湖南省汝城一中2011年高中数学 第三章小结与复习2教案 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心 1 第三章小结与复习第三章小结与复习 课题 第三章小结与复习 第三章小结与复习 2 2 第 课时 总序第 个教案 课型 复习课 编写时时间 年 月 日 执行时间 年 月 日 教学目标 掌握空间向量及其运算 会运用向量的方法解决立体几何问题 教学重点 会运用向量的方法解决立体几何问题 教学难点 会运用向量的方法解决立体几何问题 教学用具 多媒体 教学方法 讲练结合法 教学过程 知识点一知识点一 证明平行 垂直关系证明平行 垂直关系 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别在DB D1C上 且 DE D1F a 其中a为正方体棱长 2 3 求证 EF 平面BB1C1C 证明 如图所示 建立空间直角坐标系 D xyz 则 E 0 3 3 a a F 2 0 33 aa 故EF a 3 0 2a 3 又AB 0 a 0 显然为平面BB1C1C的一个法向量 而AB EF 0 a 0 0 a 3 0 2a 3 AE EF 又E 平面BB1C1C 因此EF 平面BB1C1C 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 BB1 CD 的中点 求证 平面 AED 平面 A1FD1 证明 如图 建立空间直角坐标系 D xyz 设正方体棱长为 1 则 E 1 1 1 2 D1 0 0 1 批 注 用心 爱心 专心 2 F 0 1 2 0 A 1 0 0 DA 1 0 0 DE 1 1 1 2 1D F 0 1 0 1 2 1 1 2 设m m x1 y1 z1 n n x2 y2 z2 分别是平面AED和A1FD1的一个法向 量 由 0 0 DA DE m m Error 令y1 1 得m m 0 1 2 又由 11 1 0 0 n D A n D F 令z2 1 得n n 0 2 1 m m n n 0 1 2 0 2 1 0 m m n n 故平面AED 平面A1FD1 知识点二知识点二 求空间角求空间角 已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2 底面ABCD是直角梯 形 A为直角 AB CD AB 4 AD 2 DC 1 求异面直线BC1与DC所成 角的余弦值 解 以D为坐标原点 以DA DC DD1所在直线分别作为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 2 0 0 B 2 4 0 C 0 1 0 C1 0 1 2 DC 0 1 0 22 32 2217 cos DC 1BC 1 1 DC BC DC BC 3 17 3 17 17 异面直线DC与BC1所成的角为锐角 异面直线DC与BC1所成的角的余弦值为 3 17 17 用心 爱心 专心 3 如图所示 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 5 AD 8 AA1 4 M 为 B1C1上 一点且 B1M 2 点 N 在线段 A1D 上 A1D AN 1 求 cos 1A D AM 2 求直线AD与平面ANM所成角 的正弦值 3 求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值 解 1 建立空间直角坐标系 如图所示 AM 5 2 4 1A D 0 8 4 AM 1A D 0 16 16 0 AM 1A D cos AM 1A D 0 2 A1D AM A1D AN 1A D 平面AMN 1A D 0 8 4 是平面ANM的一个法向量 又AD 0 8 0 1A D 4 5 1A D 64 cos 1A D 64 4 5 8 2 5 2 5 5 AD与平面AMN所成角 1A D 2 sin 2 5 5 3 平面ANM的法向量是1A D 0 8 4 平面ABCD的法向量是a a 0 0 1 cos 1A D a a 4 4 5 5 5 平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值是 5 5 知识点三知识点三 求空间距离求空间距离 如图 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面边长为 2 侧棱长为 2 4 点E F分别为棱AB BC的中点 EF BD G 求点D1到平面B1EF的距离 d 解 如图建立空间直角坐标系 D xyz 易得 D1 0 0 4 B1 2 2 用心 爱心 专心 4 2 2 4 E 2 2 2 0 F 2 2 2 0 故EF 0 1EB 2 2 0 2222 设n n x y z 是平面B1EF的一个法向量 则 1 0 0 EF EB n n Error 令x 1 得n n 1 1 2 4 则 11D B n 4 2 d 11D B n n 点 D1到平面 B1EF 的距离为 点D1到平面B1EF的距离为 16 17 17 已知斜三棱柱ABC A1B1C1 BCA 90 AC BC 2 A1在底 面ABC上的射影恰为AC的中点D 又知BA1 AC1 1 求证 AC1 平面A1BC 2 求点C1到平面A1AB的距离 3 求二面角A A1B C的余弦值 1 证明 如图 取AB的中点E 则DE BC 因为 BC AC 所以 DE AC 又 A1D 平面 ABC 以 DE DC D A1为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则 A 0 1 0 C 0 1 0 B 2 1 0 A1 0 0 t C1 0 2 t 1AC 0 3 t 1 2 1 t CB 2 0 0 由1AC CB 0 知A1C CB 又BA1 AC1 从而AC1 平面A1BC 2 解 由1AC 1BA 3 t2 0 得t 3 设平面A1AB的法向量为n n x y z 1AA 0 1 3 AB 2 2 0 所以 1 0 0 AA AB n n 设z 1 则n n 1 33 所以点C1到平面A1AB的距离d 1AC n n 2 21 7 3 解 再设平面A1BC的法向量为m m x y z 1CA 0