广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三数学8月开学联考试题 文（含解析）

1 广东省广雅中学 执信 六中 深外四校广东省广雅中学 执信 六中 深外四校 20202020 届高三数学届高三数学 8 8 月开学月开学 联考试题联考试题 文 含解析 文 含解析 试卷类型 试卷类型 a a 本试卷分选择题和非选择题两部分 共本试卷分选择题和非选择题两部分 共 6 6 页 满分为页 满分为 150150 分 考试用时分 考试用时 120120 分钟 分钟 注意事项 注意事项 1 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答 题卡和答卷密封线内相应的位置上 用题卡和答卷密封线内相应的位置上 用 2b2b 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上 2 2 选择题每小题选出答案后 有 选择题每小题选出答案后 有 2b2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 不能答在试卷上 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 不能答在试卷上 3 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答 答案必须写在答卷纸各题目 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答 答案必须写在答卷纸各题目 指定区域内的相应位置上 超出指定区域的答案无效 如需改动 先划掉原来的答案 然后指定区域内的相应位置上 超出指定区域的答案无效 如需改动 先划掉原来的答案 然后 再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 4 考生必须保持答题卡的整洁和平整 考生必须保持答题卡的整洁和平整 第一部分选择题 共第一部分选择题 共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知全集 集合 则 2 3 4 5 6 7u 4 5 7a 4 6b u ac b a b c d 5 2 2 5 5 7 答案 d 解析 详解 由题意知 所以 故 2 3 5 7 u c b 4 5 72 3 5 75 7 u ac b 选 d 2 设 是虚数单位 若复数是纯虚数 则的值为 i 10 3 aar i a a 3b 1c 1d 3 答案 d 解析 2 详解 因 故由题设 故 故选 d 考点 复数的概念与运算 3 若向量 满足且 则 a b c ab ac 2cab a 4b 3c 2d 0 答案 d 解析 分析 先证明 可得 利用数量积的运算法则求解即可 bc 0a cb c 详解 向量满足且 a b c ab ac bc 0a cb c 故答案为 0 22000cabc ac b 点睛 本题主要考查平面向量数量积的运算法则以及向量垂直的性质 属于基础题 4 为了测试小班教学的实践效果 王老师对 a b 两班的学生进行了阶段测试 并将所得成 绩统计如图所示 记本次测试中 a b 两班学生的平均成绩分别为 a b 两班学生 a x b x 成绩的方差分别为 则观察茎叶图可知 2 a s 2 b s 3 a b a x b x 2 a s 2 b s a x b x 2 a s 2 b s c d a x b x 2 a s 2 b s a x b x 2 a s 2 b s 答案 b 解析 分析 根据茎叶图中数据的分布可得 班学生的分数多集中在之间 班学生的分数集 a 70 80 b 中在之间 班学生的分数更加集中 班学生的分数更加离散 从而可得结果 50 70 ab 详解 班学生的分数多集中在之间 班学生的分数集中在之间 故 a 70 80 b 50 70 相对两个班级的成绩分布来说 班学生的分数更加集中 班学生的分数更加 abxxab 离散 故 故选 b 22 ab ss 点睛 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体简明的描述 它们所反映的情况有着 重要的实际意 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述其波动大小 随 机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了 随机变量稳定于均值的程度 它 们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据 般先比 较均值 若均值相同再用方差来决定 5 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 