广东省深圳市普通高中2020届高三数学下学期线上统一测试试题 理 参考答案.pdf

深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 1 页 共 16页 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考 一 选择题 1 b 2 b 3 c 4 a 5 c 6 d 7 b 8 a 9 d 10 b 11 d 12 c 12 解析 当 462 时 即 8 3 时 max 1 3 f x 解得3 当 462 时 即 8 0 3 时 max sin 463 f x 令 sin 46 g 3 h 如图 易知 yg yh 的图象有两个交点 11 ay 22 by 所以方程 sin 463 有两个实根 12 又 888 1 393 gh 所以易知有 12 8 3 所以此时存在一个实数 1 满足题设 综上所述 存在两个正实数 满足题设 故应选 c 二 填空题 13 3 14 63 15 4 15 16 4 3 16 解析 由对称性不妨设m n 易知线段mn所在直线的方程为 1 2 yx 又 2 11 22 xxx 点p必定不在曲线c上 不妨设 1 2 p t t mtn 且过点p的直线l与曲线c相切于点 2 000 1 2 q xxx 易知 0 x x pq yk 即 2 00 0 0 11 22 1 xxt x xt 整理得 2 00 210 xtx 法一 显然 0 0 x 所以 0 0 1 2tx x 令 1 f xx x 1 0 0 3 x u 绝密绝密 启封并使用完毕前 启封并使用完毕前 试题类型 试题类型 a 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 2 页 共 16页 如图 直线2yt 和函数 yf x 的图象有两个交点 又 1 0f 且 8 3 3 f 8 02 3 t 即 4 0 3 t 4 0 3 mn mn 的最大值为 4 3 故应填 4 3 法二 由题意可知 0 13x 令 2 21f xxtx 函数 f x在区间 1 3 上有两个零点 则 2 1 20 3 860 13 440 ft ft t t v 解得 4 0 3 t 4 0 3 mn mn 的最大值为 4 3 故应填 4 3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 abc的内角a b c的对边分别为a b c abc的面积为s 222 2abcs 1 求cosc 2 若cossinabbac 5a 求b 解 1 222 1 sin2 2 sabcabcs 222 sinabcabc 2 分 在 abc中 由余弦定理得 222 sinsin cos 222 abcabcc c abab sin 2coscc 4 分 又 22 sin cos c 1c 2 5 5cos c 1cosc 5 由于 0 c 则sin0c 那么cosc 0 所以 5 cosc 5 6 分 2 法一 在 abc中 由正弦定理得sincossinsinsinabbac 7 分 sinsin sin sincoscossincabababab 8 分 sincossinsinsincoscossinabbaabab 即sinsincossinbaab 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 3 页 共 16页 又 0 a b sin0b sin cosaa 得 4 a 9 分 sinsin sin bacac 10 分 2522 53 10 sinsincoscossin 252510 bacac 11 分 在 abc中 由正弦定理得 3 10 5 sin 10 3 sin2 2 ab b a 12 分 法二 cossinabbac 又coscosabbac cossincoscosabbaabba 8 分 即sincosaa 又 0 a 4 a 9 分 在 abc中 由正弦定理得 2 5 5 sin 5 2 2 sin2 2 ac c a 10 分 coscosbcaac 25 2 253 25 c 12 分 法三 求a同法一或法二 在 abc中 由正弦定理得 2 5 5 sin 5 2 2 sin2 2 ac c a 10 分 又由余弦定理 222 2coscababc 得 2 230bb 解得1b 或3b 所以3b 12 分 余弦定理 222 2 cosabcba 得 2 430bb 解得1b 或3b 因为当1b 时 222 20abc 不满足cosc 0 不满足 222 22abcs 故舍去 所以3b 命题意图 综合考查三角函数的基本运算 三角函数性质 考查利用正弦 余弦定理解决三 角形问题 检验学生的数学知识运用能力 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 4 页 共 16页 第 18 题图 18 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 1111 abcdabc d 中 底面abcd是平行四边形 点m n分别在棱 1 cc 1 a a上 且 1 2c mmc 1 2anna 1 求证 1 nc平面bmd 2 若 1 322aaabad 3 dab 求二面角 nbdm 的正弦值 解 1 证明 法一 如图 连接ac交bd于点g 连接mg 设 1 c m的中点为e 连接ae 2 分 g m是在 ace边 ca ce的中点 mg ae 3 分 又 1 2c mmc 1 2anna 11 aa cc 四边形 1 anc e是平行四边形 故 1 ncae 1 ncgm 4 分 gm 平面bmd 1 