数学分析研究论文

中 国 某 某 大 学 本科 数学分析研究论文 数信小数信小组组 题 目 函数的极值和最值的研究 学 院 数学与计算科学学院 年 级 2011 级 指导老师 X X 教授 完成时间 2014 年 6 月 8 日 第 0 页 共 23 页 函数极值与最值研究 摘要 在实际问题中 往往会遇到一元函数 二元函数 以及二元以上的多元函数的最值 问题和极值问题等诸多函数常见问题 求一元函数的极值 主要方法有 均值等式法 配方法 求导法等 求一元函数的最值 主要方法有 函数的单调性法 配方法 判别式法 复数法 导 数法 换元法等 求二元函数极值 主要方法有 条件极值拉格朗日乘数法 偏导数法等 求 二元函数最值 主要方法有 均值不等式法 换元法 偏导数法等 对于多元函数 由于自变 量个数的增加 从而使该问题更具复杂性 求多元函数极值方法主要有 条件极值拉格朗日 法 等 对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题 主要方法有 向量法 均值不等式法 换元法 消元法 柯西不等式法 数形结合法等 关键词 函数 极值 最值 极值点 方法技巧 Abstract in practical problems often encounter a unary function The function of two variables and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems Extremum seeking a binary function the main methods are inequality extremum method distribution method derivation etc The value for theelement function the main methods are monotone method function method the discriminant method complex method derivative method substitution methodetc For two yuan value function the main methods are conditional extremum of Lagrange multiplier method etc Ask two yuan to the value function the main methods are mean inequality method substitution method partial derivative method etc For multivariate function due to the increased number of variables so that the more complicated the problem find the function extreme value method mainly has conditional extremum of multivariate Lagrange method directional derivative for multivariate function most value the most value problem with the function of one variable can be used to find the function extreme value is similar The main methods are vector method the mean value inequality method substitution elimination method the method of Cauchy inequality the combination method Keywords function extreme value the value extreme points methods and techniques 引言 第 1 页 共 23 页 作为函数性质的一个重要分支和基本工具 函数极值和最值在数学与其他 科学领域 如数学建模优化问题 概率统计等学科都有广泛应用 不仅如此 函数极值理论在航海 保险价格策划 航空航天等众领域中也是最 富变现性和灵和性 并起着不可替代的数学工具作用 许多实际问题最终都归 结为函数极值和最值问题 生活中遇到的实际问题 可以通过数学建模的方式 表示为函数形式 而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解 来 为生产生活做保证 