要增长到原来的倍 需经过年 10 4 x y 则函数的图象大致为 yf x a b c d 4 答案 b 解析 详解 根据题意 函数解析式为 y 1 104x x 0 函数为指数函数 底数 1 104 1 递 增 故选 b 6 在中 若 且的面积 则的边 abc 3 a 5sin3sinbc abc 15 3 4 s abc 的长为 bc a b c d 17193 2 4 答案 b 解析 分析 设的内角 所对的边分别为 由得出 abc a bcabc5sin3sinbc 53bc 再由三角形的面积求出 的值 再利用余弦定理可得出的长 bcbca 详解 设的内角 所对的边分别为 由于得 abc a bcabc5sin3sinbc 出 53bc 由三角形的面积公式可得 3 5 bc 2 11333 315 3 sin 2252204 c sbcac c 解得 由余弦定理得 5c 3b 22222 1 2cos352 3 519 2 abcbca 因此 的边的长为 故选 b abc bc19 点睛 本题考查三角形的面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形 要熟悉正弦定理和 余弦定理解三角形的对三角形已知元素类型的要求 考查运算求解能力 属于中等题 7 公元前 6 世纪 古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图 发现了黄金 分割比例为 这一数值也可以表示为 若 则 51 0 618 2 2sin18m 2 4mn 5 2 2cos 271 m n a 4b 3c 2d 1 答案 c 解析 分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 利用降幂公式 诱导公式 二倍角 2 4cos 18n 的正弦函数公式化简所求即可计算得解 详解 解 若 2sin18m 2 4mn 2222 444sin 184 1 sin 18 4cos 18nm 2 2 2sin184184sin18 cos18 2 22711 cos541sin36 m ncos cos 故选 c 点睛 本题主要考查了同角三角函数基本关系式 降幂公式 诱导公式 二倍角的正弦函 数公式在三角函数化简求值中的应用 考查了转化思想 属于基础题 8 已知奇函数在上是增函数 若 f x r 2 1 log 5 af 则 的大小关系为 2 log 4 1bf 0 8 2cf abc a b c d abc bac cba cab 答案 a 解析 分析 由奇函数的性质得出 利用中间值法和对数函数的单调性比较 22 1 log 5 log 5faf 出 三个数的大小关系 再利用函数在上的单调性可得出 2 log 5 2 log 4 1 0 8 2 yf x r 6 的大小关系 abc 详解 函数在上是奇函数 yf x r 222 11 logloglog 5 55 afff 又函数在上是增函数 且 yf x r 0 8 222 log 5log 4 1log 422 故选 a 0 8 22 log 5log 4 12fff abc 点睛 本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小 同时也考查了利用中间值 法比较大小 考查推理能力 属于中等题 9 函数 其中 的图象如图所示 为了得到的图 sin f xx 2 sing xx 象 则只要将的图象 f x a 向右平移个单位长度b 向右平移个单位长度 c 向左平移个单位长度d 向左平移个单位长度 答案 a 解析 详解 试题分析 由图象可知 该函数的 a 1 周期为 代入 7 4 2 123 可得 所以函数为 而将函数图象向右平移个单位长度 7 1 12 3 sin 2 3 f xx 6 后得到函数 选 a sin 2 sin2 63 f xxx 考点 本小题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的平移 7 点评 解决此类问题时 要特别注意图象左右平移的单位是相对于 x 说的 10 在正方体中 点是四边形的中心 关于直线 下列说 1111 abcdabc d oabcd1 ao 法正确的是 a b 11 ao dc 1 aobc c 平面d 平面 1 ao 11 bcd 1 ao 11 ab d 答案 c 解析 分析 设 证明出 可判断出选项 a c 的正误 由为等腰三 1111 acb dm i 1 ao cm bcm 角形结合可判断出 b 选项的正误 证明平面可判断出 d 选项的正误 1 ao cm 1 ac 11 ab d 详解 如下图所示 设 则为的中点 1111 acb dm i m 11 ac 在正方体中 则四边形为平行四边形 1111 abcdabc d 11 aa cc 11 aac c 11 ac ac 易知点 分别为 的中点 omac11 