湖北省武汉市2012届高三数学四月适应性调研测试试题 理

1 武汉市武汉市 20122012 届高三届高三 4 4 月调研测试月调研测试 数数 学 理科 学 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 如图 在正方形ABCD中 点E为CD的中点 点F为BC上靠近点B的一个三等分点 则 EF A B 1 2 AB 1 3 AD 2 3 AB 1 2 AD C D 1 3 AB 1 2 AD 1 2 AB 2 3 AD 2 复数 a R R i 为虚数单位 在复平面内对应的点位于第二象限 是 a 1 a i 2 i 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 天气预报说 在今后的三天中 每一天下雨的概率均为 40 现采用随机模拟试验的方 法估计这三天中恰有两天下雨的概率 先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数 用 1 2 3 4 表示下雨 用 5 6 7 8 9 0 表示不下雨 再以每三个随机数作为一 组 代表这三天的下雨情况 经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计 这三天中恰有两天下雨的概率近似为 A 0 35 B 0 25 C 0 20 D 0 15 4 一个体积为 12的正三棱柱的三视图如图所示 则该三棱柱的侧视图的面积为 3 A 6 3 B 8 C 8 3 D 12 5 已知 3 n的展开式中各项系数之和为 256 则展开式中第 7 项的系数是 3 x2 A 24 B 24 C 252 D 252 2 6 执行如图所示的程序框图 若输出的结果是 9 则判断框内m的取值范围是 A 42 56 B 56 72 C 72 90 D 42 90 7 如图 设D是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域 E是D内位于函数y x 0 图象 1 x 下方的区域 阴影部分 从D内随机取一个点M 则点M取自E内的概率为 A ln2 2 B 1 ln2 2 C 1 ln2 2 D 2 ln2 2 8 已知直线l Ax By C 0 A B不全为 0 两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 若 Ax1 By1 C Ax2 By2 C 0 且 Ax1 By1 C Ax2 By2 C 则直线l A 与直线P1P2不相交 B 与线段P2P1的延长线相交 C 与线段P1P2的延长线相交 D 与线段P1P2相交 9 抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 点A B在此抛物线上 且 AFB 90 弦AB的 中点M在其准线上的射影为M 则的最大值为 MM AB A B C 1 D 3 10 已知函数f x Error Error 则下列关于函数y f f x 1 的零点个数的判断正确的是 A 当a 0 时 有 4 个零点 当a 0 时 有 1 个零点 B 当a 0 时 有 3 个零点 当a 0 时 有 2 个零点 C 无论a为何值 均有 2 个零点 D 无论a为何值 均有 4 个零点 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 考生共需作答小题 考生共需作答 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 请将答案填分 请将答案填 在答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 在答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 一 必考题 11 14 题 11 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据 单位 百万元 x24568 3 y304060t70 根据上表提供的数据 求出y关于x的线性回归方程为 6 5x 17 5 则表中t的值 y 为 12 已知 点A在角 的终边上 且 OA 4cos 则点A的纵坐标y的 12 3 8 取值范围是 13 已知球的直径SC 4 A B是该球球面上的两点 AB 2 ASC BSC 45 则棱 锥S ABC的体积为 14 在平面直角坐标系xOy中 已知三点A a b B b c C c a 且直线AB的 倾斜角与AC的倾斜角互补 则直线AB的斜率为 结果中不含字母a b c 二 选考题 请考生在第 15 16 两题中任选一题作答 请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑 如果全选 则按第 15 题作答结果计分 15 选修 4 1 几何证明选讲 如图 P为圆O外一点 由P引圆O的切线PA与圆O切于A点 引圆O的割线PB与圆O交于C点 已知AB AC PA 2 PC 1 则圆的面积为 O 16 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系下 已知直线l的方程为 cos 则点M 1 到直线l的 3 1 2 2 距离为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 已知B 60 若 cos B C 求 cosC的值 11 14 若a 5 5 求 ABC的面积 AC CB 18 本小题满分 12 分 在等差数列 an 中 满足 3a5 5a8 Sn是数列 an 的前n项和 若a1 0 当Sn取得最大值时 求n的值 若a1 46 记bn 求bn的最小值 Sn an n 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD为平行四边形 ADB 90 AB 2AD 证明 PA BD 若PD AD 求二面角A PB C的余弦值 20 本小题满分 12 分 4 为增强市民节能环保意识 某市面向全市征召义务宣传志愿者 现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者 他们的年龄情况如下表所示 频率分布表中的 位置应填什么数据 并在答题卡中补全频率分布直方图 如图 再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 30 35 岁的人数 在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣 传活动 从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人 记这 2 名志愿者中 年龄低于 30 岁 的人数为X 求X的分布列及数学期望 21 本小题满分 13 分 如图 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分 x2 a2 y2 b2 别是F1 