福建省2012届高三数学考前适应性训练试卷8 理

用心 爱心 专心 1 福建省福建省 20122012 届高三考前适应性训练数学试卷理科届高三考前适应性训练数学试卷理科 8 8 第第 卷 选择题 共卷 选择题 共 5050 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 计算等于 2 1 ii A B C D 22i 22i 2 2 解析 原式 因此选 D 22ii 2 已知命题是的充要条件 命题 则 2p x 2 4x ba c b c a q 则若 22 A 或 为真 B 且 为真 pqpq C 真假 D 均为假pq p q 解析 由已知命题是假命题 命题是真命题 因此选 A pq 3 如图所示程序框图运行后输出的结果为 A 36 B 45 C 55 D 56 解析 其实质是求 1 2 3 9 45 因此选 B 4 已知m n是两条不重合的直线 是三个两两 不重合的平面 则下列四个命题中真命题的是 A 若m n 则m n B 若m m n 则 n C 若 m n 则m n D 若m n m n 则 解析 可以利用作图排除法得到 C 是正确的 因此选 C 5 已知函数的大致图象如图所示 xfy 则函数的解析式应为 xfy A B ln xexf x ln xexf x C D ln xexf x ln xexf x 解析 如图 因为函数定义域是排除 A 选项 当 0 x x 排除 B D 因此选 C 0 xf x 6 四个旅行团选择四个景点游览 其中恰有一个景点没有旅行团游览的情 况有 种 A 36 B 72 C 144 D 288 解析 恰有一个景点没有旅行团游览 先从 4 个旅游团中任选 2 个 有 C 种方法 然后与其余 2 个旅游团看成三组 分别游览 4 个景点中的 3 个 2 4 有 A 种方法 由分步计数原理 知共有 C A 144 种不同的放法 因此选 C 3 42 4 3 4 7 函数的部分图象如图所示 则 tan 42 yx OAOBAB A B C D 6 4 46 解析 可知 因此选 D 2 0 3 1 AB 5 1 1 1 6OAOBAB A 8 由不等式组围成的三角形区域内有一个内切圆 向该三角形区域内随机投 5 02 xy yt x 一个点 该点落在圆内的概率是关于的函数 则 P t 用心 爱心 专心 2 A B C D 符号不确定 0P t 0P t 0P t P t 解析 若围成的三角形只可能恒为等腰直角三角形 内接圆半径 该值与无关 所2 7 2 7 rtt 22 2 2 22 7 2 22 1 7 2 t P t t 以 因此选 C 0P t 9 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点 且左右焦点分别为 12 F F 且两条曲线在第 一象限的交点为P 12 PFF 是以 1 PF为底边的等腰三角形 若 1 10PF 椭圆与双曲线的 离心率分别为 则的取值范围是 12 e e 12 e e A B C D 0 1 3 1 5 1 9 解析 如图 由题意知 且 1 10r 2 2rc 12 rr 1 12 22 2 cc e arr 双 2 1025 cc cc 2 12 22 2 cc e arr 椭 2 1025 cc cc 5 2210 2 ccc 三角形两边之和大于第三边 因此选 B 2 12 2 2 11 25 253 1 c e e c c 10 已知 f x 在区间 0 2 上任取三个数 均存在以 3 3xxm a b c f af bf c 为边长的三角形 则的取值范围是 m A B C D 2m 4m 6m 8m 解析 由得到 舍去 所以函数在区间033 2 xxf1 1 21 xx xf 单调递减 在区间单调递增 则 1 0 2 1 2 2 2 1 maxmin mfxfmfxfmf 0 由题意知 02 1 mf 得到 2 1 1 fff mm 224 由 得到 m 6 为所求 因此选 C 第第 卷 非选择题 共卷 非选择题 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2020 分 把答案填在答题卡相应横线上分 把答案填在答题卡相应横线上 11 已知集合 则 11 124 x AxRxBxR R AC B 解析 1 0 12 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半 纵坐标保持不变 2sin 3 f xx 得到新函数 则的最小正周期是 g x g x 解析 2sin 2 3 g xxT 13 某项游戏活动的奖励分成一 二 三等奖且相应获奖概率是以为首项公比为 2 的等比 1 a 数列 相应获得的奖金是以 700 元为首项 公差为元的等差数列 则参与该游戏140 