由此可见 研究函数极值和最值 是学习数学与其他学科 的理论基础 是生活生产中的必备工具 它为我们对于数学的进一步研究起到 很大帮助 同时 它对于其它相关学科的理解 学习与应用也起着十分重要的 作用 更对其他学科领域的展开有很大的促进作用 函数的极值和最值不仅是 函重要的基础性质 在实际经济活动中也有着重要的应用 对于不同类型的问题 我们应有一个系统而简便的方法 巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法 而恰恰这些方法的终极解决 都归结于对函数极值和最值的求解 下面 就让 我们做一些简单的归纳 研究函数的极值和最值 诠释一些方法和技巧 并附 上具体的例子加以说明 让我们明白函数极值和最值的相关问题及在生活实际 中的各种应用 第 2 页 共 23 页 目录 摘要 1 引言 2 1 函数极值 4 1 1 极值概述 4 1 2 极值判断条件 5 1 3 极值应用实例 6 1 4 求极值思想方法总结 10 2 函数最值 11 2 1 函数最值概述 11 2 2 函数最值求法 14 2 3 求函数最值思想方法总结 16 学习心得 17 致谢辞 18 附录 19 附录一 组员名单 19 附录二 开题报告 20 参考文献 21 第 3 页 共 23 页 1 函数极值 1 1 极值概述 1 1 1 函数极值的引入 什么叫极值 在诠释这个概念之前我们引入一个定理 费尔马定理 下 面给出他的定义 若函数在的某邻域内满足 xfy 0 x 0 xU 00 xfxfxUx 则称函数在点取极大值 点称为极大值点 xfy 0 x 0 xf 0 x 若函数在的某邻域内满足 xfy 0 x 0 xU 00 xfxfxUx 则称函数在点取极小值 点称为极小值点 xfy 0 x 0 xf 0 x 极大值与极小值统称为极值 极值是函数的局部性质 即在某邻域 内作比较而获得 而且曲线在极值点的切线是一条水平线如图 这就 0 xU 是费尔马定理 0 x x y OO 图 第 4 页 共 23 页 费尔马定理简单的描述就是 若函数在点的某领域内有定 xfy 0 x 0 xU 义 且在点可导 则点为极值点 他的实质就是可导与极值 0 x 0 x0 0 xf 点的必要条件是稳定点 但非充分 1 1 2 一元函数的极值 定义 若函数在点可导 则有费尔马定理 点为极值点 xfy 0 x 0 x 而此时就是所谓的极值 而是极大值还是极小值呢 0 0 xf 0 xf 0 xf 现在从图 2 可以得到如下结论 1 在内 在内时 此时为 00 xx 0 xf 00 xx0 xf 0 xf 极小值 2 在内 在内时 此时为极 11 xx 0 xf 11 xx0 xf 1 xf 大值 1 1 3 二元函数的极值 定义 设函数在点的某领域内有定义 对于该领域内 yxfz 00 yx 异于的点 若满足不等式 则称函数在有 00 yx yx 00 yxfyxf 00 yx 极大值 若满足不等式 则称函数在有极小值 极大 00 yxfyxf 00 yx 值和极小值统称极值 使函数取得极值的点称为极值点 1 2 极值判别条件 1 2 1 一元极值判别条件 1 必要条件 费尔马定理 2 充分条件 第一充分条件 设函数在点连续 在邻域和内可导 则 xfy 0 x 00 xx 00 xx i 在邻域上 在邻域上 00 xx 0 xf 00 xx0 xf 为极大点 0 x 处取得极大值 在 0 xxf x 1 x 0 x O y 图 第 5 页 共 23 页 ii 在邻域上 在邻域上 00 xx 0 xf 00 xx0 xf 为极小点 0 x 处取得极小值 在 0 xxf 由导数的符号可知函数的单调性 故结论成立 一般地 用极值的充分条 件判别极值点时 常用列表法 第二充分条件 设函数在点的某邻域内一阶可导 在点二阶可导 xfy 0 x 0 xU 0 xx 且 则 0 0 xf0 xf为极小值点 00 0 xxf 为极大值点 00 0 xxf 证明 由二阶泰勒公式得 2 0 2 00 2 1 xxoxxxfxfxf 所以 2 00 2 1 0 1 xxoxffxf 为极小值点 00 0 xxf 0 00 为极大值点xxf 1 2 2 二元极值判别条件 1 必要条件 设函数在点具有偏导数 且在点处有极值 则它 yxfz 00 yx 00 yx 在该点处偏导数必然为零 有 0000 yxfyxf yx 2 充分条件 设函数在点的某领域连续 有一阶及二阶连续偏导数 yxfz 00 yx 又 令 0000 yxfyxf yx ByxfAyxf xyxx 0000 Cyxfyy 00 则在点处是否取得极值的条件如下 yxfz 00 yx i 时具有极值 当 时具有极大值 当 时具有0 2 BAC 极小值 ii 时没有极值 0 2 BAC iii 时可能有极值 