初中数学 数学名师 费马

1 费马费马 费马 p de fermat pierre de 1601 年 8 月 20 日生于法国南部图卢兹附近的博蒙 德 洛马涅 1665 年 1 月 12 日卒于法国卡斯特尔 数学 费马出身于皮革商人家庭 他的祖父 父亲 叔父都从事商业 他的父亲多米尼克 dominique fermat 还是当地第二执政官 经办了一个生意兴隆的皮革商行 他的母亲克 拉丽 德 朗 claire de long 曾在长袍贵族议会中任职 费马于 1631 年 6 月 1 日和他母亲 的堂妹路易丝 德 朗 louise de long 结婚 生育了两个儿子和三个女儿 费马的童年和少年时代是在波蒙特渡过的 在家乡上完中学后 可能进入了图卢兹大 学 17 世纪 20 年代的后期他曾在波尔多 bordeaux 度过了相当长的一段时间 就在这一 时期他对数学发生了兴趣 深入地研究过 f 韦达 vi te 的著作 费马在 1631 年 5 月 1 日获奥尔良 orleans 大学民法学士学位 费马以律师为职业 曾任图卢兹议会的议员 并享有长袍贵族的特权 他不但有丰富 的法律知识 而且是一个博览群籍 识多见广的学者 虽然数学只不过是他的业余爱好 但他精通法语 意大利语 西班牙语 拉丁语 希腊语 从而使他不仅能精心研究韦达的 著作 而且能深入钻研那些古典的数学著作 例如 阿基米德 archimedes 阿波罗尼奥 斯 apollonius 丢番图 diophantus 帕普斯 pappus 等人的作品 在下述几个数学分 支中做出了极为重要的贡献 他在研究几何的过程中发现了解析几何的原理 他是微积分 的先驱者 他和 b 帕斯卡 pascal 共同开创了概率论的早期研究 他是近代数论的开拓 者 他和 r 笛卡儿 descartes 分享创立解析几何的殊荣 费马对于曲线的探讨 是从研究古希腊的几何学家 特别是研究阿波罗尼奥斯的成果 开始的 他力图把阿波罗尼奥斯关于轨迹的某些久已失传的证明补充起来 为此他写了篇 幅不大的 平面和立体的轨迹引论 ad locos planos et solidos 一书 这本著作可能 在 1629 年左右编成 但直到 1679 年才出版问世 他说他试图开展关于轨迹的一般性研究 这种研究是希腊人没有做到的 从费马的 平面和立体的轨迹引论 和他在 1636 年与 g p 罗贝瓦尔 roberval 等 人的通信中 可以看出他在笛卡儿发表 几何学 la g ome trie 1637 之前 就已发现 了解析几何的基本原理 发现了用代数方程表示曲线的方法 他取一条水平的直线作为轴 并在此直线上确定一个点作为原点 他考虑任意曲线和它上面的一般点 m 图 1 点 m 的位 置用两个字母 a e 来确定 a 表示从原点 o 沿轴线 费马所用的坐标实际上是我们所说的倾斜坐标 但是 y 轴没有明显地出现 而且不用 负数 他的 a e 就是我们的 x y 费马清楚地叙述了他的一般原理 只要在最后的方 程里出现了两个未知量 我们就得到一条轨迹 这两个量之一 其末端就绘出一条直线或 曲线 图中对于不同位置的 e 其末端 m m1 m2 就把这条 线 描绘出来 费马的 未知量 a 和 e 实际上是变数 或者可以说 联系 a 和 e 的方程是不确定的 在这里 费 马采用韦达的办法 让一个字母代表一类的数 然后写出联系 a 和 e 的各种方程 并指明 它们所描绘的曲线 例如 他写出 d in a aequetur b in e 用我们的记号就是 dx by 并指明这代表一条直线 他还给出了 以下用我们今天的符号 d a x by 代表一条直线 a2 x2 y2 是圆的方程 a2 x2 ky2 是椭圆方程 a2 x2 ky2 是双曲线方程 xy a 是双曲线 2 方程 x2 ay 是抛物线方程 