初中数学 数学名师 刘维尔

1 刘维尔刘维尔 刘维尔 j liouville joseph 1809 年 3 月 24 日生于法国加来海峡省圣奥梅尔 1882 年 9 月 8 日卒于巴黎 数学 刘维尔的父亲克劳德 约瑟夫 刘维尔 claud joseph liou ville 是一位陆军上尉 母亲名叫泰雷兹 巴朗 th r se bal land 刘维尔是他们的次子 幼时先后就学于科梅 西和土尔 1825 年他来到巴黎综合工科学校学习 a m 安培 amp re 担任分析与力学课 的老师 两人曾共同探讨电动力学问题 他于 1827 年 11 月转入桥梁与公路学校 1831 年 获学士学位 毕业后不久 他辞去了在伊泽尔省的工程师职务 期望得到一份教职 以便专心从事 学术工作 1831 年 11 月 他被综合工科学校教育委员会选为 l 马蒂厄 mathieu 的分析 与力学课助教 由此开始了自己近 50 年的科学研究生涯 1833 1838 年间 刘维尔曾在成立不久的中央高等工艺制造学校讲授数学和力学 但 内容均为初级的 为使自己的教学工作保持在大学水平上 他在 1836 年攻取了博士学位 论文题为 关于函数或其一部分的正弦与余弦级数展开式 sur le d velop pement des fonctions ou parties de fonctions en s ries dc sinuset de cosinus 探讨了傅里 叶级数及其在各种力学 物理学间题中的应用 于同年在巴黎成书出版 为适应法国数学研究的需要 刘维尔在 1836 年 1 月创办 纯粹与应用数学杂志 journal de mat matiques pures et appli qu es 并亲自主持了前 39 卷的编辑出版 工作 第 1 辑 1 20 卷 1836 1855 年 第 2 辑 1 19 卷 1856 1874 年 该杂志刊 登纯粹 应用数学领域所有分支的论文 记录了 19 世纪中期的 40 年里数学活动的一部分 重要内容 被后人称为 刘维尔杂志 liou ville s journal 刘维尔不仅与当时一些重要的数学家保持着密切联系并定期发表他们的成果 而且热 心地对年轻学者进行指导 为他们发表著作提供机会 最值得一提的当属他编辑发表 e 伽罗瓦 galois 的文章 1832 年 5 月 伽罗瓦在决斗中被杀 刘维尔整理了他的部分 遗稿并刊登在 1846 年的 纯粹与应用数学杂志 上 他在代牧方面的独创性工作才得以为 世人所知 1838 年 刘维尔接替马蒂厄成为综合工科学校的分析与力学课教席 一直工作到 1851 年他转入法兰西学院任数学教席为止 1839 年 6 月和 1840 年 他又先后被推举为巴黎科 学院天文学部委员和标准计量局成员 定期参与这两方面的活动 刘维尔的学术活动在法国革命期间稍有中断 1848 年 4 月 23 日 他入选立宪会议 是默尔特行政区的代表之一 次年 5 月竞选议员失败 他的政治活动遂告结束 1851 年来到法兰西学院后 刘维尔的教学工作相当自由 有更多的时间展开自己的研 究工作 广泛与他人探讨 他在此职位上一直工作到 1879 年 不过从 1874 年他退出 纯 粹与应用数学杂志 的编辑工作后 便不再发表著作 也很少参与法国学术界的活动了 刘维尔一生勤于学术工作 生活淡泊宁静 每年都要回到家乡土尔的旧居休假 他在 1830 年与表亲玛丽 路易丝 巴朗 marie louise balland 结婚 生有三女一子 刘维尔的主要学术成就如下 1 函数论 刘维尔认真研究了 g w 莱布尼茨 leibniz 约翰 伯努利 johann bernoulli 和 l 欧拉 euler 的著作 他在早期工作中尽可能地扩展微分和积分的概念 尤其是建立任 意阶导数的理论 他绘出如下公式 这里 为复数时亦成立 在证明了任意函数 f x 均可展为指数级数 2 之后 他定义 f 的 阶导数如下 应用这个定义 刘维尔处理了初等函数的指数级数展开式及其任意阶导数 