nc平面bmd 5 分 法二 如图 设e是 1 bb上一点 且 1 2bebe 连接 1 ec 设g是be的中点 连接gm 1 分 11 bemcbe mc 四边形 1 bec m是平行四边形 故 1 ecbm 2 分 又bm 平面bmd 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 5 页 共 16页 1 ec平面bmd 3 分 同理可证 ne ag ag dm 故 ne dm ne平面bmd 4 分 又 1 ecne 平面 1 nec 且 1 nec ee 平面 1 nec平面bmd 又 1 nc 平面 1 nec 所以 1 nc平面bmd 5 分 2 法一 设二面角nbdm 为 二面角 nbda 为 根据对称性 二面角mbdc 的大小与二面角nbda 大小相等 故 2 sinsin 2 sin2 下面只需求二面角mbdc 的大小即可 7 分 由余弦定理得 222 2cos3bdadabad abdab 故 222 abadbd adbd 8 分 四棱柱 1111 abcdabc d 为直棱柱 1 dd 底面abcd 1 ddbd 9 分 又 1 ad dd 平面 11 add a 1 adddd bd 平面 11 bdd b 10 分 nd 平面 11 add a ndbd 所以二面角nbda 的大小为nda 即 nda 在rtnad 中 12 sin 22 an nd 11 分 4 2 二面角nbdm 的正弦值为1 12 分 法二 由余弦定理得 222 2cos3bdadabad abdab 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 6 页 共 16页 故 222 abadbd adbd 6 分 以d为坐标原点o 以 1 da dc dd分别为 x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系 依题意有 0 0 0 d 0 3 0 b 1 3 1 m 1 3 1 n 0 3 0 db 1 3 1 dm 1 3 1 dn 7 分 设平面mbd的一个法向量为 nx y z 0 0 n db n dm 30 30 y xyz 令1x 则1z 0y 1 0 1 n 9 分 同理可得平面nbd的一个法向量为 1 0 1 m 10 分 所以 0 cos 0 22 m n m n m n 11 分 所以二面角nbdm 的大小为 2 正弦值为1 12 分 命题意图 考察线面平行 线面垂直判定定理等基本知识 考查空间想象能力 计算能力 考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力 19 本小题满分 12 分 已知以f为焦点的抛物线 2 2 0 c ypx p 过点 1 2 p 直线l与c交于a b两点 m为 ab中点 且omopof uuuruu u ruuu r 1 当 3 时 求点m的坐标 2 当12oa ob uur uu u r 时 求直线l的方程 解 1 因为 1 2 p 在 2 2ypx 上 代入方程可得2p 所以c的方程为 2 4yx 焦点为 1 0 f 2 分 设 00 m x y 当 3 时 由 3omopof uuuruu u ruuu r 可得 2 2 m 4 分 2 法一 设 11 a x y 22 b x y 00 m x y 由om opof uuuruu u ruuu r 可得 00 1 2 0 xy 所以 0 2 y 所以l的斜率存在且斜率 12 12120 42 1 yy k xxyyy 7 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 7 页 共 16页 可设l方程为y xb 联立 2 4 yxb yx 得 22 24 0 xbxb 22 44 16 160bbb 2 可得 1b 9 分 则 12 42xxb 2 12 x xb 2 121 212 4y yx xb xxbb 所以 2 1212 412oa obx xy ybb uur uu u r 11 分 解得6b 或2b 舍去 所以直线l的方程为6yx 12 分 法二 设l的方程为x myn 11 a x y 22 b xy 00 m x y 联立 2 4 xmyn yx 得 2 440ymyn 2 16160mn 6 分 则 12 4yym 12 4y yn 2 1212 242xxm yynmn 所以 2 2 2 mmnm 7 分 由om opof uuuruu u ruuu r 得 2 21 22 0 mnm 所以1m 8 分 所以l的方程为x yn 由16 160n 可得 1n 9 分 由 12 4y yn 得 2 2 12 12 16 y y x xn 所以 2 1212 412oa obx xy ynn uur uu u r 11 分 解得6n 或2n 舍去 所以直线l的方程为6yx 12 分 命题意图 本题以直线与抛物线为载体 考查抛物线方程 直线与抛物线的位置关系 向量 的数量积运算 考查学生的逻辑推理 数学运算等数学核心素养及思辨能力 20 本小题满分 12 分 在传染病学中 通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起 到机体出现反应或开始 呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期 一研究团队统计了某地区名患者的 相关信息 得到如下表格 潜伏期 单位 天 2 0 4 2 6 4 8 6 10 8 12 10 14 12 人数 85 205 310 250 130 15 5 1 