c 0 F2 c 0 Q是椭圆外的一个动点 满足 2a 点P是线段F1Q与该椭圆的交点 点M在线段F2Q上 F1Q 且满足 0 0 PM MF2 MF2 求点M的轨迹C的方程 设不过原点O的直线l与轨迹C交于A B两点 若直线OA AB OB的斜率依 次成等比数列 求 OAB面积的取值范围 由 求解的结果 试对椭圆 写出类似的命题 只需写出类似的命题 不必说明理由 22 本小题满分 14 分 已知函数f x ln 1 x ax在x 处的切线的斜率为 1 1 2 求a的值及f x 的最大值 证明 1 ln n 1 n N N 1 2 1 3 1 n 设g x b ex x 若f x g x 恒成立 求实数b的取值范围 分组 单位 岁 频数频率 20 25 50 05 25 30 0 20 30 35 35 35 40 300 30 40 45 100 10 合计 1001 00 5 武汉市武汉市 20122012 届高三届高三 4 4 月调研测试月调研测试 数学 理科 试题参考答案及评分标准数学 理科 试题参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 5 分 满分 50 分 1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 B 9 A 10 A 二 填空题 每小题 5 分 满分 25 分 11 50 12 1 2 13 14 15 16 9 4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 17 本小题满分 12 分 解 在 ABC中 由 cos B C 得 11 14 sin B C 1 cos2 B C cosC cos B C B cos B C cosB sin B C sinB 6 11 14 1 2 1 7 分 由 5 得 cos 180 C 5 即abcosC 5 AC CB AC CB 又a 5 bcosC 1 由正弦定理 得 a sinA b sinB a sin 120 C b sin60 即bcosC bsinC 5 33 将 代入 得bsinC 6 3 故 ABC的面积为S absinC 5 6 15 12 1 2 1 233 分 18 本小题满分 12 分 解 设 an 的公差为d 则 由 3a5 5a8 得 3 a1 4d 5 a1 7d d a1 2 23 Sn na1 a1 a1n2 a1n a1 n 12 2 a1 n n 1 2 2 23 1 23 24 23 1 23 144 23 6 a1 0 当n 12 时 Sn取得最大值 6 分 由 及a1 46 得d 46 4 2 23 an 46 n 1 4 4n 50 Sn 46n 4 2n2 48n n n 1 2 bn 2n 52 2 52 32 Sn an n 2n2 52n 50 n 50 n 当且仅当 2n 即n 5 时 等号成立 50 n 故bn的最小值为 32 12 分 19 本小题满分 12 分 解 由 ADB 90 可得BD AD 因为PD 底面ABCD 所以PD BD 又PD AD D 所以BD 平面PAD 因为PA 平面PAD 所以BD PA 4 分 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 设AD a 则 A a 0 0 B 0 a 0 C a a 0 P 0 0 a 33 a a 0 a 0 0 AB 3 BC a 0 a a a a AP PC 3 设平面PAB的法向量为n n x y z 所以可得 设y 则x z 3 3 可得n n 3 3 3 同理 可求得平面PBC的一个法向量为 m m 0 1 3 所以 cos m m n n m m n n m m n n 由图形知 二面角A PB C为钝角 因此二面角A PB C的余弦值是 12 分 20 本小题满分 12 分 解 处填 20 处填 0 35 补全频率分布直方图如图所示 7 根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 30 35 的人数为 500 0 35 175 4 分 用分层抽样的方法 从中选取 20 人 则其中 年龄低于 30 岁 的有 5 人 年龄不低于 30 岁 的有 15 人 由题意知 X的可能取值为 0 1 2 且 P X 0 P X 1 P X 2 21 38 15 38 2 38 1 19 X的分布列为 X012 P 21 38 15 38 1 19 E X 0 1 2 12 分 21 38 15 38 2 38 1 2 21 本小题满分 13 分 解 设M x y 为轨迹C上的任意一点 当 0 时 点 a 0 和点 a 0 在轨迹C上 PM 当 0 且 0 时 由 0 得 PM MF2 PM MF2 PM MF2 又 如图 所以M为线段F2Q的中点 PQ PF2 在 QF1F2中 a 所以有x2 y2 a2 OM 1 2 F1Q 综上所述 点M的轨迹C的方程是x2 y2 a2 4 分 由题意可知 直线l的斜率存在且不为 0 故可设直线l的方程为y kx m m 0 A x1 y1 B x2 y2 由Error Error 消去y并整理 得 1 k2 x2 2kmx m2 a2 0 则 4k2m2 4 1 k2 m2 a2 4 k2a2 a2 m2 0 8 且x1 x2 x1x2 2km 1 k2 m2 a2 1 k2 y1 y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 直线OA AB OB的斜率依次成等比数列 k2 y1 x1 y2 x2 k2x1x2 km x1 x2 m2 x1x2 即 m2 0 又m 0 2k2m2 1 k2 k2 1 即k 1 设点O到直线l的距离为d 则d S OAB AB d x1 x2 1 2 1 21 k2 x1 x2 m 1 2 1 2m2 2a2 m2 由直线OA OB的斜率存在 且 0 得 0 m2 2a2且m2 a2 0 a2 m2 2a2 m2 m2 2a2 m2 2 故 OAB面积的取值范围为 0 a2 10 分 1 2 对椭圆 而言 有如下类似的命题 设不过原点O的直线l与椭圆 交于 A B两点 若直线OA AB OB的斜率依次成等比数列 则 OAB面积的取值 范围为 0 ab 13 1 2 分 22 本小题满分 14 分 解 函数f x 的定义域为 1 求导数 得f x a 1 1 x 由已知 得f 1 即 a 1 a 1 1 2 此时f x ln 1 x x f x 1 1 1 x x 1 x 当 1 x 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 取得极大值 该极大值即为最大值 f x max f 0 0 4 分 法 一 由 得 ln 1 x x 0 即 ln 1 x x 当且仅当x 0 时 等号成立 令x k N N 则 ln 1 即 ln 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k ln k 1 ln