江苏省扬州市江都市大桥中学2012-2013学年高一数学下学期期末试卷（解析版）苏教版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省扬州市江都市大桥中学高一 下 期末数学学年江苏省扬州市江都市大桥中学高一 下 期末数学 试卷试卷 一 填空题一 填空题 1 3 分 2013 成都模拟 某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计 得 到样本频率分布直方图 如图 则这 1000 名学生在该次自主招生水平测试中不低于 70 分 的学生数是 600 考点 频率分布直方图 专题 计算题 概率与统计 分析 根据频率分布直方图 算出成绩不低于 70 分的 3 个组的面积之和为 0 6 从而得到 成绩不低于 70 分的学生的频率为 0 6 由此即可得到这 1000 名学生在该次自主招生 水平测试中不低于 70 分的学生数 解答 解 根据频率分布直方图 可得 成绩在 70 80 的小组的小矩形面积为 S1 10 0 035 0 35 在 80 90 的小组的小矩 形面积为 S2 10 0 015 0 15 在 90 100 的小组的小矩形面积为 S3 10 0 010 0 10 成绩不低于 70 分的学生所在组的面积之和为 S S1 S2 S3 0 6 即成绩不低于 70 分的学生的频率为 0 6 由此可得 这 1000 名学生在该次自主招生水平测试中不低于 70 分的学生数是 1000 0 6 600 故答案为 600 点评 本题给出频率分布直方图 求 1000 名学生在该次自主招生水平测试中不低于 70 分 的学生数 着重考查了频率分布直方图的理解和频数的求法等知识 属于基础题 2 3 分 已知向量 且 则 tanx 考点 平面向量共线 平行 的坐标表示 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 分析 根据题意 由向量平行的坐标表示可得 cosx 1 sinx 2 0 化简可得 2 cosx 2sinx 根据同角三角函数的商数关系 tanx 计算可得答案 解答 解 根据题意 则有 cosx 1 sinx 2 0 即 cosx 2sinx 则 tanx 故答案为 点评 本题考查向量平行的坐标表示 注意向量表示时必须在其上加带箭头的横线 3 3 分 2011 安徽模拟 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x x2 2x x 0 若 f 3 a2 f 2a 则实数 a 的取值范围是 3 a 1 考点 奇函数 函数单调性的性质 专题 计算题 分析 先判断函数 f x x2 2x x 0 是增函数 要求 a 的取值范围 先要列出关于 a 的不等式 这需要根据原条件 然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关 系 解答 解 函数 f x x2 2x x 0 是增函数 且 f 0 0 f x 是奇函数 f x 是 R 上的增函数 由 f 3 a2 f 2a 于是 3 a2 2a 因此 解得 3 a 1 故答案为 3 a 1 点评 本体属于函数性质的综合性题目 考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能 力 4 3 分 2012 江西模拟 已知实数 a 0 给出下列命题 函数的图象关于直线对称 函数的图象可由 g x asin2x 的图象向左平移个单位而 得到 把函数的图象上的所有点的纵坐标保持不变 横坐标缩短到原 来的 倍 可以得到函数 的图象 若函数R 为偶函数 则 其中正确命题的序号有 把你认为正确的命题的序号都填上 3 考点 命题的真假判断与应用 正弦函数的奇偶性 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 综合题 分析 根据正弦曲线对称轴的公式 可得直线不是函数图象的对称轴 故 不正确 根据函数图象平移的公式 可得 正确 根据函数 y Asin x 图象的变换公 式 得到 正确 根据正余弦函数的奇偶性 结合诱导公式 可得 正确 解答 解 对于 因为时 的值是 0 不是最值 故直 线不是函数图象的对称轴 故 不正确 对于 根据函数图象平移的公式 可得 g x asin2x 的图象向左平移个单位 得到 g x 所以可由 g x asin2x 的图象向左平移个单位而得到 故 正确 对于 根据函数 y Asin x 图象的变换公式 