山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答

习题六 1 设总体 从中抽取容量为 25 的一个样本 求样本方差小于 9 1 的概率 X 6 N 2 S 解 由 于是 X 6 N 2 2 1 Sn 1 2 n 2 222 25 19 1 1 9 12436 412436 4 66 nS P SPpp 1 0 050 95 2 设是取自正态总体的样本 试求 1210 XXX 2 0 0 3 N 10 2 1 1 44 i i PX 解 由 于是 2 1 2 n i i Xu 2 n 10 2 10 22 1 22 1 1 44 1 4410160 1 0 30 3 i i i i X PXPP 3 设总体 是取自总体的一个样本 为样本均值 试问样本容 X 4 N a n XXX 21 XX 量分别为多大时 才能使以下各式成立 n 2 10 1 20 1 3 1 0 95 EXaEXaP Xa 解 1 因为 所以 从而 于是 X 4 N a n4 Xa n 0 1 N 2 4 Xa n 2 1 2 2 4 1 0 1 40 4 Xa EE Xan n n 所以 2 因为 4 Xa n 0 1 N所以 222 2 222 00 1222 242222 xxx Xa x Exedxxedxed n 所以从而 242 2 0 1 2 EXa nn 800 254 7 255 nn 故 3 因为 111 1210 95 244444 Xa Xan P XaPP nnnnn 所以 0 975 1 96 0 9751 9615 37 16 22 nn nn 而 从而 故 4 已知总体 为未知 总体 的一个样本 分别为样本 X 10 2 N 1234 XXXXX 2 XS 均值和样本方差 1 构造一个关于 的统计量 使得 XY 3 tY 2 设 求使的 92 1 s 10 0 95PX 解 1 2 2 22 22 1103 0 1 1 3 2 nSXS Nn 2 2 10 210 2 3 3 3 X X Yt S S 2 2 210 22 10 1210 95 S X PXPtn SSS 所以 2 2 10 025 4 3 1824 1 92 3 0551 S tnnS S 5 为了估计总体均值 抽取足够大的样本 以 95 的概率使样本均值偏离总体均值不超过总 体标准差的 25 试求样本容量 解 0 250 25 444 XuXu nnXun P XuPPP nn 2195 0 975 1 96 61 4656 62 444 nnn nn 所以所以样本容量 6 从总体 中抽取容量为 5 的样本 试求 X 2 12 2 N 521 XXX 1 样本的极小值小于 10 的概率 2 样本的极大值大于 15 的概率 解 1 125125 min 101min 10PXXXPXXX 55 11 1210 12 11011 22 i i ii X P XP 5 1 1110 5785 i 2 125125 max 151max 15PXXXPXXX 55 5 11 1215 12 111 510 93320 2923 22 i ii X P 7 从两个正态总体中分别抽取容量为 25 和 20 的两个独立样本 算得样本方差依次为 若两总体方差相等 求随机抽取的两个样本的样本方差之比大于的 2 1 62 7S 2 2 25 6S 2 2 2 1 S S 6 25 7 62 概率是多少 解 所以 222 121 12 222 122 1 124 19 SSS F nnF S 22 11 22 22 62 7 2 450 025 25 6 SS PP SS 8 设是总体的一个样本 样本方差 n XXX 21 2 NX 证明 1 1 2 1 2 n i i XX n S 1 2 4 2 n SD 证 因为 而 1 1 2 2 2 n Sn 1 2 1 2 nnD 所以 1 2 1 2 1 1 1 4 2 4 2 22 2 n n n Sn n DSD 9 设分别是取自正态总体的容量均为的相互独立的两个样本的样本均值 1 2 XX 2 Nn 试确定 使得两个样本均值之差超过的概率大于 n 01 0 解 22 12 12 0 1 2 XX XN uXN uN nn n 1212 12 1220 01 22222 XXXX nnn P XXPP nn 0 995 2 575 13 22 nn n 10 设总体 为总体的一个样本 分别为样本均值和样本方差 X n XXX 21 XX 2 S 试求 1 的分布律 12 n XXX 2 2 E XD XE S 解 1 因为 所以 ix ii i e P Xx x 1 11 1 2 n i i x nn nnii i in e P XxXxP Xx x xx 2 1 2 ii E XD Xin 所以 2 11 111 nn ii ii E XEXD XDX nnn 2 22 2222 111 111 111 nnn iii iii E SEXXEXnXEXnX nnn 22 11 1 nn nn 11 从总体 中抽取容量为的样本 如要求其样本均值位于区间内的概率 6 4 3 2 Nn 4 5 4 1 不小于 问样本容量至少应取多大 95 0 n 解 363 4 3 4 0 1 6 X XNN nn 3 4 1 45 4210 95 3336 nXnn PXP n 0 975 35 3 n n 12 设样本观察值的平均值为 样本方差为 作变换n xxx 21 x 2 x S c ax y i i 得的样本平均值为 样本方差为 试证 n yyy 21 y 2 y S 222 xy xacy Sc S 证 1 1 n i i xx n 1111 111111 nnnn i iii iiii xaa yyxaxnax nnccncncncc 所以 xacy 2 2 2 22 11 11 11 nn xii ii Sxnxacyn acy nn 2 22222 1 1 22 1 n ii i aacyc yn aacyc y n 2 222 11 1 22 1 nn ii ii cyacynacync y n 2 2 222 1 1 n iy i c ynyc S n 13 设是来自正态总体的一个样本 试求随机变量的数学期 n XXX 21 2 N n i i XX 1 2 望和方差 解 因为所以 2 ii E Xu D X 222 i E Xu 所以 2 E Xu D X n 2 2 2 E Xu n 22 222 111 nnn iii iii EXXEXnXE XnE X 2 2222 1 n un un n 令由得 2 1 n i i YXX 22 1 1 1 n i i SXX n 2 1 YnS 由定理 2 得 2 2 22 1 1 nSY n 所以即 24 21 D YY Dn 4 21 D Yn 14 设来自正态总体的一个样本 521 XXX 1 0 N 1 试求常数 使得 服从分布 并且指出它的自由度 BA 2 543 2 21 XXXBXXA 2 2 试求常数 使得 服从分布 并且指出它的自由度 m n 222 12345 m XXn XXX F 解 1 因为 所以由 分布的定义知 0 1 i XN 34512 0 1 0 1 23 XXXXX NN 2 22 2 34512 2 23 XXXXX 故 11 2 23 ABn 自由度 2 因为由分布的定义知 222 12 2 XX F 22 2 12 345 2 1 23 XX XXX F 故 12 11 2 1 23 mBnn 自由度 15 设是总体的样本均值 试证当时 达到最小 XXXc n i i cX 1 2 证 22 22222 11111 22 nnnnn iiiii iiiii XcXcXncXnXnXcXnc 222 11 nn ii ii XXn XcXX 故当时 达到最小 Xc n i i