求这名患者的潜伏期的样本平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 1000 1000 x 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 8 页 共 16页 2 该传染病的潜伏期受诸多因素的影响 为研究潜伏期与患者年龄的关系 以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样 从上述名患者中抽取人 得到如下列联表 请将列联表补 充完整 并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 岁以上 含岁 100 岁以下 总计 3 以这名患者的潜伏期超过天的频率 代替该地区 名患者潜伏期超过天发生的概 率 每名患者的潜伏期是否超过天相互独立 为了深入研究 该研究团队随机调查了20名患者 其中潜伏期超过天的人数最有可能 即概率最大 是多少 附 0 05 0 025 0 010 3 841 5 024 6 635 2 2 dbcadcba bcadn k 其中dcban 解 1 5 451315111309250731052053851 1000 1 x天 2 分 2 根据题意 补充完整的列联表如下 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50岁以上 含50岁 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 则 21 25 10001080120 200 35554565 2 2 k2 083 5 分 经查表 得3 8412 083 2 k 所以没有95 的把握认为潜伏期与年龄有关 6 分 3 由题可知 该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 5 2 1000 400 7 分 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为x 则 5 2 02 bx kk k ckxp 02 02 5 3 5 2 0 k 1 2 20 8 分 1000200 95 5050 5055 200 1000616 6 6 0 2 kkp 0 k 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 9 页 共 16页 由 1 1 kxpkxp kxpkxp 得 kk k kk k kk k kk k cc cc 121 1 02 02 02 911 1 02 02 02 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 10 分 化简得 kk kk 3 12 2 02 2 1 3 解得 5 42 5 37 k 又n k 所以8 k 即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人 12 分 命题意图 以医学案例为实际背景 考查频数分布表 考查平均数 二项分布的随机变量概 率最大时的取值 考查分析问题 解决问题的能力 处理数据能力 建模能力和核心素养 21 本小题满分 12 分 已知函数 eln 1 x f xax 其中常数e 2 718 28 是自然对数的底数 1 若a r 求函数 f x的极值点个数 2 若函数 f x在区间 1 1 e a 上不单调 证明 11 1 a aa 解 1 易知 1 e 1 x xa fx x 1x 1 分 若0a 则 0fx 函数 f x在 1 上单调递增 函数 f x无极值点 即函数 f x的极值点个数为0 2 分 若0a 法一 考虑函数 1 e 1 x yxa x q 1 1 e0 a yaaaaa 1 0ya 函数 1 e 1 x yxa x 有零点 0 x 且 0 11xa qe0 x yx 函数 1 e 1 x yxa x 为单调递增函数 函数 1 e 1 x yxa x 有唯一零点 0 x 1 e 1 x xa fx x 亦存在唯一零点 0 x 4 分 当 0 1 xx 时 易知 0fx 即函数 f x在 0 1 x上单调递减 当 0 xx 时 易知 0fx 即函数 f x在 0 x 上单调递增 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 10 页 共 16页 函数 f x有极小值点 0 x 即函数 f x的极值点个数为1 5 分 综上所述 当0a 时 函数 f x的极值点个数为0 当0a 时 函数 f x的极值点个数为1 法二 易知函数exy 的图象与 1 a y x 0 a 的图象有唯一交点 00 m x y 0 0 e 1 x a x 且 0 1x 3 分 当 0 1 xx 时 易知 0fx 即函数 f x在 0 1 x上单调递减 当 0 xx 时 易知 0fx 即函数 f x在 0 x 上单调递增 函数 f x有极小值点 0 x 即函数 f x的极值点个数为1 4 分 综上所述 当0a 时 函数 f x的极值点个数为0 当0a 时 函数 f x的极值点个数为1 注 第 注 第 1 问采用法二作答的考生应扣采用法二作答的考生应扣 1 分 即总分不得超过分 即总分不得超过 4 分 分 法三 对于0a 必存在 nn 使得 2lna n a 即2lnnaa qe1 na 1e2ln eee0 na nanaa aaa 1 e ee 1e 0 e na na na na a f 又 1 1 e 1 e10 a a aa fa a 函数 1 e 1 x xa fx x 有零点 不妨设其为 0 x 显然 e 1 1 x a fxx x 为递增函数 0 x为函数 fx 的唯一零点 4 分 当 0 1 xx 时 易知 