得函数 的图象上的所有点的纵坐标保持不变 横坐标缩短到原来 的 倍 得到函数 的图象 故 正确 对于 若函数R 为偶函数 则 f x 可以化 简为 acos2x 或 acos2x 因此 k 解之得 故 正确 故答案为 点评 本题以命题真假的判断为载体 着重考查了函数 y Asin x 的图象变换 正 弦函数的奇偶性和函数图象平移规律等概念 属于基础题 5 3 分 已知向量 则的最小值 是 考点 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 专题 空间向量及应用 分析 利用空间向量的模长公式求 然后利用函数的性质求最小组 4 解答 解 因为 所以 2 1 t 2 1 t 2 t2 3t2 2 2 所以 即当 t 0 时 的最小值是 故答案为 点评 本题主要考查空间向量的向量坐标运算以及二次函数的最值问题 6 3 分 有下列命题中假命题的序号是 x 0 是函数 y x3的极值点 三次函数 f x ax3 bx2 cx d 有极值点的充要条件是 b2 3ac 0 奇函数 f x mx3 m 1 x2 48 m 2 x n 在区间 4 4 上单调递减 若双曲线的渐近线方程为 则其离心率为 2 考点 命题的真假判断与应用 专题 函数的性质及应用 分析 用极值点的定义的来判断 通过导数有不等根来判断 用 f x 0 x 4 4 恒成立来判断 若双曲线的渐近线方程为 则 或 可求离心率 解答 解 取导函数 可得 y 3x2 0 函数在 R 上单调递增 函数无极值点 故 是假命题 求导函数 可得 f x 3ax2 2bx c 三次函数 f x ax3 bx2 cx d 有极值 点的充要条件是导数有不等根 即 4b2 12ac 0 即 b2 3ac 0 故是真命题 函数是奇函数 f x f x 求得 m 1 n 0 f x 3x2 48 0 x 4 4 恒成立 f x mx3 m 1 x2 48 m 2 x n 在区间 4 4 上是单调减函数 故是 真命题 若双曲线的渐近线方程为 则或 其离心率为 2 或 故是假命题 故答案为 点评 本题考查函数的极值与单调性 考查双曲线的几何性质 考查学生分析解决问题的 能力 属于基础题 5 7 3 分 如图 空间四边形 ABCD 中 若 AD 4 BC 4 E F 分别为 AB CD 中点 且 EF 4 则 AD 与 BC 所成的角是 考点 异面直线及其所成的角 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 取 AC 中点 G 连结 EG FG 根据三角形中位线定理得到 EG BC 且 FG AD EGF 或其补角 就是 AD 与 BC 所成的角 再在 EFG 中算出 EF2 16 EG2 EG2 可得 EGF 即得 AD 与 BC 所成的角等于 解答 解 取 AC 中点 G 连结 EG FG EG FG 分别是 ABC ACD 的中位线 EG BC 且 FG AD 可得 EGF 或其补角 就是 AD 与 BC 所成的角 EFG 中 EG BC 2 FG AD 2 EF2 16 EG2 EG2 可得 EGF 即 AD 与 BC 所成的角等于 故答案为 点评 本题给出空间四边形形相对棱的长度 在已知对边中点连线长度的情况下求异面直 线所成角 着重考查了三角形中位线定理和异面直线的定义及其求法的知识 属于 中档题 8 3 分 在数列 an 中 a1 1 a2 2 且 an 2 an 1 1 n n N 则 a1 a2 a3 a51 676 考点 数列的求和 6 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 依题意 可求得 a1 a3 a5 a51 1 a2n 是以 2 为首项 2 为公差的等差数列 从 而可求得 a1 a2 a3 a51的值 解答 解 数列 an 中 a1 1 a2 2 且 an 2 an 1 1 n n N a3 a1 0 a5 a3 0 a51 a49 0 a1 a3 a5 a51 1 由 a4 a2 2 得 a4 2 a2 4 同理可得 a6 6 a8 8 a50 50 a1 a2 a3 a51 a1 a3 a5 a51 a2 a4 a50 26 676 故答案为 676 点评 本题考查数列的求和 着重考查等差数列的判定与求和 突出考查分组求和 属于 中档题 9 3 分 2010 济南二模 与圆 C x2 y2 2x 2y 1 0 相切的直线与 x 轴 y 轴的正半 轴交于 A B 且 oA 2 OB 2 则三角形 AOB 面积的最小值为 