ac 1 am oc 则四边形为平行四边形 则 由于过直线外一点有且只有一条直线与已 1 amco 1 ao cm 知直线平行 则 a 选项中的命题错误 平面 平面 平面 c 选项中的 1 ao cmq 1 ao 11 bcd cm 11 bcd 1 ao 11 bcd 8 命题正确 易知 则为等腰三角形 且为底 所以 与不垂直 由于 bmcm bcm bcbccm 则与不垂直 b 选项中的命题错误 1 ao cm 1 ao bc 四边形为正方形 则 1111 dcba 1111 b dac 在正方体中 平面 平面 1111 abcdabc d 1 cc 1111 dcba 11 b d 1111 dcba 平面 111 b dcc 1111 acccc qi 11 b d 11 acc 平面 同理可证 且 1 ac 11 acc 111 acb d 11 acab 1111 abb db i 平面 则与平面不垂直 d 选项中的命题错误 故选 c 1 ac 11 ab d 1 ao 11 ab d 点睛 本题考查线线 线面关系的判断 解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证 明线面平行 线面垂直 考查推理能力 属于中等题 11 己知 是椭圆的左 右焦点 过的直线与椭圆交于 1 f 2 f 22 22 1 0 xy ab ab 2 f p 两点 且 则 与 的面积之比为 q 1 pqpf 11 2qfpf 12 pff 12 qff a b c d 23 21 21 23 答案 d 解析 分析 可设 运用椭圆的定义可得 111 22pftqfpft 22 2 22pfatqfat 结合勾股定理和三角形的面积公式 计算可得所求比值 详解 9 设 由椭圆的定义可得 111 22pftqfpft 22 2 22pfatqfat 由 即 即有 解 pq 4a 3t 22 2 11 pqpfqf 222 43 4attt 433att 得 则 与 的面积之比为 4 33 ta 12 pff 12 qff 故选 d 12 12 1422 3 1 13 2 3 3332 23 1 182 3231 sin30 2 2 3 333 aa pfpf pfqf aa 点睛 本题主要考查椭圆的定义 勾股定理 面积公式等 较综合 意在考查学生的计算 能力 分析能力 难度较大 12 已知函数 若且 则的最大值为 ln 0 1 0 xx x f x xx 12 xx 12 f xf x 12 xx a b c d 2 2221 答案 b 解析 分析 设点的横坐标为 过点作轴的垂线交函数于另一点 设点的横坐标 a 1 x a y yf x bb 为 并过点作直线的平行线 设点到直线 的距离为 计算出直线 的倾 2 x b 1yx laldl 斜角为 可得出 于是当直线 与曲线相切时 取最大值 从 4 12 2xxd l lnyxx d 而取到最大值 12 xx 详解 如下图所示 10 设点的横坐标为 过点作轴的垂线交函数于另一点 设点的横坐标 a 1 x a y yf x bb 为 并过点作直线的平行线 设点到直线 的距离为 2 x b 1yx lald 12 2xxd 由图形可知 当直线 与曲线相切时 取最大值 l lnyxx d 当时 令 得 切点坐标为 0 x lnf xxx ln11fxx 1x 1 0 此时 故选 b 1 0 1 2 2 d 12max 222xx 点睛 本题考查函数零点差的最值问题 解题的关键将问题转化为两平行直线的距离 考 查化归与转化思想以及数形结合思想 属于难题 第二部分非选择题 共第二部分非选择题 共 9090 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 把答案填在答卷的相应位置 分 把答案填在答卷的相应位置 13 已知函数 若曲线在点处的切线方 1 x f xbxea a br yf x 00f 程为 则 yx ab 答案 3 解析 分析 求出导数 利用曲线在点处的切线方程为 建立方程 求得 yf x 0 0 fyx 的值 进而得到所求和 得到答案 a b 详解 由题意 函数 得 1 x f xbxea 1 x fxebxb 11 曲线在点处的切线方程为 即 yf x 0 0 fyx 01 00ff 即 解得 所以 11 10ba 1 2ab 3ab 点睛 本题主要考查了导数的几何意义的应用 其中解答中熟记导数的几何意义 合理计 算是解答的关键 着重考查了运算与求解能力 属于基础题 14 等比数列的前项和为 若 则 n a n 1 1 2 n sa 6 3 7 8 s s 24 aa 答案 1 64 解析 分析 求出等比数列的公比后可计算 24 1 64 a a 详解 设等比数列的公比为 q 若 则 不合题意 故 1q 6 3 2 s s 1q 又 所以 6 1 3 6 3 3 1 1 71 1 81 1 aq sq q