高一数学数列部分经典习题及答案

数数 列列 一 数列的概念 一 数列的概念 1 1 已知已知 则在数列 则在数列的最大项为的最大项为 答 答 2 156 n n anN n n a 1 25 2 2 数列数列的通项为的通项为 其中 其中均为正数 则均为正数 则与与的大小关系为的大小关系为 答 答 n a 1 bn an anba n a 1 n a n a 1 n a 3 3 已知数列已知数列中 中 且 且是递增数列 求实数是递增数列 求实数的取值范围 答 的取值范围 答 n a 2 n ann n a 3 二 等差数列的有关概念 二 等差数列的有关概念 1 1 等差数列的判断方法 定义法 等差数列的判断方法 定义法或或 1 nn aad d 为常数 11 2 nnnn aaaan 设设 是等差数列 求证 以是等差数列 求证 以 b bn n 为通项公式的数列为通项公式的数列为等差数列 为等差数列 n a n aaa n 21 nN n b 2 2 等差数列的通项 等差数列的通项 或或 1 1 n aand nm aanm d 1 1 等差数列等差数列中 中 则通项 则通项 答 答 n a 10 30a 20 50a n a 210n 2 2 首项为 首项为 24 24 的等差数列 从第的等差数列 从第 1010 项起开始为正数 则公差的取值范围是项起开始为正数 则公差的取值范围是 答 答 8 3 3 d 3 3 等差数列的前 等差数列的前和 和 n 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 1 1 数列 数列 中 中 前 前 n n 项和项和 求 求 答 答 n a 1 1 2 2 nn aannN 3 2 n a 15 2 n S 1 an 1 3a 10n 2 2 已知数列 已知数列 的前的前 n n 项和项和 求数列 求数列的前的前项和项和 答 答 n a 2 12 n Snn n an n T 2 2 12 6 1272 6 n nn nnN T nnnnN 三 等差数列的性质 三 等差数列的性质 1 1 当公差 当公差时 等差数列的通项公式时 等差数列的通项公式是关于是关于的一次函数 且率为公差的一次函数 且率为公差 前 前和和0d 11 1 n aanddnad ndn 是关于是关于的二次函数且常数项为的二次函数且常数项为 0 0 2 11 1 222 n n ndd Snadnan n 2 2 若公差 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 则为常数列 则为常数列 0d 0d 0d 3 3 当 当时时 则有则有 特别地 当 特别地 当时 则有时 则有 mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 mnp aaa 1 1 等差数列 等差数列中 中 则 则 答 答 2727 n a 123 18 3 1 nnnn SaaaS n 2 2 在等差数列 在等差数列中 中 且 且 是其前是其前项和 则项和 则 n a 1011 0 0aa 1110 aa n Sn A A 都小于都小于 0 0 都大于都大于 0 0 B B 都小于都小于 0 0 都大于都大于 0 0 1210 S SS 1112 SS 1219 S SS 2021 SS C C 都小于都小于 0 0 都大于都大于 0 0 D D 都小于都小于 0 0 都大于都大于 0 0 125 S SS 67 SS 1220 S SS 2122 SS 答 答 B B 4 4 若 若 是等差数列 则是等差数列 则 是非零常数是非零常数 n a n b n ka nn kapb kp p nq ap qN 也成等差数列 而也成等差数列 而成等比数列 若成等比数列 若是等比数列 且是等比数列 且 则 则是等是等 232 nnnnn SSSSS n a a n a0 n a lg n a 差数列差数列 等差数列的前等差数列的前n n项和为项和为 2525 前 前 2 2n n项和为项和为 100100 则它的前 则它的前 3 3n n和为和为 答 答 225225 5 5 在等差数列 在等差数列中 当项数为偶数中 当项数为偶数时 时 项数为奇数 项数为奇数时 时 n a2nSSnd 偶奇 21n SSa 奇偶中 这里 这里即即 如 如 21 21 n Sna 中 a中 n a 1 奇偶 SSkk 1 1 在等差数列中 在等差数列中 S S11 11 2222 则 则 答 答 2 2 6 a 2 2 项数为奇数的等差数列 项数为奇数的等差数列中 奇数项和为中 奇数项和为 8080 