应该指出 因费马不用负坐标 他的方程不能像他所说的代 表整个曲线 但他确实领会到坐标轴可以平移或旋转 因为他给出一些较复杂的二次方程 并给出它们的简化形式 例如 他曾指出 d2 xy bx sy 是双曲线 费马既把圆锥曲线看成 圆锥的平截线 也看成为平面轨迹和二次方程的图象 他在 求最大值和最小值的方法 methodus addisquirendam maximam et minimam 1637 中引进了曲线 y xn 和 y x n 他在 1643 年的一封信里 还简短地描述了他的三维解析几何的思想 他第一个把三元 方程应用于空间解析几何 他还谈到了柱面 椭圆抛物面 双叶双曲面和椭球面 并指出 作为平面曲线论的顶峰 应该研究曲面上的曲线 这个理论 有可能用一个普遍的方法来 处理 我有空闲时将说明这个方法 尽管费马对三维解析几何未能给出一个几何框架 但 他却为它提供了一个代数基础 在 1650 年的一篇文章 新型二阶或高阶方程分析中的指标 问题 novus secundarum et ulterioris ordinis radicumin analyticis usue 里 他 指出 一个自变量的方程决定点的作图 二个自变量的方程决定平面曲线的轨迹的作图 三个自变量的方程决定空间中曲面的轧迹的作图 当笛卡儿的 几何学 出版之际 费马曾对书中所提出的曲线分类理论提出异议 并 指出书中不应该删去极大值和极小值 曲线的切线 以及立体轨迹的作图法 他认为这些 内容是所有几何学家值得重视的 为此 他们曾进行过激烈的争论 但冷静下来之后 态 度便逐渐缓和 费马在 1660 年的一篇文章里 既开诚布公地指出笛卡儿 几何学 中的一 个错误 又诚挚地说出 他很佩服笛卡儿的天才 费马和笛卡儿研究解析几何的方法是大相径庭的 表达形式也迥然不同 费马主要是 继承了希腊人的思想 尽管他的工作比较全面系统 正确地叙述了解析几何的基本原理 但他的研究主要是完善了阿波罗尼奥斯的工作 因此古典色彩很浓 并且沿用了韦达以字 母代表数类的思想 因此需要读者对韦达的代数知识了解甚多 而笛卡儿则是从批判希腊 的传统出发 断然同这种传统决裂 走的是革新古代方法的道路 他的方法更具一般性 也适用于更广泛的超越曲线 费马是从方程出发来研究它的轨迹 而笛卡儿则从轨迹开始 建立它的方程 这正是解析几何中一个问题的正反两种提法 但各有侧重 前者是从代数 到几何 而后者是从几何到代数 从历史的发展看 后者更具有突破性 他是微积分学的先驱者之一 关于微积分方法的创立 i 牛顿 newton 曾经说过 我从费马的切线作法中得到了 这个方法的启示 我推广了它 把它直接地并且反过来应用于抽象的方程 对光学的研究特别是透镜的设计 促使费马探求曲线的切线 他在 1629 年就找到了 求切线的一种方法 但迟后八年发表在 1637 年的手稿 求最大值和最小值的方法 中 他 的方法要点如下 设 pt 是曲线在点 p 处的切线 图 2 tq 的长叫次切线 费马的方案是求出 pq 的长度 从而知道 t 的位置 最后就能作出 tp 设 qq1 是 tq 的增量 长度为 e 因为 tqp prt1 所以 tq pq e t1r 但是 费马说 t1r 和 p1r 的长度差不多 因此 tq pq e p1q1 qp 用现在的符号 若令 pq 为 f x 则有 tq f x e f x e f x 因此 3 费马对上式的处理是 用 e 除右端分式的分子和分母 然后令 e 0 他说是去掉 e 项 就得到 tq 这就是费马通过次切线 tq 求表达式 费马把韦达的代数理论应用到帕普斯 数学论题 mathema tical collection 中的 一个问题 便得到了求最大值最小值方法 他在 求最大值和最小值的方法 中曾用如下 的一个例子加以说明 已知一条直线 