saq q 1 2 q 所以 填 24 241 111 41664 a aa q 1 64 点睛 等差数列或等比数列的处理有两类基本方法 1 利用基本量即把数学问题转化 为关于基本量的方程或方程组 再运用基本量解决与数列相关的问题 2 利用数列的性 质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题 15 已知 是双曲线的两个焦点 以线段为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于 1 f 2 f 12 ff a 四个点 若这四个点与 两点恰好是一个正六边形的顶点 则该双曲线的 bcd 1 f 2 f 离心率为 12 答案 2 解析 分析 分析双曲线的焦点位置 由正六边形的性质得出可得出 再由公式 3 b a 可计算出双曲线的离心率 2 1 cb e aa 详解 由正六边形的图形特征知 若双曲线焦点在轴上 且为双曲线的右焦点 x2 f 以为直径的圆与渐近线在第一象限的交点为 则为等边三角形 12 ff a 2 oaf 则双曲线斜率为正的渐近线的倾斜角为 3 tan3 3 b a 此时 双曲线的离心率为 2 12 cb e aa 综上所述 双曲线的离心率为 故答案为 22 点睛 本题考查双曲线的离心率的求解 解题的关键就是要分析几何图形的特征 求出渐 近线的斜率 考查推理能力与计算能力 属于中等题 16 把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形称为图形在这个平面上 m m m 的射影 如图 在长方体中 则在 abcdefgh 5ab 4 ad3ae ebd 平面上的射影的面积是 ebc 答案 2 34 解析 分析 13 连接 过点在平面内作 垂直为点 可证明出平面 ch dcdhgdmch mdm 可得出在平面上的射影为 然后计算出的面积即可得 bcheebd ebcmbe mbe 出结果 详解 连接 过作 连接 因为平面 hcddmch membbc hcd 又平面 所以 dm hcddmbc 因为 所以平面 bchcc dm hcbe 即在平面内的射影为 所以在平面内的射影为 dhcbemebd hcbeebm 在长方体中 所以的面积等于的面积 hcbc mbe cbe 所以在平面上的射影的面积为 故答案为 ebd ebc 1 92542 34 2 2 34 点睛 本题考查射影面积的计算 解题的关键就是构造出线面垂直 找出射影 考查推理 能力与计算能力 属于中等题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 分 17 已知等差数列的前项和满足 n a nn s 3 12s 5 30s 1 求的通项公式 n a 2 求数列的前项和 1 11 nn aa nn s 答案 1 2 2 n an nn 21 n n snn n 解析 分析 1 设等差数列的公差为 利用已知条件建立和的方程组 解出这两个量 然 n a d1 a d 14 后利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式 n a 2 将数列的通项裂项为 然后 1 11 nn aa 1111 112 2121 nn aann 利用裂项法求出数列的前项和 1 11 nn aa nn s 详解 1 设等差数列的公差为 由 得 n a d3 12s 5 30s 1 1 3312 51030 ad ad 解得 因此 1 2a 2d 1 12 n aandn nn 2 因为 11111 1121212 2121 nn aannnn 所以 1111 1 33 55 72121 n s nn 11111111111 1 2133557212122121 n nnnn l 21 n n snn n 点睛 本题考查等差数列通项公式的求解 以及裂项求和法 解题时要了解裂项求和法对 数列通项结构的要求 并熟悉裂项求和法的基本步骤 考查运算求解能力 属于中等题 18 每年的月日是全国爱牙日 为了迎接这一节日 某地区卫生部门成立了调查小组 920 调查 常吃零食与患龋齿的关系 对该地区小学六年级名学生进行检查 按患龋齿的 800 不患龋齿分类 得汇总数据 不常吃零食且不患龋齿的学生有名 常吃零食但不患龋齿 60 的学生有名 不常吃零食但患齲齿的学生有名 100140 1 完成答卷中的列联表 问 能否在犯错率不超过的前提下 认为该地区学 22 0 001 生的常吃零食与患龋齿有关系 2 名区卫生部门的工作人员随机分成两组 每组人 一组负责数据收集 另一组负责 42 数据处理 求工作人员甲分到负责收集数据组 工作人员乙分到负责数据处理组的概率 15 附 2 2 n adbc k abcdacbd 2 0 p kk 0 0100 0050 001 0 k6 6357 87910 828 答案 1 填表见解析 能在犯错率不超过 