偶数项和为 偶数项和为 7575 求此数列的中间项与项数 答 求此数列的中间项与项数 答 5 5 3131 n a 6 6 若等差数列 若等差数列 的前的前和分别为和分别为 且 且 则 则 n a n bn n A n B n n A f n B 21 21 21 21 21 nnn nnn anaA fn bnbB 如设如设 与与 是两个等差数列 它们的前是两个等差数列 它们的前项和分别为项和分别为和和 若 若 求 求 答 答 n a n bn n S n T 34 13 n n T S n n n n b a62 87 n n 7 7 首正首正 的递减等差数列中 前的递减等差数列中 前项和的最大值是所有非负项之和 项和的最大值是所有非负项之和 首负首负 的递增等差数列中 前的递增等差数列中 前项和的最小项和的最小nn 值是所有非正项之和 法一 由不等式组值是所有非正项之和 法一 由不等式组确定出前多少项为非负 或非正 确定出前多少项为非负 或非正 0 0 0 0 11n n n n a a a a 或 法二 因等差数列前法二 因等差数列前项是关于项是关于的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 但要注意数列的特殊性的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 但要注意数列的特殊性 nn nN 1 1 等差数列等差数列中 中 问此数列前多少项和最大 并求此最大值 问此数列前多少项和最大 并求此最大值 答 前 答 前 1313 项和最大 项和最大 n a 1 25a 917 SS 2 2 若若是等差数列 首项是等差数列 首项 则使前 则使前n n项和项和成立的最大正整数成立的最大正整数n n是是 n a 1 0 a 20032004 0aa 20032004 0aa 0 n S 答 答 40064006 8 8 如果两等差数列有公共项 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列 且新等差数列的公差是原两等 如果两等差数列有公共项 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列 且新等差数列的公差是原两等 差数列公差的最小公倍数差数列公差的最小公倍数 注意 公共项仅是公共的项 其项数不一定相同 即研究注意 公共项仅是公共的项 其项数不一定相同 即研究 nm ab 四 等比数列的有关概念 四 等比数列的有关概念 1 1 等比数列的判断方法 定义法 等比数列的判断方法 定义法 其中 其中或或 1 n n a q q a 为常数 0 0 n qa 1 1 nn nn aa aa 2 n 1 1 一个等比数列 一个等比数列 共有共有项 奇数项之积为项 奇数项之积为 100100 偶数项之积为 偶数项之积为 120120 则 则为为 答 答 n a21n 1n a 5 6 2 2 数列 数列中 中 4 4 1 1 且且 1 1 若 若 求证 数列 求证 数列 是等比数列 是等比数列 n a n S 1n a 2n 1 a nnn aab2 1 n b 2 2 等比数列的通项 等比数列的通项 或或 1 1 n n aa q n m nm aa q 设等比数列设等比数列中 中 前 前项和项和 126126 求 求和公比和公比 答 答 或或 n a 1 66 n aa 21 128 n a a n n S nq6n 1 2 q 2 2 3 3 等比数列的前 等比数列的前和 当和 当时 时 当 当时 时 如 如n1q 1n Sna 1q 1 1 1 n n aq S q 1 1 n aa q q 1 1 等比数列中 等比数列中 2 2 S S99 99 77 77 求 求 答 答 4444 q 9963 aaa 特别提醒 等比数列前特别提醒 等比数列前项和公式有两种形式 为此在求等比数列前项和公式有两种形式 为此在求等比数列前项和时 首先要判断公比项和时 首先要判断公比是否为是否为 1 1 再 再nnq 由由的情况选择求和公式的形式 当不能判断公比的情况选择求和公式的形式 当不能判断公比是否为是否为 1 1 时 要对时 要对分分和和两种情形讨论求解 两种情形讨论求解 qqq1q 1q 4 4 提醒 提醒 1 1 等比数列的通项公式及前 等比数列的通项公式及前和公式中 涉及到和公式中 涉及到 5 5 个元素 个元素 及及 其中 其中 n 1 aqn n a n S 1 a 称作为基本元素 只要已知这称作为基本元素 只要已知这 5 5 个元素中的任意个元素中的任意 3 3 个 便可求出其余个 