-一元二次方程的整数根

1 第 6 讲 一元二次方程的整数根 精巧的论证常常不是一蹴而就的 而是人们长期切磋积累 的成果 我也是慢慢学来的 而且还要继续不断的学习 阿贝尔 知识方法扫描知识方法扫描 1 当含有某个参数 k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因 式的积时 我们可以先利用因式分解直接求方程的解 通常它们是关于 k 的 分式形式的解 然后利用其根是整数的要求来解不定方程 此时因参数 k 的 条件不同 常有两种处理方法 其一是 k 为整数 这时只需注意分式形式的 解中 分子是分母的倍数即可 其二是 k 为实数 此时应该消去参数 k 得到 关于两根的关系式 也就是关于两根的不定方程 再解此不定方程即可 2 我们知道一元二次方程 ax2 bx c 0 在 b2 4ac 0 时有实数根 x 所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根 必须 a b 2 b2 4ac 为完全平方数 并且 b 为 2a 的整数倍 故处理此类问题 常 可用判别式来解决 又可细分为两类 1 先求参数范围 可利用题设参数的范围 直接求解 也可由不等式 0 求出参数的范围 再求解 2 再设参数法 即设 k2 k 是整数 当 k2为关于原参数的一次 式时 用代入法来解 当 k2为关于原参数的二次式时 用分解因式法来解 此外 对有理系数的二次方程有有理根的问题 上述解法也是适用的 3 韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质 我们也常用它 来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题 常用的方法有 1 从根与系数的关系式中消去参数 得到关于两根的不定方程 2 利用 当两根为整数时 其和 积必为整数 来解 4 在含有参数的一元二次方程中 参数和未知数都是用字母表示的 通常 是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元 即将方程看成是 以参数为未知数的方程 这种方法就是变更主元法 1 当方程中参数的次数为一次时 可将参数直接用未知数表示出来 再 利用已知参数的范围或性质来求解 2 当方程中参数的次数为二次时 可考虑以参数为主元构造一个二次方 程 再运用前述的方法 如利用判别式 韦达定理 来处理 经典例题解析经典例题解析 例例 1 1995 1995 年山东省初中数学竞赛试题年山东省初中数学竞赛试题 k 为什么整数时 方程 6 k 9 k x2 117 15k x 54 0 的解都是整数 2 分析分析 此方程的系数均为整数 而且方程的左边可以直接分解成两个整系 数的一次因式 故可考虑直接求根来解答此题 另外此题的条件中并未说明 方程是一元二次方程 故还应考虑二次项系数为 0 原方程是一次方程的情况 解解 若 k 6 则 x 2 若 k 9 则 x 3 若 k 6 且 k 9 原方程可化为 k 6 x 9 k 9 x 6 0 故方程的 二根为 x1 x2 为使 x1 和 x2都是整数 则应有 k 6 6 9 k9 6 k 1 3 9 k 3 3 5 7 9 15 还应有 k 9 1 2 3 6 k 3 6 7 8 10 11 12 15 所以 k 3 7 15 时 x1 和 x2都是整数 综上所述 当 k 值为 3 6 7 9 15 时方程的解都是整数 例例 2 2000 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 设关于 x 的二次方程 k2 6k 8 x2 2k2 6k 4 x k2 4 的两根都是整数 求满足条件的所有实数 k 的值 分析分析 此题也可通过直接求根法求出二根 但是它的条件与例 1 不同 例 1 中的参数 k 是整数整数 而本题中的参数 k 是实数实数 因此求得二根后不能像例 1 那 样讨论 因为使 x1 或 x2 为整数的实数实数 k 有无穷多个 所以要先消去 k 得 到关于 x1 x2的不定方程 先求出这个不定方程的整数解 然后再反过来求 k 的值 解解 将原方程变形得 k 2 k 4 x2 2k2 6k 4 x k 2 k 2 0 分解因式得 k 2 x k 2 k 4 x k 2 0 显然 k 2 k 4 解得 x1 x2 4 2 k k 4 2 1 k2 2 k k 2 4 1 k 于是有 x1 1 x2 1 1 2 4 1 x k 1 4 2 2 x k 两式相减消去 k 整理得 x1x2 3x1 2 0 即 x1 x2 3 2 于是有 或或或 13 2 2 1 x x 13 2 2 1 x x 2 3 1 2 1 x x 2 3 1 2 1 x x 解得 或或或 