段 要求出它上面的一点 使被这点分成的两部分 线段组成的矩形最大 他把整个线段叫做 b 并设它的一部分为 a 那么矩形的面积就是 ab a2 然后他用 a e 代替 a 这时另外一部分就是 b a e 矩形的面积就成为 a e b a e 他把这两个面积等同起来 因为他认为 当取最大值时 这两个函数值 即两 个面积应该是相等的 所以 ab eb a2 2ae e2 ab a2 两边消去相同的项并用 e 除 便得到 b 2a e 然后令 e 0 他说去掉 e 项 得到 b 2a 因此这矩形是正方形 费马认为这个方法有普遍的适用性 他说 如果 a 是自变量 并且如果 a 增加到 a e 则当 e 变成无限小 且当函数经过一个极大值 或极小值 时 函数的前后两个值将 是相等的 把这两个值等同起来 用 e 除方程 然后使 e 消失 就可以从所得的方程 确 定使函数取最大值或最小值的 a 值 这个方法实质上是他用来求曲线切线的方法 但是求 切线时是基于两个三角形相似 而这里是基于两个函数值相等 遗憾的是 费马对于他的方法从来未从逻辑上作过清楚和全面的解释 因此对于他究 竟是怎样考虑这个问题的 一些数学史专家曾产生过争论 费马没有认识到有必要去说明 先引进非零 e 然后用 e 通除之后 令 e 0 的合理性 但从这里我们可以看出 费马这种求极值的方法已非常接近微分学的基本观念了 如 果用现代的记号他的规则可以表述如下 欲求 f x 费马先取个别的整有理函数 的极值 先把表达式 零 再求出方程的根 便是可能使 f x 具有极值的极值点 他的方法给出了 可微函数的 极值点 x 所能满足的必 要条件 f x 0 费马还有区分 x 为极大值点和极小值点的准则 即现在所谓的 二阶导 数准则 f x 0 有极大 f x 0 有极小 尽管他没能系统地去研究拐点 f x 0 但也得到了求拐点的一种法则 费马还用类似的方法 研究过求抛物体截段重心的问题 他的方法要点如下 设截段 的重心 o 和顶点的距离为 a 个单位 将截段的高度 h 减小 e 则重心的位置改变 费马由 一系列的引理 知道两个截段的重心与顶点的距离与其高成正比 而两截段体积与其高的 平方成正比例 通过对 o 取瞬 他能用这些事实列出包含 a h 和 e 的 虚拟等式 根 微 积分史上的重要性 在于它第一次采用相当于今天微分学中的方法 而不是像积分学中求 和的方法 求出了重心 费马早在 1636 年之前在计算抛物线 y xn n 为正整数 的面积时 以等距离的纵标把面 积分成窄长条 然后依据不等式 m 1 n 大约在 1644 年 他在横坐标做成几何级数的那些点上引出纵坐标 而把他自己的结果 推广到 n 为分数与负数的情形 同时那些近似于 ydx 的长条的面积组成容易求和的几何级 数 经过求极限即得费马的结果 这些 4 这样就指出了它与对数性质的关系 费马还得出了一个求半立方抛物线长度的方法 这个方法也是他的一般方法的典型说 明 展示出在他各个方面工作中的内在联系 对曲线上横坐标 oq a 纵坐标 pq b 的任一 点 次切线 tq c 可以用他的切线 纵坐标 p1q1 则线段 pp1 可用 a 和 e 来表达 对 但在 切线上 而且也在曲线上 所以曲线的长度可以视为 pp1 的线段的和 而这些线段的和又 可以作为在抛物线 之下的面积 由于这个面积已能求出 曲线的长度就可以求得 费马还用自己的方法处理了许多几何问题 例如 求球的内接圆锥的最大体积 球的 内接圆柱的最大面积等等 奇怪的是 费马在应用他的方法来确定切线 求函数的极大值极小值以及求面积 求 曲线长度等问题时 能在如此广泛的各种问题上从几何和分析的角度应用无穷小量 而竟 然没有看到这两类问题之间的基本联系 其实 只要费马对他的抛物线和双曲线求切线和 求面积的结果再加仔细地考察和思考 