福建省2012届高考数学一轮经典例题 离散型随机变量的期望与方差 理

用心 爱心 专心 1 开锁次数的数学期望和方差开锁次数的数学期望和方差 例例 有n把看上去样子相同的钥匙 其中只有一把能把大门上的锁打开 用它们去试开 门上的锁 设抽取钥匙是相互独立且等可能的 每把钥匙试开后不能放回 求试开次数 的 数学期望和方差 分析 分析 求 kP 时 由题知前1 k次没打开 恰第k次打开 不过 一般我们应从 简单的地方入手 如3 2 1 发现规律后 推广到一般 解 解 的可能取值为 1 2 3 n 1 2 1 1 21 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 11 1 1 1 1 2 1 1 nnn n n n nnn P nnn n nn P n P nknkn kn n n n n n n knknnnn kP 1 1 1 2 1 2 3 1 21 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 所以 的分布列为 12 k n P n 1 n 1 n 1 n 1 2 111 3 1 2 1 1 n n n nnn E n n n n n k n n n n n n D 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 22222 n n nnn n 22222 2 1 321 1 321 1 12 1 4 1 2 1 12 1 6 11 222 nnnnn nnn n 说明 说明 复杂问题的简化处理 即从个数较小的看起 找出规律所在 进而推广到一般 方差的公式正确使用后 涉及一个数列求和问题 合理拆项 转化成熟悉的公式 是解决的 关键 次品个数的期望次品个数的期望 用心 爱心 专心 2 例例 某批数量较大的商品的次品率是 5 从中任意地连续取出 10 件 为所含次品 的个数 求 E 分析 分析 数量较大 意味着每次抽取时出现次品的概率都是 0 05 可能取值是 0 1 2 10 10 次抽取看成 10 次独立重复试验 所以抽到次品数 服从二项分布 由 公式npE 可得解 解解 由题 05 0 10 B 所以5 005 0 10 E 说明 说明 随机变量 的概率分布 是求其数学期望的关键 因此 入手时 决定 取哪些 值及其相应的概率 是重要的突破点 此题 kkk CkP 10 10 05 0 1 05 0 应觉察到 这是 05 0 10 B 根据分布列求期望和方差根据分布列求期望和方差 例例 设 是一个离散型随机变量 其分布列如下表 求q 值 并求 D E 1 01 P 2 1 q 21 2 q 分析 分析 根据分布列的两个性质 先确定 q 的值 当分布列确定时 D E 只须按定义 代公式即可 解 解 离散型随机变量的分布满足 1 3 2 1 0 i P i 2 1 321 P P P 所以有 1 1210 121 2 1 2 2 q q q q 解得 2 1 1 q 故 的分布列为 用心 爱心 专心 3 1 01 P 2 1 12 2 2 3 2 2 3 1 12 0 2 1 1 E 212 2 3 2 1 2 2 3 21 1 12 21 2 1 21 1 222 D 2 2 3 2 12 2 1 22 32 12223123622223 小结 解题时不能忽视条件 ii pkP 时 10 i p 2 1i否则取了1 q 的值后 辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算 产品中次品数分布列与期望值产品中次品数分布列与期望值 例例 一批产品共 100 件 其中有 10 件是次品 为了检验其质量 从中以随机的方式选 取 5 件 求在抽取的这 5 件产品中次品数分布列与期望值 并说明 5 件中有 3 件以上 包括 3 件 为次品的概率 精确到 0 001 分析 分析 根据题意确定随机变量及其取值 对于次品在 3 件以上的概率是 3 4 5 三种情 况的和 解 解 抽取的次品数是一个随机变量 设为 显然 可以取从 0 到 5 的 6 个整数 抽样中 如果恰巧有k 个 5 4 3 2 1 0 k 次品 则其概率为 5 100 5 9010 C CC kP kk 按照这个公式计算 并要求精确到 0 001 则有 0 5 0 4 07 0 3 070 0 2 340 0 1 583 0 0 P P P P P P 故 的分布列为 012345 P0 5830 3400 0700 00700 用心 爱心 专心 4 501 0 0504007 0 3070 0 2340 0 1583 0 0 E 由分布列可知 007 0 3 00007 0 3 P P 这就是说 所抽取的 