舍去 2 2 2 1 x x 4 2 2 1 x x 5 1 2 1 x x 1 1 2 1 x x 因为 当 x1 2 时 k 6 当 x1 2 时 k 当 x1 1 1 2 4 1 x k 3 10 时 k 3 经检验 k 6 3 都满足题意 3 10 例例 3 2000 年广东奥林匹克学校高中入学考试数学试题 年广东奥林匹克学校高中入学考试数学试题 求当 m 为何整 数时 关于 x 的一元二次方程 mx2 6x 9 0 与 x2 4mx 4m2 4m 5 0 的根都是整 数 3 分析分析 从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根 但方程有整数 根的前提是有实数根 我们可以先求出两个方程有实根的条件 从而求出参数 m 的取值范围 再由 m 是整数的条件 确定其值 不过最后还得代入验证此时 的方程是否根都是整数 解解 依题意有 0 544 4 4 036 6 0 22 2 mmm m m 解得 且 m 0 又 m 为整数 故 m 1 1 4 5 m 当 m 1 时 方程 mx2 6x 9 0 的二根均为 1 方程 x2 4mx 4m2 4m 5 0 的 二根为 1 和 5 符合要求 当 m 1 时 方程 mx2 6x 9 0 的二根均不是整数 不符合要求 所以仅当 m 1 时 方程的两根都是整数 例例 4 1996 年上海市初中数学竞赛试题年上海市初中数学竞赛试题 若关于 x 的方程 ax2 2 a 3 x a 2 0 至少有一个整数根 且 a 为整数 求 a 分析分析 此题和上题不同在于 若利用判别式求出参数 a 的取值范围 计算后 会发现 满足此范围的整数 a 有无数多个 无法一一验证 注意到要使整系数 的一元二次方程方程有整数根 必须判别式为完全平方数 本题的判别式是关 于参数 a 的一次式 一般可以设其为 t2 t 为非负整数 再将方程的根用 t 表 示出来从而求得其整数解 解解 当 a 0 时 方程为 6x 2 0 无整数解 当 a 0 时 方程为一元二次方程 要使方程至少有一个整数根 必须判别 式为完全平方数 4 a 3 2 4a a 2 4 9 4a 9 4a 为完全平方数 设 9 4a t2 t 为正奇数 且 t 3 则 a 此时 方程的二根为 4 9 2 t x1 2 1 1 1 a ta 2 262 a t 3 4 9 3 2 t t 2 9 3 4 t t x1 1 x2 1 t 3 4 t 3 4 要使 x1为整数 而 t 为正奇数 只能 t 1 此时 a 2 要使 x2为整数 t 只能为 1 5 7 此时 a 2 4 10 综上所述 a 的值为 2 4 10 例例 5 2004 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 已知方程 x2 6x 4n2 32n 0 的根都是 整数 求整数 n 的值 分析分析 1 此题与上题的差别在于其判别式是关于参数的一次式 而是二次 式 就不能用代入法了 此类问题一般采用因式分解的方法求解 解法解法 1 因二次方程的根都是整数 故 4n2 32n 9 应为完全平方数 设 4n2 32n 9 k2 k 0 k 为整数 即 2n 8 2 k2 55 4 所以 2n 8 k 2n 8 k 55 因 2n 8 k 2n 8 k 故可得如下 4 个方程组 182 5582 kn kn 582 1182 kn kn 5582 182 kn kn 1182 582 kn kn 分别解得 n 10 n 0 n 18 n 8 分析分析 2 因 4n2 32n 9 k2又可以看作是关于 n 的一元二次方程 本题也可以 再用判别式来求解 解法解法 2 因二次方程的根都是整数 故 1 4n2 32n 9 应为完全平方数 设 4n2 32n 9 k2 k 0 k 为整数 即 4n2 32n 9 k2 0 将其看作关于 n 的一 元二次方程 其判别式也应为完全平方数 即 2 322 4 4 9 k2 16 k2 55 为 完全平方数 设 k2 55 t2 t 0 t 为整数 即 t k t k 55 因 t k t k 故可得如下 4 个方程组 1 55 kt kt 5 11 kt kt 55 1 kt kt 11 5 kt kt 分别解得 k 27 3 27 或 3 于是 4n2 32n 9 272 或 4n2 32n 9 33 分 别解得 n 10 n 18 n 8 n 0 所以整数 n 的值为 18 8 0 10 例例 6 1996 年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题 求使关于 x 的方程 a 1 x2 a2 1 x 2a3 6 0 有整数根的所有整数 a 解解 当 a 1 时 方程为 2x 8 0 x 4 