也可能没有极值 0 2 BAC 1 3 极值应用实例 前面介绍了极值和极值的判别 那到具体的应用中如何应用呢 理论要结 合实践 那么我们结合一些经典题型说说到底如何求解极值的问题 来说明其 方法和技巧 1 3 1 极值的第一充分条件 列表法 例1 3 1 求函数的极值点与极值 23 52 xxxf 解 函数 当 52 32 的定义域为xxxf 第 6 页 共 23 页 可见 1 3 10 3 10 3 10 0 3 3 1 3 2 x x xxxfx 时 而 是不可导点是稳定点 01 xx 列表如下 x 0 0 1 1 xf 单调性 所以 x 0为极大值点 极大值为0 x 1为极小点 极小值为 3 如图1 1 3 2 极值的第二充分条件 例1 3 2 求函数的极值点和极值 x xxf 432 2 解 函数定义域为令 x xxf 432 2 0 x时 当0 x 2 432 2 x xxf 得0 xf x 6 108 6 6 06 6 864 2 2 fxf x xf为极小点 极小值所以得又 如果当点不能取到极值 在时 函数则 00 0 0 0 xxfxfxf 同第二判别法 号来判别极值点 方法时 可以四阶导数的符0 0 0 4 0 xfxf 1 3 3 极值的第一充分条件和极值的第二充分条件 例1 3 3 求函数的极值点和极值 34 1 xxxf 解 7 4 1 00 47 1 23 xxfxxxxf得令 得 287 1 6 22 xxxxxf0 0 0 7 4 0 1 fff 又 823543 6912 7 4 7 4 fx为极小点 极小值为所以 有 再 4306035 6 23 xxxxxf非极值点所以1 0 1 0 0 xff 0 0 0 0 0 4 fxf为极大点 极大值为所以 y x O 图 1 第 7 页 共 23 页 1 3 4 极值的第一充分条件 例 1 3 4 由一宽为的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等cm24 腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大 解 设折起来的边长为 倾斜角为 那么梯形断面的下底长为xcm 上底长为 高为 则断面面积x224 cos2224xx sinx sin 224cos2224 2 1 xxxxA 即 cossinsin2sin24 22 xxxA D 120 x0 2 下面是求二元函数在区域 xA 上取得最大值的点 D120 x0 2 x 令 0 sin coscos2cos24 0cossin2sin4sin24 2222 xxxA xxAx 由于 上式为0sin 0 x 将代入 2 122cos0 1 24cos2 cos 2cos1 0 2 xx xx 212 cos x x 2 式得 再求出 则有 于是方程组的解是8x 1 cos 2 0 60 3 0 60 3 cmx8 在考虑边界 当时 函数为的一元函数 求最值点 2 2 224xxA x 由 得 0424 xAx6 x 所以 72 2 sin62 2 sin624 2 6 2 A 83348 3 cos 3 sin8 3 sin82 3 sin824 3 8 22 A 根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在区域 D120 x 内取得 通过计算得知时的函数值比 时函数 2 0 2 0 60 cmx8 值为小 又函数在内只有一个驻点 因此可以断定 当 时 Dcmx8 0 60 就能使断面的面积最大 1 3 5 偏导数法 例 1 3 5 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告 根据 第 8 页 共 23 页 统计资料 销售收入 万元 与电台广告费用 万元 及报纸广告费R 1 x 万元 之间的关系有如下经验公式 1 x 2 2 2 12121 528261415xxxxxxR 广告费用无限的情况下 求最优广告策略 使所获利润最大 解 利润等于收入与费用之差 利润函数为 528261415 21 2 2 2 12121 xxxxxxxxf 2 2 2 12121 528251315xxxxxx 根据极值存在的必要条件 令 010825 04813 21 2 12 1 xx x f xx x f 得 即为驻点 利润函数在驻点处的 Hesinn 矩阵 12 35 1 x 6 1 2 x 6 1 12 35 108 84 2 2 2 12 2 21 2 2 1 2 x f xx f xx f x f A 易验证 Hesinn 矩阵为负定矩阵 所以在驻点处达到极大值 也是最Af 6 1 12 35 大值 即最优广告策略为 电台广告费用和报纸广告费用分别为万元和万 