5 件品中 3 件以上为次品的可能性很小 只有 7 评定两保护区的管理水平评定两保护区的管理水平 例例 甲 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境 且野生动物的种类和数量也大致相 等 而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 甲保护区 0123 P0 30 30 20 2 乙保护区 012 P0 10 50 4 试评定这两个保护区的管理水平 分析 分析 一是要比较一下甲 乙两个保护区内每季度发生的违规事 件的次数的均值 即数学期望 二是要看发生违规事件次数的波 动情况 即方差值的大小 当然 亦可计算其标准差 同样说明 道理 解 解 甲保护区的违规次数 1 的数学期望和方差为 3 12 032 023 013 00 1 E 21 1 2 0 3 13 2 0 3 12 3 0 3 11 3 0 3 10 2222 1 D 乙保护区的违规次数 2 的数学期望和方差为 3 14 025 011 00 2 E 41 0 4 0 3 12 5 0 3 11 1 0 3 10 222 2 D 因为 2121 DDEE 所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的 但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定 而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动 用心 爱心 专心 5 标准差64 0 1 1 22 1 1 DD这两个值在科学计算器上容易获得 显然 1 说明 说明 数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小 但有时仅知道均值大小还是不够的 比如 两个随机变量的均值相等了 即数学期望值相等 这就还需要知道随机变量的取值 如何在均值周期变化 即计算其方差 或是标准差 方差大说明随机变量取值分散性大 方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中 稳定 射击练习中耗用子弹数的分布列 期望及方差射击练习中耗用子弹数的分布列 期望及方差 例例 某射手进行射击练习 每射击 5 发子弹算一组 一旦命中就停止射击 并进入下一 组的练习 否则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习 若该射手在某组练习中射击命中 一次 并且已知他射击一次的命中率为 0 8 求在这一组练习中耗用子弹数 的分布列 并 求出 的期望 E 与方差 D 保留两位小数 分析 分析 根据随机变量不同的取值确定对应的概率 在利用期望和方差的定义求解 解 解 该组练习耗用的子弹数 为随机变量 可以取值为 1 2 3 4 5 1 表示一发即中 故概率为 8 0 1 P 2 表示第一发未中 第二发命中 故 16 0 8 02 08 0 8 01 2 P 3 表示第一 二发未中 第三发命中 故 032 0 8 02 08 0 8 01 3 22 P 4 表示第一 二 三发未中 第四发命中 故 0064 0 8 02 08 0 8 01 4 33 P 5 表示第五发命中 故 0016 0 2 01 8 01 5 44 P 因此 的分布列为 12345 用心 爱心 专心 6 P0 80 160 0320 00640 0016 0016 0 50064 0 4032 0 316 0 28 01 E 25 1 008 0 0256 0 096 032 0 8 0 0016 0 25 15 0064 0 25 1 4 032 0 25 1 3 16 0 25 1 2 8 0 25 1 1 22222 D 31 0 0225 0 0484 0 098 0 09 0 05 0 说明 说明 解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值 然后再根据概率的知识求解 对应的概率 准备礼品的个数准备礼品的个数 例例 某寻呼台共有客户 3000 人 若寻呼台准备了 100 份小礼品 邀请客户在指定时间 来领取 假设任一客户去领奖的概率为 4 问 寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请 若能使每一位领奖人都得到礼品 寻呼台至少应准备多少礼品 分析 分析 可能来多少人 是一个随机变量 而 显然是服从二项分布的 用数学期望来 反映平均来领奖人数 即能说明是否可行 解解 设来领奖的人数 3000 2 1 0 kk 所以 kkk CkP 30000