便可求出其余 2 2 个 即知个 即知 3 3 求求 2 2 2 2 为减 为减q 少运算量 要注意设元的技巧 如奇数个数成等比 可设为少运算量 要注意设元的技巧 如奇数个数成等比 可设为 公比为 公比为 但偶 但偶 2 2 aa a aq aq qq q 数个数成等比时 不能设为数个数成等比时 不能设为 因公比不一定为正数 只有公比为正时才可如此设 因公比不一定为正数 只有公比为正时才可如此设 3 3 aqaq q a q a 且公比为且公比为 如有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个成等比数列 且第一个数与第四个数的 如有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个成等比数列 且第一个数与第四个数的 2 q 和是和是 1616 第二个数与第三个数的和为 第二个数与第三个数的和为 1212 求此四个数 答 求此四个数 答 1515 9 9 3 13 1 或或 0 40 4 8 168 16 5 5 等比数列的性质 等比数列的性质 1 1 当 当时 则有时 则有 特别地 当 特别地 当时 则有时 则有 mnpq mnpq aaaa AA2mnp 2 mnp aaa A 1 1 在等比数列 在等比数列中 中 公比 公比 q q 是整数 则是整数 则 答 答 512512 n a 3847 124 512aaa a 10 a 2 2 各项均为正数的等比数列 各项均为正数的等比数列中 若中 若 则 则 答 答 1010 n a 56 9aa 3132310 logloglogaaa 2 2 若若是等比数列 则是等比数列 则 成等比数列 若成等比数列 若成等比数列 则成等比数列 则 n a n a p nq ap qN n ka nn ab nn a b 成等比数列 成等比数列 若若是等比数列 且公比是等比数列 且公比 则数列 则数列 也是等比数列 当也是等比数列 当 n n a b n a1q 232 nnnnn SSSSS 且 且为偶数时 数列为偶数时 数列 是常数数列是常数数列 0 0 它不是等比数列 它不是等比数列 1q n 232 nnnnn SSSSS 1 1 已知 已知且且 设数列 设数列满足满足 且 且 则 则0a 1a n x 1 log1log anan xx nN 12100 100 xxx 答 答 101102200 xxx 100 100a 2 2 在等比数列 在等比数列中 中 为其前为其前 n n 项和 若项和 若 求 求的值 答 的值 答 4040 n a n S140 13 30101030 SSSS 20 S 3 3 若若 则 则为递增数列 若为递增数列 若 则则为递减数列 若为递减数列 若 则 则为递减数为递减数 1 0 1aq n a 1 0 1aq n a 1 0 01aq n a 列 若列 若 则则为递增数列 若为递增数列 若 则 则为摆动数列 若为摆动数列 若 则 则为常数列为常数列 1 0 01aq n a0q n a1q n a 4 4 当当时 时 这里 这里 但 但 这是等比数列前 这是等比数列前项和公式的一项和公式的一1q baq q a q q a S nn n 11 11 0ab 0 0ab n 个特征 据此很容易根据个特征 据此很容易根据 判断数列 判断数列是否为等比数列 是否为等比数列 n S n a 若若是等比数列 且是等比数列 且 则 则 答 答 1 1 n a3n n Sr r 5 5 如设等比数列如设等比数列的公比为的公比为 前 前项和为项和为 若 若成等差数列 则成等差数列 则 mn m nmnnm SSq SSq S n aqn n S 12 nnn SSS 的值为的值为 答 答 2 2 q 6 6 在等比数列在等比数列中 当项数为偶数中 当项数为偶数时 时 项数为奇数 项数为奇数时 时 n a2nSqS 偶奇 21n 1 SaqS 奇偶 7 7 如果数列如果数列既成等差数列又成等比数列 那么数列既成等差数列又成等比数列 那么数列是非零常数数列 故常数数列是非零常数数列 故常数数列仅是此数列既成等差仅是此数列既成等差 n a n a n a 数列又成等比数列的必要非充分条件 数列又成等比数列的必要非充分条件 设设数列数列的前的前项和为项和为 关于数列关于数列有下列三个命题 有下列三个命题 若若 则 则既是等差既是等差 n an n SN n n a 1 N naa nn n a 数列又是等比数列 数列又是等比数列 若若 则 则是等差数列 是等差数列 若若 则 则是等比数列 是等比数列 R banbnaSn 2 n a n n S11 