是有可能发现微积分的基本定理的 也就是说费马 差一点就成为微积分的真正发明者 以致 j l 拉格朗日 lagrange 说 我们可以认为 费马是这种新计算的第一个发明人 p s 拉普拉斯 laplace 和 j 傅里叶 fourier 也 有类似的评论 但 s d 泊松 poisson 持有异议 认为费马还没达到如此高的境界 因 为费马不但没有认识到求积运算是求切线运算的逆运算 并且费马终究未曾指出微分学的 基本概念 导数与微分 也未曾建立起微分学的算法 他之所以没有作进一步的考虑 可能是由于他以为自己的工作只是求几何问题的解 而不是统一的很有意义的一种推理过 程 在他看来 他的求最大值 最小值方法 切线方法以及求面积方法不过是解决这些具 体问题的特有方法 而不是新的分析学 但是他的思想和方法对后来微积分学的建立奠定 了重要的基础 他和帕斯卡共同对概率论进行了最早的科学探索 虽然 16 世纪概率论已有了某些萌芽 例如 h 卡尔达诺 cardano 曾经对机会对策中 产生的一些问题感到过兴趣 但首先试图把这些方法归纳和抽象成一种法则的 还应归功 于费马和帕斯卡 而激励他们俩人认真对待这项研究的起因 却来自一个赌博者的请求 1654 年法国骑士 c 梅累 m r 向帕斯卡提出了一个使他苦恼很久的问题 两个赌 徒相约赌若干局 谁先赢 s 局就算赢了 现在一个人赢 a a s 局 另一个人赢 b b s 局 赌博中止 问赌本应怎样分法才算合理 这个问题后来称为 赌点问题 当帕斯卡接到 这个问题后 立刻把它转告了费马 他们俩人都对这个问题得出了正确的答案 但所用的 方法不同 关于概率论的研究就是这样开始的 正如对概率论做出了卓越贡献的法国数学 家泊松后来所说 由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派教徒所提出的一个关于机会 游戏的问题乃是概率演算的起源 这个广有交游的人就是梅累 那位严肃的冉森派教徒就 是帕斯卡 当 c 惠更斯 huygens 到巴黎的时候 听说费马和帕斯卡在研究这个问题 他也进行 了研究 并写成了 论赌博中的计算 de ratiociniis in ludo aleoe 1657 一书 从 此概率论的研究引起了更多数学家的关注 特别是为了研究在实践中碰到的大量随机现象 的统计规律 就进一步推动了这一数学分支的发展 他开辟了近代数论 5 费马对解析几何 微积分和概率论的开创都做出了重要的贡献 但最能显示出他的才 华且对后人影响最大的 还是他在数论方面的工作 在他生命的最后 15 年里 他几乎把全 副精力放到了对数论的研究上 在费马以前 希腊人也曾研究过数的性质 我们可以从欧几里得 euclid 尼科马霍 斯 nachus 赛翁 theon 丢番图等人的著作中找到一些关于数的性质 的论述 但是很不系统 这门学科也曾强烈地吸引过印度人 但是直到费马仔细阅读了丢 番图的译本而把注意力转移到这方面之前 数论始终不曾有过重大的进展 费马认为数论 被忽视了 他曾抱怨说几乎没有什么人提出或懂得算术问题 并说 这是不是由于迄今 为止 人们都用几何观点而不用算术观点来处理算术的缘故 他认为甚至连丢番图也颇 受几何观点的束缚 他相信算术有它自己的特殊园地 整数论 费马对数论的研究是从阅读丢番图的著作 算术 arithme tica 一书开始的 这本 书曾被文艺复兴时代的数学家译成许多译本 他仔细阅读了由 m 巴歇 bachet 1621 年校 订的法文译本 费马对数论的大部分贡献都批注在这本书页的边缘和空白处以及写给朋友 的一些信件中 他主要研究了素数和整数的可除性问题并给出了从单个的基本解得到一般 形式的解的一些论断 费马在 1640 年 6 月致 m 梅森 mersenne 的一封信中提出了下述三个定理 1 若 n 是合成数 