为整数根 当 a 1 时 7a4 8a3 2a2 24a 25 若 a 2 由于 a4 2a2 0 6a4 24a 0 8a3 25 0 所以 0 原方程无实根 若 a 2 由于 4a4 8a3 0 2a4 25 0 a4 2a2 0 24a 0 所以 0 原方程无实 根 当 a 0 时 原方程变为 x2 x 6 0 二根为 2 3 当 a 1 时 原方程变为 2x2 2x 4 0 二根为 1 2 综上所述 仅当 a 1 0 1 原方程才有可能有整数根 评注评注 1 本题条件中的有整数根 有整数根 应该理解成至少有一个整数根 至少有一个整数根 2 本题中的判别式是一个四次式 不易求出其取值范围 上面的解法是先 对判别式的取值用分类讨论结合放缩的方法求出其范围来 再对这个范围中的 整数逐一讨论 例例 7 1998 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 求所有正实数 使得方程a 仅有整数根 04 2 aaxx 分析分析 本题有许多方法去解 这里我们利用根与系数的关系式 将两根之和 与两根之积都用参数表示出来 然后消去参数 得到关于两根的不定方程 通过 解不定方程求出两根 再回头求出参数 解解 设两整数根为 x1 x2 则 04 0 21 21 axx axx 消去 a 得 x1x2 4 x1 x2 0 x1 4 x2 4 16 5 x1 4 1 2 4 8 16 x2 4 16 8 4 2 1 x1 x2 8 17 10 8 a 8 17 10 8 a 25 18 16 9 2 0 因 a 为正实数 于是或 18 或 16 均为所求 25 a 例例 8 第十七届全俄数学奥林匹克十年级试题第十七届全俄数学奥林匹克十年级试题 求使方程 x2 pqx p q 0 有 整数根的所有正整数 p 和 q 解解 设原方程两根为 x1 x2 则 x1x2 p q 1 x1 x2 pq 2 因此 这两根之和与两根之积均为正整数 若 x1是整数 由 2 知也是 x2 整数 由 1 知二根均为正整数 1 2 得 x1x2 x1 x2 p q pq 即 x1 1 x2 1 p 1 q 1 2 将 2 表为两个非负整数之和 只有三种情况 0 2 1 1 2 0 若 p 1 q 1 2 则 p 3 q 2 或 p 2 q 3 若 p 1 q 1 1 则 p q 2 若 p 1 q 1 0 则 p 1 q 5 或 p 5 q 1 评注评注 虽然都是用根与系数的关系解题 本题和上题在解法上又有一些差 别 这里用到了整数根和参数间的和 差 积都是整数的性质 例例 9 第三届第三届 祖冲之杯祖冲之杯 初中数学竞赛试题初中数学竞赛试题 试求所有这样的正整数 a 使方程 ax2 2 2a 1 x 4 a 3 0 至少有一个整数解 分析分析 直接利用判别式不能求出的范围 由于两根不一定都是整数 利用 韦达定理也不方便 这时我们可以考虑变更主元 在本题中参数 a 的次数为 一次 所以可考虑将 a 用 x 表示出来 然后利用 a 是正整数的性质求出 x 的范 围再求解 解解 a x 2 2 2 x 6 显然 x 2 所以 a 2 2 6 2 x x 又 a 是正整数 则 1 解得 4 x 2 且 x 2 2 2 6 2 x x 故 x 4 3 1 0 1 2 分别代入 得 a 1 6 10 3 1 9 14 因 a 为正整数 所以 a 的值可为 1 3 6 10 例例 10 1994 年福州市初中数学竞赛试题 当 m 是什么整数时 关于 x 的 方程 x2 m 1 x m 1 0 的两根都是整数 解解 原方程可化为 x 1 m x2 x 1 显然 x 1 不是原方程的解 即 x 1 所 以 m 即 m x 2 1 1 2 x xx 1 3 x 6 因为 m 是整数 所以整数 x 1 只能取 1 3 即 x 2 0 4 2 相应地 m 7 或 m 1 所以当 m 7 或 m 1 时方程的两根都是整数 评注评注 本题与上题相同的是参数都是一次式 不同的是 m 的范围不是已知 的 不宜用借不等式的方法求解 又将参数 m 用 x 表示后的分式中 分母比分 子的次数高 于是可以采用分离整式的方法求整数解 同步训练同步训练 1 1993 年天津市初二数学竞赛题 m 是什么整数时 方程 m2 1 x2 6 3m 1 x 72 0 有两个不相等的正整数根 2 2000 年 鲁中杯 绍兴四市县数学联赛试题 已知关于 x 的方程 4 k 8 k x2 80 12k x 32 0 的解都是整数 求整数 k 的值 3 1993 年天津市初中数学竞赛试题 设 m 为整数 且 4 m 40 又方程 x2 2 2m 3 x 4m2 14m 8 0 有两个整数根 求 m 的值及方程的根 4 2001 年山东省初中数学竞赛试题 关于 x 的方程 kx 2 k 1 x 1 0 