初中数学 数学名师 豪斯多夫

1 豪斯多夫豪斯多夫 豪斯多夫 f hausdorff felix 1868 年 11 月 8 日生于德国布雷斯劳 breslau 今 波兰弗拉茨瓦夫 wroclaw 1942 年 1 月 26 日卒于波恩 数学 豪斯多夫是犹太人 他的父亲是一位富裕的商人 在豪斯多夫年幼的时候 随着父母 迁往莱比锡 在莱比锡读完中学后 又在当地和弗来堡 柏林等地学习数学和天文 学 1891 年在莱比锡大学毕业并取得博士学位 豪斯多夫的兴趣极为广泛 不仅对数学 天文学和光学有兴趣 而且也酷爱文学 哲 学和艺术 他的朋友主要是艺术家和作家 豪斯多夫曾用 dr paul mongre 的笔名出版了 两本诗集和一本哲学著作 das chaos in kosmischer auslese 1898 还有大量的富有 哲理的散文和文章 在 1904 年曾发表一部滑稽戏的剧本 der arst seiner ehre 这部戏 在 1912 年上演 获得相当大的成功 他在 1891 1896 期间 曾发表过 4 篇天文学和光学 的文章以及数学中许多分支的文章 1896 年成为莱比锡大学讲师 1902 年成为副教授 以 后主要致力于数学 逐渐减少了非科学的写作 特别是 1904 年以后 主要研究集论 1910 年 他作为副教授去波恩大学 在那里写出了著名的专题著作 集论基础 grundz geder mengenlehre 发表于 1914 年 这本专著影响极大 使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠 基人 1913 年 豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德 greifswald 大学任教授 1921 年回到波恩大 学任教授 在波恩一直非常活跃 直到 1935 年 因为他是犹太人而被迫隐退 但他仍继续 从事集论和拓扑学的研究工作 他的成果只能在国外发表 1941 年 他作为犹太人将被送 到拘留营去 当拘留变得紧迫时 豪斯多夫和他的妻子 妻妹一起于 1942 年 1 月 26 日自 杀于波恩 豪斯多夫在数学的集合论 拓扑学 连续群理论 泛函分析 数论 概率论 几何学 等许多分支中都有建树 最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面 豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括 导入了许多新的观念 方法和 定理 发展为有系统的完美的理论 并为进一步发展提供了强大的动力 他是点集拓扑和 度量空间的一般理论的他建者 豪斯多夫的 集论基础 1914 一书在数学文献中是很珍贵的 他概括了前人广泛的 工作 使之成为新理论的支柱 创建并完成了拓扑和度量空间的理论 由于它的阐述清晰 准确而优美 所以很容易读 直到今天仍有价值 他发展了 d 希尔伯特 hilbert 1902 和 h 外尔 weyl 1913 分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念 用邻域的语言给予公理的描述 定义了拓扑空间 在豪斯多夫之前 m r 弗雷歇 frechet f 里斯 riesz 等虽然都企图建立拓扑空间 给出过各种定义及相关概念 但第 一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在 集论基础 中提出的 他定义的拓扑空间建 立在抽象集 x 上 使每个 x x 对应一个子集族 x x x x 称为邻域系统 满足 1 对 x x x 且对 u x 有 x u 2 若 x u y 则 v x 使 v u 3 对 u1 u2 x u x 使 u u1 u2 4 对 x y x x y 开集 u x v y 由 x x x 生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间 它是最重要的拓扑空间之一 形成 拓扑的各种方法 首先由豪斯多夫在 1927 年给予系统的描述 在欧氏空间的子集类中 g 康托尔 cantor 曾导入并研究过开集 闭集 闭包 内部 等概念 豪斯多夫的 集论基础 将它们推广于抽象空间 并建立了两个可数性公理 1 对 x x 子集族 x 是可数集 2 所有的 x x x 的集是可数集 2 关于同胚的概念 h 庞加莱 poincare 曾在狭窄的意义下导入并研究过 弗雷歇于 1910 年首先讨论了抽象空间上的同胚概念 但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯 多夫在 集论基础 中给出的 1935 年 他还首先注意到正规性是闭映射的不变量 关于欧氏空间的子空间 e l 林德勒夫 lindel f 曾讨论过集的凝聚点的概念 豪 斯多夫在 集论基础 中 在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质 并由 此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并 其中之一是完全集 另一集是可数 集 关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫 集论基础 开始的 设 as s s 是 x 的子集族 如果对 s 的任意不同元素组成的有限序列 s1 s2 sk 以及由 0 和 1 组成的序列 i1 ik 有 其中 a0 a a1 x a 则称 as s s 为独立集组成的 1936 年 豪斯多夫得出 基数 m 0 的集 x 的所有子集族含 有由独立集组成的基数为 2m 的子族 早在 1934 年 g 费契田厚茨 fichlenholz 和 b 坎托罗维奇 kahtopob 也曾得出过类似结果 关于实直线的波莱尔集的定义由 