例如 他 给出 其导数为 尽管这些定义与方法并不具普遍的适用性 函数的展开式也未必总是收敛 但这是走 向泛函分析的早期努力之一 表明了刘维尔处理当时分析学的精湛技巧 1832 年 12 月 7 日和 1873 年 2 月 4 日 刘维尔先后向巴黎科学院提交两篇论文 对代 数函数和超越函数进行了分类 以此整理 n h 阿贝尔 abel p s 拉普拉斯 laplace 等 人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论 在此基础上 他于 1834 年给出了初等函数的分 类 有限个复变量的代数函数为第 0 类初等函数 ez 和 logz 为第 1 类初等函数 二者合 称为最多第 1 类初等函数 若已定义最多第 n 1 类初等函数 则它与最多第 1 类初等函数 的复合称最多第 n 类初等函数 是最多第 n 类而非最多第 n 1 类的初等函数称第 n 类初等 函数 初等函数的积分在何条件下仍为初等函数 也是他着重讨论的问题 刘维尔涉足科学领域之际 由阿阿尔和 c 雅可比 jacobi 所建立的椭圆函数理论正 处于蓬勃发展时期 1844 年 12 月 刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可 比的定理 单变量单值亚纯函数的周期个数不多于 2 周期之比为非实数 出发 建立双周 期椭圆函数的一套完整理论体系 这是对椭圆函数论的一个较大贡献 围绕双周期性 刘 维尔展示了椭圆函数的实质性质 提出如下定理 刘维尔第 1 定理 在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数 刘维尔第 2 定理 椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为 0 刘维尔第 3 定理 n 阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值 n 次 刘维尔第 4 定理 在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期 后来 到巴黎访问的两位德国数学家 c w 博尔夏特 bor chardt 和 f 约赫姆塔尔 joachimsthal 向刘维尔详细请教了他的工作情况 而 1850 1851 年刘维尔在法兰西学院 讲授的双周期函数课程 也在 c a 布里奥 briot 与 j c 布凯 bou quet 所著 双 周期函数论 th orie des fonctions doublementp riodiques 1859 一书中得到系统介 绍 因此 尽管刘维尔的有关结论很少发表 仍能在法国内外迅速传播并产生影响 双周 期函数的讲义后来发表在 1880 年第 88 卷的德国 纯粹与应用 2 微分方程与积分方程 19 世纪 随着各种曲线坐标系的引入和新的函数类如贝塞尔 bessel 函数 勒让德 legendre 多项式等作为常微分方程的特征函数而兴起 确定带边界条件的常微分方程的 特征值与特征函数 便成为日益突出的重要问题 刘维尔和他的朋友 力学教授 c 斯图 姆 sturm 在 30 年代同时钻研了这类问题 他们考虑由变密度棒的热传导过程引出的二阶常微分方程 k x v x g x r l x v x 0 x a b k a v a hv a 0 k b v b hv b 0 其中 k x g x l x 是正值函数 h 与 h 为非负常数 r 为参数 3 刘维尔采用逐次逼近法表达其解 这样 就得到了关于微分方程解的存在性的第一条定理 它发表在 1838 年 3 卷 1 期的 纯粹与应用数学杂志 上 逐次逼近法成为求解常微分方程的一种典型方法 上述边值 问题则被称为斯图姆 刘维尔问题 随后 两人着眼于更一般的二阶微分方程 其中 l m n 是 x 的连续函数 是参数 它可以改写成 他们证明了下列基本结果 1 仅当 取递增到 