0 001 的前提下 认为该地区学生的常吃零食 与患龋齿有关系 2 1 3 解析 分析 1 根据题中信息完善列联表 并计算出的观测值 并将观测值与进行大 22 2 k10 828 小比较 可对题中结论的正误进行判断 2 将所有可能分组的情况列举出来 确定全部的分组数 并确定事件 工作人员甲分到 负责收集数据组 工作人员乙分到负责数据处理组 所包含的组数 然后利用古典概型的概 率公式可计算出所求事件的概率 详解 1 由题意可得列联表 不常吃零食常吃零食总计 不患龋齿60100160 患龋齿140500640 总计200600800 2 2 800 60 500 100 140 16 66710 828 160 640 200 600 k 故能在犯错率不超过的前提下 认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系 0 001 2 设其他工作人员为丙和丁 人分组的所有情况如下表 4 16 小组123456 收集数据甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁 处理数据丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙 分组的情况总共有种 6 工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占组 分别是第组和第组 223 所以工作人员甲分到负责收集数据组 工作人员乙分到负责数据处理组的概率 21 63 p 点睛 本题考查独立性检验基本思想的应用 同时也考查了利用古典概型的概率公式计算 事件的概率 考查收集数据和处理数据的能力 考查计算能力 属于中等题 19 如图 在梯形中 为的中点 是 1abcd ad bc 1 1 2 abbcad eado 与的交点 将沿翻折到图中的位置 得到四棱 acbeabe be21 abe 锥 1 abcde 1 求证 1 cdac 2 当 时 求到平面的距离 2be 1 1ac d 1 aoc 答案 1 见解析 2 2 解析 分析 1 在图 中 证明四边形为菱形 可得出 由翻折的性质得知在图中 1abceacbe 2 17 利用直线与平面垂直的判定定理证明出平面 可得出 oabe ocbe be 1 aoc 并证明出四边形为平行四边形 可得出 由此得出 1 beac bcde cd be1 cdac 2 解法一 由 1 可知平面 结合 可得出平面 be 1 aoc cd becd 1 aoc 由此得出点到平面的距离为的长度 求出即可 d 1 aoc cdcd 解法二 证明出平面 可计算出三棱锥的体积 并设点与面 1 ao ocd1 aocd d 的距离为 并计算出的面积 利用三棱锥的体积和三棱锥 1 aoc d1 aoc 1 aocd 的体积相等计算出的值 由此可得出点到平面的距离 1 daoc dd1 aoc 详解 1 图 中 在四边形中 1abce bc ae1bcae 四边形为平行四边形 abce 又 四边形为菱形 1abbc q abceaobe cobe 在图中 又 面 2 1 aobe cobe 1 aocoo be 1 aoc 平面 1 ac 1 aoc 1 beac 又在四边形中 bcde bc de1bcde 四边形为平行四边形 bcde be cd 1 cdac 2 法一 由 1 可知面 且 平面 be 1 aoc cd becd 1 aoc 的长度即为点 到平面的距离 cdd1 aoc 由 1 已证四边形为平行四边形 所以 bcde2cdbe 因此 点到平面的距离为 d 1 aoc 2 解法二 连接 od1 1ab q 12 22 bobe aobe 18 222 1 1 2 aoabbo 1 2 2 aoco 222 11 aocoac 1 aooc 又 平面 becoo 1 ao ocd 设点与面的距离为 d 1 aoc d 11 aocdd aoc vv q 即 1 1 12 212 aocdocd vsao a 11 1 3 d aocaoc vsd a 1 1 4 aoc s a 2d 点睛 本题考查直线与直线垂直的证明 同时也考查了点到平面的距离的计算 解题时要 充分利用题中的垂直关系 考查推理能力与计算能力 属于中等题 20 在平面直角坐标系中 过定点作直线与抛物线相交于 xoy 0 cp 2 20 xpy p a 两点 b 1 已知 若点是点关于坐标原点的对称点 求面积的最小值 1p ncoanb 2 是否存在垂直于轴的直线 使得 被以为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存 y llac 在 求出 的方程 若不存在 说明理由 l 答案 1 2 满足条件的直线 存在 其方程为 详见解析 2 2l2 p y 解析 分析 1 先得出点的坐标为 设 直线的方程为 n 0 1 11 a x