有有 理根 求整数 k 的值 5 2005 年 卡西欧杯 全国初中数学竞赛试题 已知 p q 都是质数 且使得关于 x 的二次方程至少有一个正整数根 求所 2 81050 xpq xpq 有的质数对 p q 6 1999 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 设 a 是大于零的实数 已知存在惟一 的实数 k 使得关于 x 的二次方程 x2 k2 ak x 1999 k2 ak 0 的两个根均为质数 求 a 的值 7 设方程 a2x2 ax 1 7a2 0 的两根都是整数 求所有的正数 a 8 8 19981998 年全国初中数学联合竞赛试题 年全国初中数学联合竞赛试题 求所有正实数 使得方程a 仅有整数根 04 2 aaxx 9 2003 年湖南省高中理科实验班招生考试数学试题 设函数 f x x3 2 2a a2 x 2a a 1 a 为实数 1 证明 f a 0 2 如果关于的方程 f x 0 有三个整数根 试求实数 a 的所有值 10 第 第 17 届江苏省初中数学竞赛试题 届江苏省初中数学竞赛试题 当 m 为整数时 关于 x 的方程 2m 1 x2 2m 1 x 1 0 是否有有理数根 如果有 求出 m 的值 如果没有 请 说明理由 同步训练题参考答案同步训练题参考答案 1 原方程可分解为 m 1 x 6 m 1 x 12 0 因为 m 1 所以 x1 1 6 m x2 1 12 m x1 x2为正整数 m 1 1 2 3 6 且 m 1 1 2 3 4 6 12 解得 m 2 或 m 3 但 m 3 7 时 x1 x2 故舍去 从而 m 2 为所求 2 当 k 4 时 x 1 当 k 8 时 x 2 当 k 4 且 k 8 时 原方程可变形为 4 k x 8 8 k x 4 0 所以 x1 x2 k 8 4 k 4 8 因 x1是整数 故 8 k 1 2 4 从而 k 4 舍 6 7 9 10 12 而 k 7 9 10 时 x2不是整数 故 k 6 或 12 综上所述 k 4 6 8 或 12 3 考察判别式 4 2m 1 由已知 4 m 40 可知 9 2m 1 81 为使 判别式为完全平方数 只有 2m 1 25 或 2m 1 49 当 2m 1 25 时 m 12 方程两根分别为 16 26 当 2m 1 49 时 m 24 方程两根分别为 38 52 4 当 k 0 时 x 1 方程有有理根 当 k 0 时 方程有有理根 判别式 1 k 1 2 4k k2 6k 1 为完全平方数 设 k2 6k 1 m2 m 为非负整数 即 k2 6k 1 m2 0 将 式看作关于 k 的二次方程 由题设知有整数根 故 式的判别式 2 36 4 1 m2 4 m2 8 应为完全平方数 从而 m2 8 是完全平方数 令 m2 8 n2 n 为正整数 且 m10p 8p 10q 此时无解 当 x1 x2 5 pq 时 5 pq 8p 10q 从而 p 10 q 8 85 因 p q 都是质数 只可能有 所以 p q 7 3 1710 58 p q 当 x1 x2 p 5q 时 p 5q 8p 10q 7 p 15q 不可能成立 此时无解 当 x1 x2 q 5 p 时 q 5 p 8p 10q 3 p 11q 所以 p q 11 3 8 综上所述 满足条件的质数对 p q 7 3 或 11 3 6 设方程的两个质数根为 p q 由根与系数的关系 有 p q k2 ak pq 1 999 k2 ak 得 p q pq 1999 则 p 1 q 1 24 53 由 知 p q 显然均不为 2 所以必为奇数 故和均为整数 2 1 p 2 1 q 且 22 53 2 1 2 1 qp 若为奇数 则必 5r r 1 2 3 从而 p 2 5r 1 为合数 2 1 p 2 1 p 矛盾 因此 必为偶数 同理 也为偶数 所以 和均为 2 1 p 2 1 q 2 1 p 2 1 q 整数 且 53 4 1 4 1 qp 不妨设 p q 则 1 或 5 4 1 p 当 1 时 53 得 p 3 q 499 均为质数 4 1 p 4 1 q 当 5 时 52 得 p 19 q 99 q 为合数 不合题意 4 1 p 4 1 q 综上可知 p 3 q 499 代入 得 k2 ak 502 0 依题意 方程 有惟一的实数解 故 a2 4 502 0 有 a 2502 7 将原方程整理成关于 a 的方程 得 x2 7 a2 xa 1 0 因 x 是整数 x2 4 x2 7 28 3x2 0 即 x2 从而 x 2 0 1 4 9 28 3 x 0 1 2 3 当 x 0 时 代入方程解得 a 7 7 当 x 1 时 代入方程解得 a 或 a 1 2 1 3 当 x 1 时 代入方程解得 a 或 a 1 2 1 3