12 35 6 1 元 此时可获得最大利润 1 3 6 条件极值拉格朗日数乘法 用条件极值的方法 把问题转化为无条件极值 正确写出目标函数和约束 条件 例1 3 6 经过点 1 1 1 的所有平面中 哪一个平面与坐标面在第一卦限所 围的立体的体积最小 并求此最小体积 解 设所求平面方程为 0 0 0 1 cba c z b y a x 因为平面过点 1 1 1 所以该点坐标满足此平面方程 即有 1 1 111 cba 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为 v 则 2 abcv 6 1 原问题化为目标函数 2 在约束条件 1 下的最小值 作拉格朗日函数 第 9 页 共 23 页 1 111 6 1 cba abccbaL 求函数 L 的各个偏导数 并令他们为0 得方程组 0 6 1 0 6 1 0 6 1 222 c ab b ac a bc 解方程组得 a b c 3 由于最小体积存在 函数又有唯一的驻点 故 a b c 3为 所求 即平面为 x y z 1 与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小 最小体 积为 2 9 3 6 1 3 min V 1 3 7 均值不等式法 用均值不等式求解问题的极值时 一定要注意自变量的要求 一正 二定 三能等的关系 例1 3 7 当 x 为何值时 函数 y 取得极值 2 2 4 69 x x 解 6 4 9 4 9 2 1 2 2 2 2 x x x x 12 4 9 2 2 x x 18 4 69 2 2 x x 式子两边都是非负数 分别去算术平均根 得2318 4 69 2 2 x xy 3 6 23 min xy此时 1 3 8 配方法 用配方法求解极值问题 可以将整个函数的极值问题转化为局部函数的最 值问题来求解 使问题更加简单化 例1 3 8 求函数的极值 3coscos 1 2 xx y 解 令 3 4 1 4 1 coscos3coscos 3coscos 222 xxxxuxxu则 取最小值 取极大值的条件是u u yx 1 4 11 2 1 cos 2 取最大值取最大值 取极小值的条件是u u y 1 u u y取极小值的条件是 1 5 1 1cos 2 1 cos 2 max 的极小值为则取最大值yxxu 11 4 2 1 cos0 2 1 cos 2 min 的极大值为则取最小值yxxu 第 10 页 共 23 页 1 4 求极值思想方法总结 1 求解函数极值的问题 由以上的例题求解一元函数 二元函数 以及多元 函数极值的解答方法来看 求取极值的方法很多 但一般极值问题能用多种方 法求解 具体极值问题得看具体情况 可以根据自己对方法掌握的程度来选择 由于求解极值的方法很多 我这里只是其中一部分 大多数的思想一致 少数 思想比较特别 通过前面的应用实例 不难看出求一元函数 二元函数 以及 多元函数极值的思想和方法 2 函数最值 2 1 最值概述 提到函数 就不难会想到函数的有界性 单调性 奇偶性 周期性 连续 性 可导性等等 下面就对此进行简单说说 2 1 1 函数最值的定义 一般地 若一元函数在闭区间上 a b 上连续 则函数在该区间上必 xf 取得最大值和最小值 函数的最大 小 值与函数的极值是有区别的 前者是指 整个区间 a b 所有函数值中的最大 小 值 因此最大 小 值是全局概念 但如 果函数的最大 小 值在区间 a b 取得 那么函数的最大 小 值也是极大 小 值 一般地 对二元函数的最值问题定义而言 与一元函数类似 yxfz 我们可以利用函数的极值来求函数的最值 若函数在有界闭区域 D 上连续 则 在 D 上必取得最值 且函数最大值点和最小值点比在函数的极值点或边 yxf 界点上 因此只需求出在这个驻点或不可导点的函数值及在边界点上的 yxf 最值 推广到多元函数也是如此 其核心思想不变 但定义过程比较麻烦 求解 更是如此 2 1 2 初等函数与性质 2 1 2 1 有界性 函数的值域有上界称为函数的上界 有下界称为函数下界 函数值域有界 第 11 页 共 23 页 称为函数有界 定义 设是定义在上的函数 是的子集 如果存在数 使 xfXDXM 得对于中的任意 则称在上有界 Dx xfD 2 1 2 2 单调性 如图 当由小到大的变化时 函数值增加 而由大到小时 函数减小 定义 设是定义在上的函数 是的子集 如果对于中任意 xfXDXD 两点 当时 则称在上单调增 相反 单调 21 x x 21 xx 21 xfxf xfD 减 2 1 2 3 奇偶性 为奇函数 其图像关于原点对称 xf xfxf 为偶函数 其图像关于轴对称 xf xfxf y 2 1 2 4 周期性 在上 为周期函数 则 k 为D xf 0 xfkxfDxk 