高一数学正弦定理、余弦定理人教实验A版知识精讲

用心 爱心 专心 高一数学正弦定理 余弦定理人教实验高一数学正弦定理 余弦定理人教实验 A 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 正弦定理 余弦定理 二 重点 难点 1 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 2 余弦定理 Abccbacos2 222 bc acb A 2 cos 222 3 面积公式CabSsin 2 1 典型例题典型例题 例1 ABC中 A 30 6 b 求边c2 a 求边c3 a 求边c4 a 求边c6 a 求边c9 a 解 解 1 法一 无解1 2 3 sin sinsin B B b A a 法二 Abccbacos2 222 03236 2 cc 无解0 2 法一 1sin B 90 B33 c 法二 02736 2 cc0 33 2 c33 c 3 法一 4 3 sin B B锐角 4 7 cos B 8 733 sincoscossin sin sin BABABAC 用心 爱心 专心 C c A a sinsin 733 c B为锐角 4 7 cos B 733 8 1 sin sin BAC C c A a sinsin 733 c 法二 02036 2 cc 733 2 2836 c 4 法一 2 1 sin B B为锐角 30 B 120 C 36 C B为钝角 舍 150 B 法二 036 2 cc36 c 5 法一 3 1 sin B B为锐角 3 22 cos B 6 322 sin C3326 c B为钝角 2 1 3 1 sin B 舍 180 150 B 法二 04536 2 cc 2633 2 28836 c 2633 c 分析 无解 3 0 a 1解3 a 两解 6 3 a 1解 6 a 总结 三角形有三边 三角六个基本量 知其三 至少一个为边 可求其余的量 1 三边 可用余弦定理 2 两边一夹角 可用余弦定理 3 两边一对角 为例1情况最复杂 4 一边两角即一边三角 可用正弦定理 例2 ABC中 三边长为 且三边上高线长为2cm 3cm 4cm 求 cba ABC S 用心 爱心 专心 解 解 2 2S a 3 2S b 4 2S c 36 29 2 2 9 4 4 cos 2 2 2 S S S S S B 36 455 sin B 36 455 22 1 S SS 455 455144 S 例3 ABC中 A平分线 AD 2 求三个角的度数 3 b32 c 解 解 ACBABDACD SSS 2 sin 2 1 2 sin 2 1A ADAB A ADAC AACABsin 2 1 2 cos 2 sin6sin3 2 sin32 2 sin3 AA A AA A 60 2 3 2 cos A 30 2 A 9 2 1 3232123 2 a B 30 C 90 3 a 例4 ABC中 求 cab 2 2 CACB sin sin 解 解 cab 2CABsinsinsin2 CACAsinsin sin 2 CCCCsin 2 sin 2 sin 2 CCCcossin2cos2 sin cos sin cos2 22 CCCC 1sincos 2 1 sincos 22 CC CC 用心 爱心 专心 4 17 sin C 4 17 cos C 4 7 2cos 2 2 sin sin sin CCCAB 例5 在 ABC中 已知 若 2 2 cbaa 322 cba13 4sin sin AC 求 cba 解 解 13 4sin sin AC13 4 ac 设 则kc4 ka13 2 38213 1 4 21313 2 kbk kbkk 由 1 2 消去 得 解得或b2031613 2 kk 13 3 k1 k 时 故舍去 13 3 k0 b 此时 1 k13 a 2 135 b4 c 例6 在 ABC中 判断这个三角形的形状 CB CB A coscos sinsin sin 解 解 应用正弦定理 余弦定理 可得 ab cba ca bac cb a 22 222222 整理为 2222 cbbccacbab 即 332 cbbccbacb 所以 即bccbcba 222222 cba 所以 ABC是直角三角形 例7 在 ABC中 是方程的一个根 求 ABC周长10 baCcos0232 2 xx 的最小值 解 解 0232 2 xx2 1 x 2 1 2 x 又 是方程的一个根 Ccos0232 2 xx 2 1 cos C 由余弦定理可得abbaabbac 2222 2 1 2 则75 5 10 100 22 aaac 当时 最小且 此时5 ac3575 c3510 cba 所以 ABC周长的最小值为3510 例8 在 ABC中 试判断三角形的形状 BaAbcoscos 解法一 解法一 