广东省深圳市普通高中2020届高三数学下学期线上统一测试试题 文 参考答案.pdf

深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 1 页 共11页 绝密 启用前 试卷类型 a 2020 年深圳市普通高中高三年级线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准 一 选择题 1 b 2 a 3 d 4 b 5 d 6 c 7 b 8 b 9 c 10 b 11 b 12 b 二 填空题 13 7 9 14 4 3 15 4 16 4 1 5 12 解析 设 f xx f x 则 f x 1 x xfxf xx e 因此 0 1 x 0f x f x递增 1 x 0f x f x递减 因为当0 x 时 0 0f 且有 2 0f 所以由 f xx f x 图象可知 当 0 2 x 时 0f xxf x 此时 0f x 16 解析 为使 211 3ffafpa 恒成立 只需 21 3ff max1 afpa 由椭圆的定义可得 aafaf2 21 所以apfaafpaafpa22 221 当且仅当afp 2 三点共线时取等号 2 f 在线段pa上 又点p的轨迹是以o为圆心 半径为a2的圆 所以圆上点p到圆内点 2 f的最大距离为 半径与 2 of的和 即capf 2 2 所以 apfafpa2 21 caaca 422 所以cac 46 ac45 5 4 a c e 又1 e 所以c的离心率的取值范围为 1 5 4 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 2 页 共11页 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 2 1 题 为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 已知数列 1 4a 1 1 4 1 nn nanan n n 1 求数列 n a的通项公式 2 若 1 1 n nn b aa 求数列 n b前n项和为 n t 解 解 1 由 1 1 4 1 nn nanan n n可得 21 28aa 1 分 32 3212aa 43 4316aa 1 1 4 nn nanan 2 n 2 分 累加得 1 8 12 4 n naan 3 分 所以 4 4 4 8 12 4 2 n n n nan 4 分 得 22 2 n ann 5 分 由于 1 4a 所以 22 n ann n 6 分 2 1 11111 22 24 2 2224 n nn b aannnn 9 分 11111111 11 2466822242 424 n t nnn 816 n n 12 分 命题意图 本题主要考查已知递推公式用累加法求通项 注重思维的完整性和严密性 另外考查裂项相消法求数列的前n项和 重点考查等价转换思想 体现了数学运算 逻辑推 理等核心素养 18 本小题满分 12 分 某公司为了对某种商品进行合理定价 需了解该商品的月销售量y 单位 万件 与月 销售单价x 单位 元 件 之间的关系 对近6个月的月销售量 i y和月销售单价 i x 1 2 3 6 i 数据进行了统计分析 得到一组检测数据如表所示 n a 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 3 页 共11页 月销售单价x 元 件 4 5 6 7 8 9 月销售量y 万件 89 83 82 79 74 67 1 若用线性回归模型拟合y与x之间的关系 现有甲 乙 丙三位实习员工求得回 归直线方程分别为 4105yx 453yx 和1043 xy 其中有且仅有一位实习 员工的计算结果是正确的 请结合统计学的相关知识 判断哪位实习员工的计算结果是正确 的 并说明理由 2 若 用cbxaxy 2 模 型 拟 合 y 与x之 间 的 关 系 可 得 回 归 方 程 为 25 90875 0375 0 2 xxy 经计算该模型和 1 中正确的线性回归模型的相关指数 2 r 分 别 为9702 0和9524 0 请 用 2 r 说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好 3 已知该商品的月销售额为z 单位 万元 利用 2 中的结果回答问题 当月 销售单价为何值时 商品的月销售额预报值最大 精确到01 0 参考数据 91 806547 解 解 1 已知变量x y具有线性负相关关系 故乙不对 因为5 6 6 987654 x 79 6 677479828389 y 代入甲和丙的回归方程验证甲正确 4 分 2 因为9524 09702 0 且 2 r 越大 残差平方和越小 模拟的拟合效果越好 所以选用25 90875 0375 0 2 xxy更好 言之有理即可得分 7 分 3 由题意可知 xxxyxz25 90875 0375 0 23 8 分 即xxxz 4 361 8 7 8 3 23 