的一个周期 显然周期并不唯一 xf 2 1 2 5 可导与连续 若函数在点可导 则在点连续 xfy 0 x xfy 0 x 由此 可据函数的可导求极值点 进而讨论函数最值 2 1 3 6种基本初等函数 2 1 3 1 常数函数 定义域为 图像平行于 x 轴 Cy R 2 1 3 2 幂函数 为实数 xy 2 1 3 3 指数函数 奇图像如图2 x ay 1 0 aa O y x 图 2 xy xy y xy xO 图 2 O y x 图 3 第 12 页 共 23 页 2 1 3 4 对数函数 图像如图3xy a log 1 0 aa 2 1 3 5 三角函数 xyxyxyxycot tan cos sin 2 1 3 6 反三角函数 xarcyxyxyxycot arctan arccos arcsin 2 2 O x y O 2 x y y O x y O2 x 2 正切函数 y tanx 余切函数 y cotx 正弦函数 y sinx 余弦函数 y cosx O 2 x 1 1 2 y y 1 1 x O 反正弦函数 y arcsinx 反余弦函数 y arccosx 第 13 页 共 23 页 2 2 函数最值求法 函数最值求法 其方法多种多样 下面我们列举出如下8中并结合例题来说 明其数学思想 2 2 1 复数法 用复数方法求解函数的最值问题 就是运用复数的模以及绝对值的性质来 求解 关键是构造复数 例2 2 1 的最值求函数152 22 xxxxf 解 2 1 2 1 52 2121 222 zzxfixzixzixxx 设 等号当且仅当 zzzz 121 103121 iixix 10 3 1 12 1 min21 xfx xx ozoz时成立 故亦即同向 即与 2 2 2 配方法 用配方法求解最值问题 可以将整个函数的最值问题转化为局部函数的最 值问题来求解 使问题更加简单化 例2 2 2 的最小值 求函数 2 42xxy 解 4 4 2 0 4 22 的最大值为则配方得设xfxxfxfxxxf 即为所求 0 min y 2 2 3 判别式法 O y x 2 2 反正切函数 y arctanx O 2 y x 反余切函数 y arccotx 第 14 页 共 23 页 用判别式法 可以将函数的最值问题化为一元二次函数的问题 进而化为 判断一元二次函数判别式的问题 关键是二次项系数不为零 例2 2 3 求函数的最值 122 32 2 2 xx xx y 解 由原函数可得关于 x 的一个二次方程 4 1 4 0 3 1 2 12 22 yxyyxy即 必须有为使得方程有实数解 1 4 14 0 1 4 0 3 12 maxmin yyyyyyy即化简得 2 2 4 导数法 用导数法是在 极值点 不可导点 端点中 通过对函数值的比较而得最 值点 若函数在某区间只有极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 若函数在整个区间都不连续的 就把它分为多连续的个区间 分别求出每个区 间的极值 最后在求出最值 例2 2 4 求函数上的最值 在 3 0 2 1 32 xxxf 解 8 0 2 1 0 2 75 1 5 7 2 fxxxxfxxxxf经计算得得令 最小上的最大值是在所以 4 3 0 4 3 0 2 035 0 5 7 0 1 xfffff 值是 8 2 2 5 函数的单调性法 当自变量的取值范围为一区间时 常用单调性法来求函数的最值 若函数 在该区间上是单调性的 那么函数在区间端点取得最值 若函数在该区间不是 单调的 把该区间分成各个小区间 使得函数函数在每个区间上是单调的 在 求出各个区间上的最值 在比较 最后求得整个区间上的最值 例2 2 5 求函数 的最值48148 22 xxxxxf 解 由题意得定义域 又 8604814 08 22 xxxxx得 增大 增加时 且故当6 8 6 8 6 6 86 6 8 xxxx xx x xxx 在区间上减函数 所以的增大而减小 即随减小 于是而 8xfxxfx 32 6 0 8 maxmin fxffxf 2 2 6 换元法 用换元法求函数的最值 就是根据函数表达式的特点 把某一部分看作一 个整体或用新元来代替 达到问题化难为易 化陌生为熟悉 从而使原问题得 到解答 换元法通有三角代换和代数代换两种 第 15 页 共 23 页 例2 2 6 正数 x y 满足 1的最小值为不相等的正常数 求其中yxba y b x a 解 0 uv uv v y b vu u x a 其中令 buav v bu u av abba v bu u av ba v uvb u vua yx 即当且仅当则 2 时上式取等号 故 2 min bayx 2 2 7 消元法 消元法是指通过消去变量 未知数 从而达到解题的目的 该方法是求多元 