的正数序列 n 的任一值时 原问题才有解 dx 1 加以规范化 vmvndx 0 m n 后来 在法兰西学院的教学中 刘维尔又引入了伴随边值条件 adjoint boundary values 的概念 将斯图姆 刘维尔理论尤其是斯图姆关于特征函数的有关结论推广到非自 伴随高阶方程上刘维尔在扩展导数定义时 除了将被导函数先展开为指数级烽 还利用过 拉痖拉斯积发展开式的方法 在证明了 等几个重要公式后 刘维尔展开了如何用其解决几何 力学问题中产生的积分方程 把积分方程变成求导问题 最后得到的微分方程是可解的 程 被 d 希尔伯特 hilbert 称为第一类积分方程 在斯图姆 刘维尔理论中涉及的则是另一种不同类型的方程 即希尔伯特第二类积分方 程 它有如下形式 通过解积分方程得到微分方程的解 这是斯图姆 刘维尔理论最有意义的一点 而微分 方程与积分方程之间的内在联系通过刘维尔的上述努力也愈加清晰了 1845 年底 刘维尔在 纯粹与应用数学杂志 上发表短篇注记 一类函数的一种一般 性质 sur une propri t g nerale d uneclasse de fonctions 研究了特征值方程 dl x t x x x dx m x 其中 l 为定义于 rn 子集 d 上的实值函数 t 为 d d 上的对称多项式 注记中证明了 两条定理 1 1 2 是对应于互异特征值 m1 m2 的特征函数 即原方程的解 则成立正交关 系 dl x 1 x 2 x dx 0 2 若 l 恒正 则所有特征值均为实数 进一步 刘维尔还指出了利用正交关系将任意函数展成傅里叶级数的可能性 虽然这 4 些结论不如后来希尔伯特 e 施密特 schmidt 等人的结果那样深刻 却表明了刘维尔最 早意识到这类积分方程的重要性 并在积分方程理论研究工作由特殊走向一般的过程中迈 出了第一步 3 数论 刘维尔对数论问题产生兴趣是由费马大定理开始的 1840 年 他将费马问题作了转化 证明方程 un vn wn 的不可解性意味着 x2n y2n 2xn 的不可解性 在刘维尔之前 代数数与超越数的区别已经非常清楚了 但超越数的存在性问题迟迟 没有结果 e e2 及 2 等无理数究竟是否为超越数也一直吸引着数学家们的注意 力 1840 年 刘维尔证明了 e 不是任何二次或四次多项式方程的根 接着又试图采取 j l 拉格朗日 lagrange 的方法 用连分数逼近多项式的根 来证明 e 的超越性 这一 尝试未能奏效 然而他从中意识到 若不可约有理数 p q 是 n 次代数无理数 x 的近似值 则存在正数 c 使得 自然数 k 均有解 p q 则 x 是超越数 刘维尔于 1844 年证明了形如 数 至此 超越数的存在性问题得到了解决 从 1856 年开始 刘维尔放弃了在其他方面几乎所有的数学研究 而把精力投入到数论 领域 10 年间 他在 纯粹与应用数学杂志 上发表了 18 篇系列注记和近 200 篇短篇注 记 前者未加证明地给出了许多一般公式 为解析数论的形成奠定了基础 后者则个别地 讨论了素数性质和整数表示为二次型的方法等特殊问题 4 其他 1836 年 刘维尔与斯图姆共同给出了关于代数方程虚根数目的柯西定理的证明 次年 他又用不同于阿贝尔的方法 解决了二元代数方程组的消元问题 这些都被 j a 塞雷 serret 收入了他编写的 高等代数教程 cours d alg bre superieure 第 4 版 1877 得以在法国的学校中广泛传播 为了发表伽罗瓦的著作 刘维尔从 1843 到 1846 年对其手稿进行了彻底的研究 在他 为伽罗瓦的著作发表所写的导言中 对伽罗瓦的工作给予了高度评价 他还邀请包括塞雷 在内的一些朋友 参加关于伽罗瓦工作的系列演讲 因此可以说 刘维尔间接地推动了近 世代数学和群论的发展 在几何学方面 刘维尔于 1841 年和 1844 年用消去理论证明并推广了 m 沙勒 chasles 建立的曲线和曲面的度量性质 还发现一种新方法 以确定任意椭圆曲面的测地 线 这是雅可比在研究