 解出可行域的顶点，带入验证。【结束】6（2008北京理6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）A.B.C.D.【答案】C【解题关键点】由已知+ -12，+24,=+= -30【结束】7（2008北京理7）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）A. B.C.D.【答案】C【解题关键点】 方法一、过圆心M作直线：y=x的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60。方法二、明白N点后，用图象法解之也很方便【结束】8（2008北京理8）如图，动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于.设，则函数的图象大致是（ ）A B. C. D.【答案】 B【解题关键点】 显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D。【结束】 二、填空题（本大题共6小题，共0分）9（2008北京理9）已知，其中是虚数单位，那么实数 .【答案】-1【解题关键点】a2ai1a12ai2i，a=1【结束】高考基本得分点。10（2008北京理10）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 .【答案】 0【解题关键点】 利用数形结合知，向量a与2a+b垂直。【结束】11（2008北京理11）若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为.（用数字作答）【答案】 5 10【解题关键点】 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C10.【结束】12（2008北京理12）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 （用数字作答）【答案】2 -2【解题关键点】 f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知2.【结束】13（2008北京理13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：；.其中能使恒成立的条件序号是 【答案】 【解题关键点】 函数显然是偶函数，其导数y=2x+sinx在0x时，显然也大于0，是增函数，想象其图像，不难发现，x的取值离对称轴越远，函数值就越大，满足这一点。当x=,x=-时，均不成立。【结束】14（2008北京理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 .【答案】 (1,2) (3, 402)【解题关键点】T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1(k=1,2,3,4)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。【结束】三、解答题（本大题共6小题，共0分）15（2008北京理15）已知函数（）的最小正周期为.（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围.【答案】（）.因为函数的最小正周期为，且，所以，解得.（）由（）得.因为，所以，所以，因此，即的取值范围为.【结束】16（2008北京理16）如图，在三棱锥中，.（）求证：；（）求二面角的大小； （）求点到平面的距离.【答案】解法一：（）取中点，连结.，.，. ， 平面.平面，.（），.又，.又，即，且，平面.取中点.连结.，.是在平面内的射影，.是二面角的平面角.在中，.二面角的大小为.（）由（）知平面，平面平面.过作，垂足为.平面平面，平面.的长即为点到平面的距离.由（）知，又，且，平面.平面，.在中，.点到平面的距离为.解法二：（），.又，.，平面.平面，.（）如图，以为原点建立空间直角坐标系.则.设.，.取中点，连结.，.是二面角的平面角.，.二面角的大小为.（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离.如（）建立空间直角坐标系.，点的坐标为.点到平面的距离为.【结束】17（2008北京理17）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列.【答案】（）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.（）随机变量可能取的值为1，2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则.所以，的分布列是【结束】18（2008北京理18）.已知函数，求导函数，并确定的单调区间.【答案】.令，得.当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减.【结束】19（2008北京理19）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1.（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值.【答案】（）由题意得直线的方程为.因为四边形为菱形，所以.于是可设直线的方程为.由得.因为在椭圆上，所以，解得.设两点坐标分别为，则，.所以.所以的中点坐标为.由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得.所以直线的方程为，即.（）因为四边形为菱形，且，所以.所以菱形的面积.由（）可得，所以.所以当时，菱形的面积取得最大值.【结束】20（2008北京理20）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列.对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义.设是每项均为正整数的有穷数列，令.（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，.【答案】（）解：，；，.（）证明