函数最值最基本的方法 例 2 2 7 已知 2 923 22 的最值求yxsxyx 解 条件 39 2 1 923 2222 xxyxyx 知 8 81 2 9 2 1 2 39 2 1 2 2 22222 xxxxyxs 又 0 39 2 1 22 xxy 3 0 03 2 xxx 而 00 18 3 3 0 3 0 2 9 minmax sxsxs时 当时当上是增函数 在函数 2 3 8 柯西不等式法 柯西不等式 设 2 22112121 nnnn babababbbaaa均为实数 则有 3 2 1 22 2 2 1 22 2 2 1 nibabbbaaa iinn 是常数 等号当且仅当 时取得 例2 2 8 的最小值 求且设 zyx uzyxzyx 941 1 0 解 由柯西不等式可得 zyx zyx zyx u 941 941 36 321 941 2 2 z z y y x x 由 36 2 1 3 1 6 1 1 94 min 22 2 uzyxzyx zy x故可得及 2 求函数最值思想方法总结 求解函数的最值问题 涉及到函数 不等式 线性规划 解析几何 向量 第 16 页 共 23 页 等诸多数学重点知识 更体现了函数思想 化归转化思想 数形结合思想和分 类讨论思想等若干核心数学思想的应用 掌握一元函数问题最值的求解 是求 其它多元函数最值的关键 求解二元函数最值 核心思想是化二元为一元 将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键 也是本质 通过消元或换元 将一个二元问题简化为一元函数问题 依托于学生所熟识的一元函数达到求解 二元函数最值的目的 应用实例中叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体 运用 同时 求解多元函数最值问题时 联系题目中条件与最值问题所对应的 几何意义 利用数形结合的思想 将多元函数问题化归为二元函数和一元函 数变换关系 通过观察图形的几何意义来解决问题 是此类问题其求解的又一 宝 此外 结合已知条件 利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一 重要工具 均值不等式法就体现了这一思想 求解函数最值问题的方法很多 这里我们只是研究了其中一些方法 通过多种求解最值方法我们得到一题可以 用多种方法来求解 一种方法亦可以用于多种问题的思想 学习心得 我们组的论文题目是函数极值与最值研究 从第四周选题后 经过开题 检索文献 整理分析文献 拟定写作方案 小组进行分工 讨论等 通过此次 论文写作使我们充分认识了函数极值和最值以及掌握其求解方法 求解函数的 极值和最值问题 涉及到函数 不等式 复数 柯西不等式 向量等诸多高中 数学重点知识 更体现了函数思想 化归转化思想 数形结合思想和分类讨论 思想等若干核心数学思想的应用 让我们感受到了数学的真正魅力 数学来源 于生活 而又高于生活 生活中处处离不开数学 数学让我们明白只有理论与 实际相结合才能真正实现它的价值 我们才能用它来创造价值 满足我们的需 要 时光飞逝 我们大三的生活即将结束 课程也差不多结束了 在此学校为 我们开了数学分析研究这门课 对此老师安排了这次论文写作 它不仅是对我 大学几年对数学知识学习成果的检验和总结 更是对能力的一种提升 写作前 我们查阅了大量文献资料 进行整理分析 提取有用信息 对此 我们真的学到好多新知识 提高了文献检索能力和分析问题能力 在写论文过程 中 我们体会到了学习数学的乐趣 体现了团队合作的默契 虽然有些意想不 到的问题出现 弄的我们很头疼 但通过大家的努力还是能解决 然而解决问 题后看到大家的喜悦及成就感真的很棒 增强了我们学习的自信心 相信对以 后的学习 工作 生活都将有着很深的影响 锻炼了逻辑思维能力 提高了动 第 17 页 共 23 页 手能力 以及在 word 中绘数学图形的操作能力 还有培养了我们发现问题 分 析问题 解决问题的能力 当然我们也发现了自身存在的很多问题 比如知识 的储备不够 发现自己还有许多东西需要学习 认识到学习是一个长期积累的 过程 在以后的学习工作生活中 都要做好准备 随时学习 时刻注意自身素 质和能力的全面提高 在论文的写作过程中感触最深的是注意细节的重要性 写 论文时 常常会遇到一些细小问题 如 字体 字间距 符号等 这些细节问 题常常导致我们的论文一遍又一遍的修改 浪费了很多时间 造成很多麻烦 这也使我们意识到细节的重要性 使我们在以后的生活工作中更加的注意细节 有时往往就是一些细节问题决定了成败 最后在写论文的过程中 得到了老师和同学们的帮助 在此 要感谢大家 对我们的帮助和支持 谢谢 致谢辞 这次论文在徐波老师的教导下完成的 X 老师渊博的专业知识 严谨的治 学态度 精益求精的工