则 4 361 4 7 8 9 2 xxz 9 分 令0 z 则 9 76547 x 舍去 或 9 76547 x 10 分 令 9 76547 0 x 当 0 0 xx 时 z单调递增 当 0 xx时z单调递减 所以当 0 xx 时 商品的月销售额预报值最大 11 分 因为91 806547 所以77 9 x 所以当77 9 x时 商品的月销售额预报值最大 12 分 19 本小题满分 12 分 如图 四边形abcd为长方形 24abbc e f分别为ab cd的中点 将adf 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 4 页 共11页 沿af折到adf 的位置 将bce 沿ce折到bce 的位置 使得平面adf 底面 aecf 平面bce 底面aecf 连接b d 1 求证 b d 平面aecf 2 求三棱锥 b adf 的体积 解 解 1 证明 作dm af于点m 作b n ec于点n 1 分 2addf 2bcbe 90adfcbe m n为af ce中点 且dm 2bn 2 分 平面adf 底面aecf 平面adf 底面aecf af dm af dm 平面adf dm 底面aecf 3 分 同理 b n 底面aecf 4 分 dm b n 四边形dbnm 为平行四边形 bdmn 5 分 bd 平面aecf mn 平面aecf b d 平面aecf 6 分 2 设点 b 到平面adf 的距离为h 连接nf 7 分 dm b n dm 平面adf b n 平面adf b n 平面adf 8 分 故点 b 到平面adf 的距离与点n到平面adf 的距离相等 8 分 n为ce中点 2efce nfce 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 5 页 共11页 afce nfaf 9 分 平面adf 底面aecf 平面adf 底面aecf af nf 底面aecf nf 平面adf 10 分 点n到平面adf 的距离为 2nf 点 b 到平面adf 的距离2h 11 分 1 2 22 2 ad f s 三棱锥 b adf 的体积 112 2 22 333 bad fad f vsh 12 分 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系xoy中 过点 0 2 f 的动圆恒与y轴相切 fp为该圆的直径 设点p 的轨迹为曲线c 1 求曲线c的方程 2 过点 4 2 a 的任意直线l与曲线c交于点m b为am的中点 过点b作x轴的 平行线交曲线c于点d b关于点d的对称点为n 除m以外 直线mn与c是否有其它 公共点 说明理由 解析 1 如图 过p作y轴的垂线 交y轴于点h 交直线2 x于点 1 p 1 分 设动圆圆心为e 半径为r 则e到y轴的距离为r 在梯形ofph中 由中位线性 质得 22 rph 2 分 所以rrpp2222 1 又rpf2 所以 1 pppf 3 分 由抛物线的定义知 点p是以 0 2 f 为焦点 直线2 x为 准线的抛物线 所以曲线c的方程为xy8 2 4 分 2 由 4 2 a 得 a在曲线c上 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 6 页 共11页 i 当l的斜率存在时 设 2 111 xyxm 则 1 2 1 8xy am的中点 2 4 2 2 11 yx b 即 2 2 1 2 11 yx b 5 分 在方程xy8 2 中令2 2 1 y y得 21 2 2 8 1 y x 所以 2 2 2 2 8 1 121 yy d 6 分 设 22 yxn 由中点坐标公式 2 2 2 2 4 1 121 2 xy x 又 1 2 1 8xy 代入化简得 2 1 2 y x 所以 2 2 2 11 yy n 7 分 直线mn的斜率为 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 28 2 2 2 2 2 yyy y y x y y 直线mn的方程为 11 1 4 yxx y y 将 8 2 1 1 y x 代入 式化简得 2 4 1 1 y x y y 8 分 将 8 2 y x 代入 式并整理得02 2 11 2 yyyy 式判别式04 2 2 1 2 1 yy 9 分 所以直线mn与抛物线c相切 所以除m以外 直线mn与c没有其它公共点 10 分 ii 当l的斜率不存在时 4 2 m 0 2 b 0 0 d 0 2 n 直线mn方程为 2 xy 代入xy8 2 得044 2 xx 11 分 上式方程判别式0 除m以外 直线mn与c没有其它公共点 综上 除m以外 直线mn与c没有其它公共点 12 分 命题意图 本题以直线与圆 直线与抛物线为载体 利用直线与圆的位置关系等知识 导出抛物线的方程 借助几何关系 利用方程思想解决问题 主要考察抛物线的定义 直线 与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识 