则 2n 1 是合成数 2 若 n 是素数 则 2n 2 可被 2n 除尽 3 若 n 是素数 则除了 2kn 1 这种形式的数之外 2n 1 不能被其他素数除尽 费马宣称 这三个定理是他关于数的性质的研究基础 费马对数论还提出了下列一些重要定理 4 费马断言没有一个形如 4n 3 的素数能表达为两个平方数之和 5 费马在他的丢番图书页上的侧记中以及在写给梅森的一封信中 推广了著名的直角 三角形的 3 4 5 关系 指出了如下一些定理 形如 4n 1 的一个素数能够而且只能作为 一个直角边为整数的直角三角形的斜边 4n 1 的平方是两个而且只有两个这种直角三角 形的斜边 它的立方是三个而且只有三个这种直角三角形的斜边 它的四次方是四个而且 只有四个这种直角三角形的斜边 如此等等 乃至无穷 他在给梅森的信中还说 形如 4n 1 的素数和它的平方都只能以一种方式表达为两个 平方数之和 它的三次方和四次方都能以两种方式表达为两个平方数之和 它的五次方和 六次方都能以三种方式表达为两个平方数之和 如此等等 乃至无穷 他在信中接着说 若等于两个平方数之和的一个素数乘以另一个也是这样的素数 则其乘积将能以两种方式 表达为两个平方数之和 若第一个素数乘以第二个素数的平方 则乘积将能以三种方式表 达为两个平方数之和 若乘以第二个素数的立方 则乘积将能以四种方式表达为两个平方 数之和 如此等等 乃至无穷 6 费马给出了关于将素数表达为 x2 2y2 x2 3y2 x2 5y2 x2 2y2 以及其他这种形 式的许多定理 它们都是关于素数表达为平方和的推广 并指出一个奇素数能且只能以一 种方式表为两个平方数之差 7 费马在 1640 年 10 月 18 日写给 b f 德贝西 de bessy 的一封信中给出了下述定 理 若 p 是个素数而 a 与 p 互素 则 ap a 能为 p 整除 后人称这个定理为费马小定理 8 费马也研究过多边形数 他在那本丢番图的书的空白处写下了这样一个定理 每个 正整数或者本身是一个三角形数 或者是两个或三个三角形数之和 每个正整数或者本身 是个正方形数 或者是 2 3 或 4 个正方形数之和 每个正整数或者本身是个五边形数 或 6 者是 2 3 4 或 5 个五边形数之和 以及对较高的多边形数的类似关系 9 费马在 1636 年重新发现了 q 泰比特 t bitibn 第一个提出的法则 给出了第二 对亲和数 17 926 及 18 416 第一对亲和数 220 及 284 是毕达哥拉斯 pythagoras 给出的 10 费马重新发现了求解 x2 ay2 1 的问题 其中 a 是整数但非平方数 他在 1657 年 2 月写给德贝西的一封信中提出一个定理 x2 ay2 1 在 a 是正数而非完全平方时有无穷多 个解 费马还指出 对于给定的 a 和 b x2 ay2 b 在什么情况下可解 并能把它解出来 费马对上述这些定理都没有给出证明 有的也只是略述大意 补充这些定理的证明曾 强烈的吸引着 18 世纪许多数学家 费马在数论中还提出过其他一些定理 他提出的所有定理 除了下述两个定理以外 都已被后来的人证明是正确的 这两个定理是 i 费马 1640 年在一封信中说 形如 22n 1 n 0 1 2 的数都是素数 他自己验 证了当 n 0 1 2 3 4 时 22n 1 确实都是素数 但他承认他还不能给出普遍的证 明 后来 l 欧拉 euler 证明了当 n 5 时 即 22 1 不是素数 而且 直到今天再没有发 现其他 22n 1 型的素数 从而说明费马这个猜想是错误的 ii 费马于 1637 年左右 他在巴歇校订的丢番图的 算术 第二卷第八命题 将 一个平方数分为两个平方数 的旁边写道 相反 要将一个立方数分为两个立方数 一 个四次幂分为两个四次幂 