BaAbcoscos 用心 爱心 专心 ac bca a bc acb b 22 222222 222222 bcaacb 22 ba ba 故此三角形是等腰三角形 解法二 解法二 设 则 R C c B b A a 2 sinsinsin BRbsin2 ARasin2 BaAbcoscos BARABRcossin2cossin2 0sincoscossin BABA0 sin BA A0 B0 即A B BA0 BA 故此三角形是等腰三角形 例9 在 ABC中 分别为角A B C的对边 且 求角B的大小 cba C B c ca tan tan2 解 解 根据正弦定理 C B c ca tan tan2 得 BC CB C B C CA cossin cossin tan tan sin sinsin2 化简为CBCBBAcossinsincoscossin2 sin cossin2CBBA 在 ABC中 ACBsin sin 2 1 cos B 1800 B 60 B 例10 在 ABC中 角A B C的对边分别为 cba C 2A 1 求的值 2 求的值 10 ca 4 3 cos A a c b 解 解 1 由C 2A及正弦定理得 2 3 4 3 2cos2 sin 2sin sin sin A A A A C a c 2 由 解得 2 3 10 a c ca 6 4 c a 由余弦定理得bb 4 3 6264 222 化简得 解得或0209 2 bb4 b5 b 检验 若 则A B 4 b ACBA4 4 A 2 2 cos A 与条件矛盾 所以不合题意 舍去 所以 4 3 cos A4 b5 b 模拟试题模拟试题 答题时间 50分钟 1 一个三角形的两个内角分别为30 和45 如果45 角所对的边长为8 那么30 角 用心 爱心 专心 所对边的长是 A 4B C D 243464 2 ABC中 A 30 则B等于 1 a3 b A 60 B 60 或120 C 30 或 150 D 120 3 在 ABC中 B 45 C 60 则最短边的长等于 1 c A B C D 3 6 2 6 2 1 2 3 4 ABC中 A 60 那么满足条件的 ABC 6 a4 b A 不存在B 唯一存在C 有2个D 不确定 5 在 ABC中 若A 60 则等于 3 a CBA cba sinsinsin A 2B C D 2 1 3 2 3 6 在 ABC中 已知 A 30 则 3 34 a4 bBsin 7 在 ABC中 周长为7 5cm 且 下列结论 6 5 4sin sin sin CBA 6 5 4 cba6 5 2 cba 其中成立的序号依次是 cmccmbcma3 5 2 2 6 5 4 CBA 8 在 ABC中 那么B等于 3 a7 b2 c A 30 B 45 C 60 D 120 9 若三条线段的长为5 6 7 则用这三条线段 A 能组成直角三角形B 能组成锐角三角形 C 能组成钝角三角形D 不能组成三角形 10 在 ABC中 若 则 0 222 abccb A A 30 B 60 C 120 D 150 11 ABC中 如果 A 30 边 6 a36 b c A 6B 12C 6或12D 无解 12 在 ABC中三边之比 则 ABC中最大角的大小为 19 3 2 cba A B C D 2 3 2 4 3 6 5 13 在 ABC中 B 150 则 33 a2 c b 14 在 ABC中 若 则A bcacbcba3 15 在 ABC中 已知 A 45 C 30 求和B 10 cba 16 在 ABC中 已知 B 45 求A C及 3 a2 bc 17 在 ABC中 是方程的两个根 且aBC bAC ba 0232 2 xx 求 1 角C的度数 2 AB的长度 1 cos 2 BA 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 B 2 B3 A4 A5 A6 2 3 7 8 C9 B10 C11 C 12 B 13 714 60 15 解 A 45 C 30 10 c 105 180 CAB 由 得 C c A a sinsin 210 30sin 45sin10 sin sin C Ac a 由 得 C c B b sinsin 75sin20 30sin 105sin10 sin sin C Bc b 2565 4 26 20 16 解一 根据正弦定理 2 3 2 45sin3sin sin b Ba A 且 或 120 9045 Bab 60 A 当 A 60 时 C 75 2 26 45sin 75sin2 sin sin B Cb c 当 A 120 时 C 15 2 26 45sin 15sin2 sin sin B Cb c 解二 根据余弦定理 Baccabcos2 222 将已知条件代入 整理得 解得016 2 cc 2 26 c 当时 2 26