获得奖金的期望为 元 解析 500 x y O P F1F2 r1 r2 用心 爱心 专心 3 1111 1124 241 700560420500 7777 aaaaE A 14 根据气象预报 某海域将有台风 位于港口O 如图 正东方向20海里B处的渔船回 港避风时出现故障 位于港口南偏西30 距港口10海里C处的拖轮接到海事部门营救 信息后以30海里小时的速度沿直线CB去营救渔船 则拖轮到达B处需要 小时 解析 3 7 15 设M1 0 0 M2 1 0 以M1为圆心 M1 M2 为半径作圆交x轴于点M3 不同于M2 记作 M1 以M2为圆心 M2 M3 为半径作圆交x轴于点M4 不同于M3 记作 M2 以Mn为圆心 Mn Mn 1 为半径作圆交x轴于点Mn 2 不同于Mn 1 记作 Mn 当n N N 时 过原点作倾斜角为30 的直线与 Mn交于An Bn 考察下列论断 当n 1时 当n 2时 当n 3时 11 2AB 22 15A B 23 33 35 421 3 A B 当n 4时 当n 5时 44 A B 45 55 35 421 3 A B 则推测一个一般的结论 对于n N N nn A B 解析 由归纳猜想得 34 44 35 421 3 A B nn A B 11 35 4 1 21 3 nnn 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 在平面直角坐标系中 角 的始边为轴的非负半轴 点在角的 x 2 1 2cos P 终边上 点在角的终边上 且 2 sin 1 Q 1OP OQ 1 求 cos2 2 求的坐标并求的值 P Qsin 解析 1 1OP OQ 22 sin2cos1 1 cos2 1cos2 1 2 1 cos2 3 2 由 1 得 2 1 cos22 cos 23 4 1 3 P 2 1 cos21 sin 23 1 1 3 Q 东 东 B C O y x O 用心 爱心 专心 4 22 45 1 33 OP 22 110 1 33 OQ 4 sin 5 3 cos 5 3 10 sin 10 10 cos 10 10 sin sincoscossin 10 17 本小题满分 13 分 已知几何体的三视图如图所示 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直BCDEA 角三角形 正视图为直角梯形 1 若几何体的体积为 求实数的值 BCDEA 16a 2 若 求异面直线与所成角的余弦值 1a DEAB 3 是否存在实数 使得二面角的平面角是 若存在 请求出值 若aADEB 45 a 不存在请说明理由 1 体积 1 4 4 416 2 32 a Va 2 解一 过点作交于 连接 则或其补角即为异面直线BEDBF ECFAFFBA 与所成角 在中 DEABBAF 24 AB5916 AFBF 即异面直线与所成角的余弦值为 5 22 2 cos 222 ABBF AFABBF ABFDEAB 5 22 解二 以为原点 以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐CCACBCExyz 标系 则 得 0 0 4 A 0 4 0 B 1 4 0 D 4 0 0 E 3 4 0 DE 又异面直线与所成角为 0 4 4 AB 2 2 cos 5 DE AB DE AB DEAB DEAB 锐角 可得异面直线与所成角的余弦值为 DEAB 5 22 用心 爱心 专心 5 3 以为原点 以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐CCACBCExyz 标系 则 平面的法向量 0 0 4 A 0 4 0 B 0 4 Da 4 0 0 EBDE 1 1 0 0 n 平面的法向量 由ADE 2 nx y z 0 4 4 DEa 4 4 ADa 可得 22 0 0n DEn AD AA 2 4 1 1 4 a n 12 12 12 2 cos 4 2 n n n na nn 此时 与正视图为直角梯形条件不符 所以舍去 因此不存在实数 使得二面角的平面角是 aADEB 45 18 本小题满分 13 分 有一种新型的奇强洗衣液 特点是去污速度快 已知每投放 且个单位 14kk kR 的洗衣液在一定量水的洗衣机中 它在水中释放的浓度 克 升 随着时间 分钟 变化yx 的函数关系式近似为 其中 若多次投放 则某一 yk f x 24 1 04 8 1 7 414 2 x x f x xx 时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和 根据经验 当水 中洗衣液的浓度不低于 4 克 升 时 它才能起到有效去污的作用 1 若只投放一次个单位的洗衣液 2 分钟时水中洗衣液的浓度为 