0fx 即函数 f x在 0 1 x上单调递减 当 0 xx 时 易知 0fx 即函数 f x在 0 x 上单调递增 函数 f x有极小值点 0 x 即函数 f x的极值点个数为1 5 分 综上所述 当0a 时 函数 f x的极值点个数为0 当0a 时 函数 f x的极值点个数为1 2 q函数 f x在区间 1 1 e a 上不单调 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 11 页 共 16页 存在 0 1 1 e a x 为函数 f x的极值点 6 分 由 1 可知0a 且 1 e ee 1 e 0 e a a a a a f 即 1 e e a a a 两边取对数得1 eln a aa 即1 eln a aa 7 分 法一 欲证 11 1 a aa 不妨考虑证 11 1 eln 1 a a aa 先证明一个熟知的不等式 e1 x x 令g e1 x xx 则g e1 x x g 0 0 不难知道函数g x的极小值 即最小值 为g 0 0 e10 x x 即e1 x x 8 分 思路 1 放缩思想 11 e e1 a a a 即 1 e 1 a a 9 分 又 1 1 1 ea a 1 1 e a a 1 1lna a 即 1 1lna a 11 分 11 1 eln 1 a a aa 11 1 a aa 12 分 思路 2 构造函数 令 1 ln1aa a 则 22 111 a a aaa 不难知道 函数 a 有最小值 1 0 0a 10 分 当0a 时 1e1 e0 1 1 e a a a a aa 11 分 11 ln1e0 1 a a aa 即 11 1 eln 1 a a aa 11 1 a aa 12 分 法二 令 1 eln x f xxx 则 1 e10 x f x x 函数 f x为单调递减函数 显然 2 2ln220f 且 0f a 02a 若01a 则 111 1 a aaa 即 11 1 a aa 成立 8 分 若12a 只需证 11 1 eln 1 a a aa 不难证明 1114 173aaa 只需证明 14 1 eln 73 a a a 9 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 12 页 共 16页 令 14 eln1 73 a g aa a 12a 则 22 198198 e 73 73 a g a aaaa 当12a 时 2 22 19849569 73 73 aa aaaa 显然函数 2 49569yaa 在 1 2 上单调递增 且 1 20y 0g a 即函数 g a为单调递增函数 10 分 当12a 时 212e5 1 0 5e5e g ag 即 0g a 11 分 14 1 eln 73 a a a 即 11 1 a aa 综上所述 必有 11 1 a aa 成立 12 分 法三 同 法二 得02a 若01a 则 111 1 a aaa 即 11 1 a aa 成立 8 分 若12a 只需证 11 1 eln 1 a a aa 令 11 eln1 1 a g aa aa 12a 则 222 111 ee 1 1 aa a g a aaa 下证当12a 时 2 1 e0 1 a a 即证 2 e 1 a a 即证 2 e1 a a 9 分 令 2 e1 a h aa 12a 则 2 1 e1 2 a h a 当2ln2a 时 0h a 不难知道 函数 h a在 1 2ln2 上单调递减 在 2ln2 2 上单调递增 函数 h a的最大值为 1 h 或 2 h中的较大值 显然 1 e20h 且 2 e30h 函数 h a的最大值小于0 即 0h a 亦即 2 e1 a a 10 分 2 1 e0 1 a a 即 0g a 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 13 页 共 16页 函数 11 eln1 1 a g aa aa 12a 单调递增 易知 11 1 0 2e g 0g a 即 11 1 eln 1 a a aa 11 分 当12a 时 有 11 1 a aa 成立 综上所述 11 1 a aa 12 分 命题意图 本题以基本初等函数及不等式证明为载体 考查学生利用导数分析 解决问题 的能力 分类讨论思想及逻辑推理 数学运算等数学核心素养 具有较强的综合性 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中 直线 1 c的参数方程为 sin cos32 ty tx t为参数 为倾斜角 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 c的极坐标方程为 sin4 1 求 2 c的直角坐标方程 2 直线 1 c与 2 c相交于fe 两个不同的点 点p的极坐标为 2 3 若pfpeef 2 求直线 1 c的普通方程 解 1 由题意得 2 c的极坐标方程为 sin4 所以 sin4 2 1 分 又 sin cos yx 2 分 代入上式化简可得 04 22 yyx 3 分 所以 2 c的直角坐标方程4 2 22 yx 4 分 2 易得点p的直角坐标为 0 32 将 sin cos32 ty tx 代入 2 c的直角坐标方程 可得 012 sin4cos34 2 tt 5 分 22 4 3cos4sin 48 8sin 480 3 解得 3 sin 32 或 3 sin 32 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学 理科 试题参考答案 第 14 页 共 16页 不难知道 必为锐角 故 3 sin 32 所以 2 333 即 0 3 6 分 设这个方程的两个实数