e 波莱尔 borel 给予概括叙述 h l 勒贝格 lebesgue 于 1905 年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论 在此基础上 豪斯多夫创立了关 于度量空间的波莱尔集理论 1914 1906 年 弗雷歇导入可数紧空间的概念 豪斯多夫于 1914 年给出了在豪斯多夫空间 x 中 x 的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一 并在度量空间中建立了序列紧性 和可数紧性的等价性 他证明了任一可度量化空间 x 是第二可数的当且仅当 x 是可分的 以及紧可度量化空间是可分的 关于连续扩张问题 豪斯多夫在 1919 年建立了 设 a 为可度量化空间 x 的闭子空间 则对 x 上的任一度量 任一连续函数 f a i 确定 x 上 f 的连续扩张 f 为 豪斯多夫 集论基础 指出紧可度量化空间 x 到可度量化空间 y 的任一连续映射 f x y 关于空间 x 和 y 上分别为 和 的距离是一致连续的 全有界空间的概念也是豪斯多夫 集论基础 导入的 并在 1927 年证明了全有界度量 空间是可分的 6 1914 年 豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间 刻画了度量 空间的完备化空间 证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集 还证 明了在所有完备可度量化空间中贝尔 baire 纲定理成立 1927 年又证明了完备化空间的 唯一性 6 c 亚历山德罗夫 a ekcah po 对可分空间证明了完备度量化性关于 g 集是 可继承的 豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间 1924 豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于 1927 和 1925 年独立地证明了每个非空紧可度量化空 间是康托尔集的连续象 即二进空间 这个结果对点集拓扑学的发展富有启发意义 设 m 是可度量化空间 x 的闭子空间 豪斯多夫于 1930 年证明了子空间 m 上的任一距离 可扩张为空间 x 上的距离 设 f m l 为可度量化空间 x 的闭子空间 m 到度量空间 l 上的连续映射 豪斯多夫证 明了如果空间 l 可作为度量空间 y 的闭子空间等距嵌入 y 中 14 则 f 可扩张为连续映射 f x y 使限制 f x m 是 x m 到 y l 上的同胚 3 设 2x 为度量空间 x 的所有有界非空闭子集族 令 为 a 和 b 的距离 则 2x h 为度量空间 称 h a b 为豪斯多夫距离 1914 x 等距于 2x h 的闭子空间 但空间 x 上两个等价的全有界距离 和 由 h 和 h 在 2x 上导入的拓扑未必相同 豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中 起着重要作用 w 谢尔品斯基 sierpinski 于 1930 年证明了若度量空间 y 是可分完备可度量化空间 x 在开映射下的连续象 则 y 是完备可度量化的 1934 年 豪斯多夫证明了若可度量化空 间 y 是完备可度量化空间 x 在开映射下的连续象 则 y 是完备可度量化的 以后 e 麦克 michael 又推广于仿紧空间 y 连通性的概念是 m e c 若尔当 jordan 于 1893 年研究平面的紧子集类时导入 的 豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究 在 集论基础 中包含连通集的一些简 单性质 连通分支 拟分支的定义 以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等 该书还 导入继承不连通空间 极不连通空间是 m h 斯通 stone 在 1937 年定义的 但 n n 不是极不连通的事 实本身却是由豪斯多夫证明的 1936 集 x 上的距离 称为非阿基米德的 如果对所有 x y z x 有 x z max x y y z 豪斯多夫证明了非空可度量化空间 x indx 0 当且仅当在空间 x 上存在非阿基米德距 离 1934 在描述集合论方面 豪斯多夫 集论基础 中研究了有序集的理论 如将序型分类 序型的有序积 有序集的表示等问题 他引入的极大原理可用来代替超限归纳法 是和选 择公理 良序原理 图基 tukey 引理 库拉托夫斯基 kuratowski 引理等命题等价的 豪斯多夫提出的 rn 中单位球分解 1914 在空间转动理论及变换群的分剖结果的基础 上 用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理 以后导致 s 巴拿赫 banach 的分球悖 论 1924 即把一个球切成有限个片段 然后重新组合 可得到与原球有相同尺寸的两个 球 这一悖论使人怀疑选择公理 引起数学界的极大重视 从而推进数学基础的发展 豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理 1916 这是和亚历山德罗夫同年独立解 决的 他还提出了豪斯多夫运算 1927 豪斯多夫递归公式 1914 等 1914 年 豪斯多夫提出测度问题 是否存在 rn 的每个子集均可测的有限可加测度 1923 年 他证明了当 n 1 2 时存在无限多个解 当 n 3 时无解 在数学分析中 豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果 解决了有限区间的矩 量问题及矩量的性质 他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理 1921