y 22 b xy ab 将直线的方程与抛物线的方程联立 列出韦达定理 利用三角形的面积公式 1ykx ab 求出的面积关于的表达式 由此可得出面积的最小值 abn kabn 2 解法一 假设满足条件的直线 存在 其方程为 求出线段的中点的坐标 l ya ac o 19 并计算出点到直线 的距离以及以为直径的圆的半径长 然后利用勾股定理可计 o lac o 算出 截以为直径的圆所得弦长 结合弦长的表达式得出当时 弦长为定值 lac 0 2 p a 从而得出直线 的方程 l 解法二 假设满足条件的直线 存在 其方程为 求出以为直径的圆的方程 将直 l ya ac 线 的方程与圆的方程联立 列出韦达定理 利用弦长公式计算出 截以为直径的圆 l o lac 所得弦长 结合弦长的表达式得出当时 弦长为定值 从而得出直线 的方程 0 2 p a l 详解 1 依题意 点的坐标为 n 0 1n 可设 直线的方程为 11 a x y 22 b xy ab 1ykx 由得 2 2 1 xx ykx 2 220 xkx 由韦达定理得 12 2xxk 12 2x x 于是 2 22 121212 44822 abnbcnacn sssxxxxx xkk 当时 0k min2 2 abn s 2 解法一 假设满足条件的直线 存在 其方程为 的中点为 与为 l ya ac o lac 直径的圆相交于点 的中点为 则 p qpq h o hpq 点的坐标为 o 11 22 xyp 2 11 2xpy 因为 2 222 111 111 222 o pacxypyp 1 1 1 2 22 yp o haayp 2222 22 111 11 2 442 p pho po hypaypaya pa 20 2 2 1 24 2 p pqphaya pa 令 得 此时为定值 0 2 p a 2 p a pqp 故满足条件的直线 存在 其方程为 即抛物线的通径所在的直线 l2 p y 解法 2 假设满足条件的直线 存在 其方程为 设以为直径的圆上任意一点为 l ya ac 则 m x y 0 ap 11 b x y 2 11 2xpy 0am bm 则以为直径的圆方程为 ac 11 0 0 xypxx yy 化简为 2 11 0 xx xypyy 直线方程代入上述方程得 ya 2 11 0 xx xapay 则 2 111 440 2 p xapayaya pa 设直线 与以为直径的圆的交点为 则有 lac 33 p xy 44 q xy 2 3434341 44 2 p pqxxxxxxaya pa 令 得 此时为定值 0 2 p a 2 p a pqp 故满足条件的直线 存在 其方程为 即抛物线的通径所在的直线 l2 p y 点睛 本题考查直线与抛物线的综合问题 考查三角形面积的最值以及直线截圆所得弦长 的计算 同时也考查了韦达定理设而不求法在直线与抛物线综合问题中的应用 综合性较强 计算量大 属于难题 21 已知函数 sin ax f x x 0 x 若时 取得极小值 求实数及的取值范围 0 xx f x 0 fx a 0 fx 21 当 时 证明 a 0m ln0f xmx 答案 见证明 000 sincosaxxx 0 1 1f x 解析 分析 根据时 取得极小值 可得 解方程得 0 xx f x 0 fx 0 0fx 将代入进一步求出的范围 000 sincosaxxx a 0 fx 0 fx 证明成立 即证明成立 构造函数 ln0f xmx lnsinmxxx 利用导数求得的最小值 结合 lng xmxx sinh xx g x 即可证得该不等式成立 1 h x 详解 解 由函数 得 sin ax f x x 0 x 2 cossin xxax fx x 当时 取得极小值 0 xx f x 0 fx 0 0fx 000 sincosaxxx 00 00 0 cos cos xx fxx x 0 x 0 cos1 1x 0 1 1f x 即的取值范围为 0 fx 1 1 当时 a sin 0 x f xx x 要证成立 sin lnln0 x f xmxmx x 即证成立 lnsinmxxx 令 则 lng xmxx sinh xx 22 ln1gxmx si n1 h xx 令 则 0gx 1 x e 当时 此时递减 1 0 x e 0gx g x 当时 此时递增 1 x e 0gx g x min 1 m g xg ee 显然 0 m 1 m e 时 成立 0m lnsinmxxx 即时 0m ln0f xmx 点睛 本题主要考查了极值与导数的关系及方程思想 还考查了利用导数求函数的最值 考查转化能力及计算能力 属于难题 选考题 请考生在第选考题 请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答如果多做 则按所做的第一题计分 题中任选一题作答如果多做 则按所做的第一题计分 22 在平面直角坐标系中 已知椭圆的方程为 动点在椭圆