一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂 都是不可能的 对此 我确信已发现一种美妙的证法 可惜这里空白的地方太小写不下 这就是数学史上 著名的费马大定理或称费马最后定理 这个定理可用现代的术语简述如下 不可能有满足 xn yn zn xyz 0 n 2 的整数 x y z n 存在 费马逝世后 人们一直未找到他对这个定理的证明 于是激起了许多数学家试图证明 这个定理 例如 欧拉 a m 勒让德 legendrd c f 高斯 gauss n h 阿贝尔 abel p g l 狄利克雷 dirichlet g 拉梅 lame a l 柯西 cauchy e e 库默尔 kummer 等著名数学家都试证过 并得到了部分结果 但都没有得到普遍的 证明 为此 布鲁塞尔科学院 巴黎科学院曾设奖金悬赏征集这个问题的证明 也没得到 结果 1908 年 数学家 f 沃尔夫斯克尔 wolfskehl 在格丁根皇家科学会悬赏十万马克 赠给最先证明这个定理的人 尽管许多迹象都说明费马最后定理可能是成立的 但至今依 然没有得到完全的证明 因此 费马是否真对这一问题作出正确的证明 也许将永远是个 谜 不过从他提出的许多定理的绝大多数都被后来的人证明是正确的这一事实来看 费马 确实具有一种直观的天才和非凡的洞察力 1879 年 在莱顿图书馆惠更斯的手稿中发现一篇论文 其中介绍了由费马首创和应用 的 无穷下推法 the method of infinitedescent 在 1659 年 费马曾将这个方法的 梗概写信告诉过他的朋友 p 卡尔卡维 carcavi 为了描述这个方法 我们先来考察费马 在 1640 年 12 月 25 日给梅森的信中所提出的一个定理 每一个形如 4n 1 的素数 能唯一 的分解为两个平方数之和 例如 17 42 1 29 52 22 应用这个方法时 先假设形如 4n 1 的素数并不具有所述性质 我们要证明形如 4n 1 的一个较小素数也不具有所述性质 由 于 n 是任意的 所以还必需有一个更小的 这样通过 n 的整数值往下递推 就必定能推到 n 1 从而推到素数 4 1 1 5 也不该具有所述性质 但素数 5 是能唯一分解为两个平方数 的和的 这就和假定相矛盾 因而每一个形如 4n 1 的素数都能唯一分解为两个平方数之 和 费马还说他用 无穷下推法 证明了下述定理 边长为有理数的直角三角形的面积不 可能是一个平方数 这个概括的证明是他唯一详细写出的证明 而且是作为 x4 y4 z4 不 可能有整数解的一个推论得出的 他还声称他用 无穷下推法 证明了上述命题 8 和命题 7 10 但后人一直未找到他是怎样具体用 无穷下推法 证明的细节 不过他提出的上述一 些命题却被欧拉 拉格朗日 柯西等用他首创的 无穷下推法 或其他方法证明确实是正 确的 费马在数论中提出的命题 都以极大的魅力吸引了许多后来的数学家去研究它们 从 而推动了 19 世纪数论理论的发展和数论研究方法的产生 例如 库默尔在企图证明费马最 后定理时 就创立了理想数论 另外费马的成果对现代代数学基本概念的明确阐述也起到 了推动作用 他对光学做出了重要贡献 费马同他那个世纪的其他数学家一样 他研究过许多科学问题 特别对光学做出过重 要贡献 费马在 1637 年看到笛卡儿的 折光 la dioptrique 中给出的折射定律 其中 v1 是光线在第一介质中的速度 v2 是光进入第二介质的速度 图 4 他对这个定 律及其证明方法都持怀疑和反对的态度 并曾引起他们俩人之间长达十年之久的争论 但 后来费马发现反射时光线取需时最少的路径 而且相信自然确实是按简单而又经济的方式 行动的 在 1657 年和 1662 年的信件中 他确认了他的最小时间原理 光线永远取花时 间最少的路径行进 当他在