n a 这些命题中 真命题的序号是这些命题中 真命题的序号是 答 答 五五 数列的通项的求法 数列的通项的求法 公式法 公式法 已知已知 即 即 求 求 用作差法 用作差法 n S 12 n aaaf n n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 已知已知的前的前项和满足项和满足 求 求 答 答 n an 2 log 1 1 n Sn n a 3 1 2 2 n n n a n 数列数列满足满足 求 求 答 答 n a 12 2 111 25 222 n n aaan n a 1 14 1 2 2 n n n a n 已知已知求求 用作商法 用作商法 如数列 如数列中 中 对所有的对所有的都有都有 12 n a aaf n A A A n a 1 1 2 1 n fn f na n f n n a 1 1 a2 n 则 则 答 答 2 321 naaaa n 53 aa 61 16 若若求求用累加法 用累加法 1 nn aaf n n a 11221 nnnnn aaaaaaa 如已知数列 如已知数列满足满足 则 则 答 答 1 a 2 n n a 1 1a nn aa nn 1 1 1 2 n n a 121 n an 已知已知求求 用累乘法 用累乘法 如已知数列 如已知数列中 中 前 前项和项和 1 n n a f n a n a 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa 2 n n a2 1 an 若 若 求 求 答 答 n S nn anS 2 n a 4 1 n a n n 已知递推关系求已知递推关系求 用构造法 构造等差 等比数列 用构造法 构造等差 等比数列 n a 特别地 特别地 1 1 形如 形如 为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的的 1nn akab 1 n nn akab k bk 等比数列后 再求等比数列后 再求 n a 已知已知 求 求 答 答 11 1 32 nn aaa n a 1 2 31 n n a A 已知已知 求 求 答 答 11 1 32n nn aaa n a 11 5 32 nn n a A 2 2 形如 形如的递推数列都可以用倒数法求通项 的递推数列都可以用倒数法求通项 1 1 n n n a a kab 已知已知 求 求 答 答 1 1 1 1 31 n n n a aa a n a 1 32 n a n 已知数列满足已知数列满足 1 1 求 求 答 答 1 a 11nnnn aaa a n a 2 1 n a n 注意 注意 1 1 用 用求数列的通项公式时 你注意到此等式成立的条件了吗 求数列的通项公式时 你注意到此等式成立的条件了吗 当 当时 时 1 nnn SSa2n 1n 2 2 一般地当已知条件中含有 一般地当已知条件中含有与与的混合关系时 常需运用关系式的混合关系时 常需运用关系式 先将已知条件转 先将已知条件转 11 Sa n a n S 1 nnn SSa 化为只含化为只含或或的关系式 然后再求解 如数列的关系式 然后再求解 如数列满足满足 求 求 答 答 n a n S n a 111 5 4 3 nnn aSSa n a 1 4 1 3 4 2 n n n a n A 六六 数列求和的常用方法 数列求和的常用方法 1 1 公式法 公式法 等差数列求和公式 等差数列求和公式 等比数列求和公式 特别声明 运用等比数列求和公式 务必检查其公比与等比数列求和公式 特别声明 运用等比数列求和公式 务必检查其公比与 1 1 的关系 必要时需分类讨论的关系 必要时需分类讨论 常用公式 常用公式 1 123 1 2 nn n 2221 12 1 21 6 nn nn 如如 33332 1 123 2 n n n 1 1 等比数列 等比数列的前的前项和项和 S S 2 2 则 则 答 答 n an 22 3 2 2 2 1n aaaa 41 3 n 2 2 分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时 常将 分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时 常将 和式和式 中中 同类项同类项 先合并在一起 再运用公式法求和先合并在一起 再运用公式法求和 如求 如求 答 答 1 357 1 21 n n Sn 1 nn 3 3 倒序相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联