考查学生的直观想象 逻辑推理 数学运算等 数学核心素养及思辨能力 21 本小题满分 12 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 7 页 共11页 已知函数 2 1 ln11 f xxxaxa x 1 当1a 时 判断函数的单调性 2 讨论 f x零点的个数 解 解 1 因为1a 所以 2 1 ln211 ln1f xxxxxxxx 又 1 ln23fxxx x 设 1 ln23h xxx x 2 分 又 22 21 111 2 xx h x xxx 所以 h x在 0 1为单调递增 在 1 为单调递减 3 分 所以 h x的最大值为 10h 所以 0fx 所以 f x在 0 单调递减 4 分 2 因为 1 ln1f xxxax 所以1x 是 f x一个零点 设 ln1g xxax 所以 f x的零点个数等价于 g x中不等于1的零点个数再加上1 5 分 i 当1a 时 由 1 可知 f x单调递减 又1x 是 f x零点 所以此时 f x 有且只有一个零点 6 分 ii 当0a 时 g x单调递增 又 10 g 2 2131 ln11 11 xaxax g xxaxax xx 01x 又 22 31431411axaxaxaxaxx 所以 1 0 4 g a 综上可知 g x在 0 有一个零点且 10g 所以此时 f x 有两个零点 8 分 iii 又 1ax gx x 所以当10a 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 8 页 共11页 g x在 1 0 a 单调递增 在 1 a 单调递减 g x的最大值为 11 ln0g aa 又 2121 110 11 xx g xax xx 1 0 3 g 又 1 0 a g ee 所以 g x在 1 0 a 有一个零点 在 1 a 也有一个零点且 10g 所以此时 f x共有 3 个零点 10 分 iv 又 1ax gx x 所以当1a 时 g x在 1 0 a 单调递增 在 1 a 单调递减 g x的最大值为 11 ln0g aa 所以 g x没有零点 此时 f x共有1个 零点 综上所述 当1a 时 f x共有 1 个零点 当10a 时 f x共有 3 个零点 当0a 时 f x有两个零点 12 分 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 两题中任选一题作答 注意 只能做所选定 的题目 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请用 2b 铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中 直线 1 c的参数方程为 sin cos32 ty tx t为参数 为倾斜 角 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 c的极坐标方程为 sin4 1 求 2 c的直角坐标方程 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 9 页 共11页 2 直线 1 c与 2 c相交于fe 两个不同的点 点p的极坐标为 2 3 若 pfpeef 2 求直线 1 c的普通方程 解 1 由题意得 2 c的极坐标方程为 sin4 所以 sin4 2 1 分 又 sin cos yx 2 分 代入上式化简可得 04 22 yyx 3 分 所以 2 c的直角坐标方程4 2 22 yx 4 分 2 易得点p的直角坐标为 0 32 将 sin cos32 ty tx 代入 2 c的直角坐标方程 可得 012 sin4cos34 2 tt 5 分 22 4 3cos4sin 48 8sin 480 3 解得 3 sin 32 或 3 sin 32 不难知道 必为锐角 故 3 sin 32 所以 2 333 即 0 3 6 分 设这个方程的两个实数根分别为 1 t 2 t 则 sin4cos34 21 tt 12 21 tt 7 分 所以 1 t与 2 t同号 由参数t的几何意义可得 1212 8 sin 3 pepftttt 22 12121 2 44 4sin 3 3 efttttt t 8 分 所以 2 2 4 4sin 38 sin 33 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 文科 参考答案第 10 页 共11页 两边平方化简并解得 sin 1 3 所以 2 6 k k z 因为 0 3 所以 6 9 分 所以直线 1 c的参数方程为 2 1 2 3 32 ty tx 消去参数t 可得直线 1 c的普通方程为0323 yx 10 分 命题意图 本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线参数方程中 参数的几何意义和