3 克 升 求的值 kk 2 若只投放一次 4 个单位的洗衣液 则有效去污时间可达几分钟 3 若第一次投放 2 个单位的洗衣液 10 分钟后再投放 1 个单位的洗衣液 在第 12 分 钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用 能 请加以证明 不能 请说明理由 解析 1 24 1 3 1 82 kk 2 因为 所以则当时 由 解得4k 96 4 04 8 282 414 x yx xx 04x 96 44 8x 所以此时4x 04x 当时 由 解得 所以此时414x 2824x 12x 412x 综合 得 若一次投放 4 个单位的洗衣液 则有效去污时间可达 12 分钟012x 3 当时 12x 124 2 712 1 1 54 28 12 10 y 在第 12 分钟时还能起到有效去污的作用 19 本小题满分 13 分 已知点 过点作抛物线的切线 切点分别为 1 P m mR P 2 C yx 11 A x y 22 B xy 1 若过点 P 的切线的斜率为 1 求的值 m 2 证明成等差数列 21 xmx 3 若以点为圆心的圆与直线相切 求圆面积的最小值 PEABE 解析 1 设切点的坐标为 00 yx 0 21yx 0 1 2 x 2 00 1 4 yx 用心 爱心 专心 6 且 解得 1 1 0 2 0 mx x 5 4 1 1 2 m 3 4 m 2 由可得 直线与曲线相切 且过点 2 yx 2yx PAC 1 P m 即 同理 2 1 1 1 1 2 x x xm 2 11 210 xmx 012 2 2 2 mxx 为方程两个根 因此 故成等差数列 21 x x012 2 mxxmxx2 21 21 xmx 注 另解 由得 或 2 11 210 xmx 2 2 1 244 1 2 mm xmm 同理可得 或 2 1 1xmm 2 2 1xmm 2 2 1xmm 12 xx 因此 故成等差数列 2 1 1xmm 2 2 1xmm mxx2 21 21 xmx 3 由 2 可知 则直线的斜率 12 2xxm 12 1xx AB 直线的方程为 又 22 1212 12 1212 yyxx kxx xxxx AB 1121 yyxxxx 即 2 11 yx 22 112112 yxxxxxx x 210mxy 点到直线的距离即为圆的半径 即 PABE 2 2 22 41 m r m 设 则 1 14 2 ttm 6 9 2 4 1 6 9 4 1 1 4 1 4 2 2 t t t t t t r312 4 1 当且仅当时 等号成立 即 时取等号 3 t 2 13 44 m 2 2 m 故圆面积的最小值 E 2 3Sr 20 本小题满分 14 分 已知函数 2 ln 1 1 x f xax x aR 1 若函数在区间上是单调递增函数 试求实数的取值范围 f x 2 a 2 当时 求证 2a 1 12ln 1 24 1 xx x 2x 3 求证 且 11111 ln1 46221 n nn nN 2n 解析 1 因为 若函数在区间上是单调递增函数 则 2 1 1 1 a x fx x f x 2 恒成立 即恒成立 所以 0fx 1 1 a x max 1 1 a x 又 则 所以 2 x 1 01 1x 1a 2 当时 由 知函数在上是增函数 2a 2 2ln 1 1 x f xx x 2 用心 爱心 专心 7 所以当时 即 2x 2 f xf 2 2ln 1 0 1 x x x 则 21 2ln 1 1 11 x x xx 令 则有 222ln 1 g xxx 22 2 2 11 x g x xx 当时 有 2 x 0g x 因此在上是增函数 所以有 242ln 1 g xxx 2 2 0g xg 即可得到 242ln 1 xx 综上有 1 12ln 1 24 1 xx x 2x 3 在 2 的结论中令 则 1 1 t x t 111 2ln2 1 t ttt 取时 得到个不等式 将所得各不等式相加得 1 2 1 2 tnnNn 1 n 1112311 2 lnln ln 2 1 2312121 n nnn 所以 11111 2ln2 1 2321 n nn 即 且 11111 ln1 46221 n nn nN 2n 21 1 本小题满分 7 分 选修 4 4 矩阵与变换 已知曲线绕原点逆时针旋转后可得到曲线 1 1 Cy x 45 22 2 2Cyx I 求由曲线变换到曲线对应的矩阵 1 C 2 C 1 M II 若矩阵 求曲线依次经过矩阵对应的变换变换后得到 2 20 03 M 1 C 12 M M 12 T T 的曲线方程 解析 I 依题意得 1 22 22 22 22 M II 设依次经过矩阵对应的变换对应的矩阵 12 M M 12 T T 2 23 2 23 22 2 2 2 2 2 2 2