考点 直线与圆的位置关系 专题 计算题 分析 把圆的方程化为标准式方程后 找出圆心坐标和半径 设出 A 和 B 的坐标 利用 A 和 B 的坐标写出直线 AB 的方程 因为直线 AB 与圆相切 利用点到直线的距离公式 表示出圆心到直线的距离 d 并让 d 等于半径 r 列出关于 a 和 b 的关系式 然后设 a 2 等于 m 大于 0 b 2 等于 n 大于 0 利用三角形的面积公式表示出三角形 AOB 的面积 利用基本不等式求出面积的最小值即可 解答 解 将圆 C 的方程化为标准式方程得 x 1 2 y 1 2 1 圆心 C 1 1 半径 r 1 设 A a 0 B 0 b 则直线 AB 的方程为 1 即 bx ay ab 0 圆心 C 1 1 到直线 AB 的距离 d r 1 即 1 两边平方得 2ab 2ab b a a2b2 a2 b2 ab 0 2 2 b a ab 0 a 2 b 2a 4 2 a 2 b 2 2 由 oA 2 OB 2 可设 a 2 m 0 b 2 n 0 且 mn 2 7 所以 S AOB ab m 2 n 2 mn 2m 2n 4 mn 2 4 3 2 当且仅当 m n 即 a b 时取等号 所以三角形 AOB 面积的最小值为 3 2 故答案为 3 2 点评 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件 灵活运用点到直线的距离公式化 简求值 会利用基本不等式求函数的最值 是一道中档题 10 3 分 若方程 lgkx 2lg x 1 仅有一个实根 那么 k 的取值范围是 k 4 或 k 0 考点 根的存在性及根的个数判断 对数函数的图像与性质 专题 计算题 转化思想 分析 先将方程 lgkx 2lg x 1 转化为 lgkx 2lg x 1 0 先对参数 k 的取值范围进 行分类讨论 得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围 得出答 案 解答 解 由题意 当 k 0 时 函数定义域是 0 当 k 0 时 函数定义域是 1 0 当 k 0 时 lgkx 2lg x 1 lgkx 2lg x 1 0 lgkx lg x 1 2 0 即 kx x 1 2在 0 仅有一个解 x2 k 2 x 1 0 在 0 仅有一个解 令 f x x2 k 2 x 1 又当 x 0 时 f x x2 k 2 x 1 1 0 k 2 2 4 0 k 2 2 k 0 舍 或 4 k 0 时 lgkx 无意义 舍去 k 4 当 k 0 时 函数定义域是 1 0 函数 y kx 是一个递减过 1 k 与 0 0 的线段 函数 y x 1 2在 1 0 递增且过两点 1 0 与 0 1 此时两曲线段恒有一个交点 故 k 0 符合题意 故答案为 k 4 或 k 0 点评 本题主要考查在对数方程的应用 要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及 其运算法则转化问题 11 3 分 已知曲线 C 为参数 和直线 为参数 则曲线 C 上的点到直线距离的最小值为 8 考点 圆的参数方程 直线的参数方程 专题 直线与圆 分析 化圆的参数方程为普通方程 化直线的参数方程为一般方程 求出圆心到直线的距 离 减去圆的半径即可得到答案 解答 解 由曲线 C 得圆的方程为 x 1 2 y2 1 所以圆心 C 1 0 半径为 1 由直线 得直线的一般方程为 圆心 C 到直线的距离 d 所以 曲线 C 上的点到直线距离的最小值为 故答案为 点评 本题考查了圆的参数方程和直线的参数方程 考查了参数方程化普通方程 体现了 数形结合的解题思想方法 是基础题 12 3 分 一个几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积为 cm3 考点 由三视图求面积 体积 专题 探究型 空间位置关系与距离 分析 由三视图确定该几何体的结构然后利用相应的体积公式进行求解 解答 解 由三视图可知该几何体是一个侧棱和底面垂直的四棱锥 其中以俯视图为底 底面为菱形 其中高 PD 1 底面菱形的对角线长为 2 9 所以四棱锥的体积为 故答案为 点评 本题主要考查三视图的识别以及几何体的体积公式 利用三视图进行还原是解决三 视图问题的基本方法 13 3 分 已知 6 x 8 2 y 3 则 x y 的范围是 9 6 的范围是 3 4 考点 简单线性规划 专题 计算题 不等式的解法及应用 分析 根据不等式的性质 可得当 x 取最大值 y 取最小值时 x y 有最大值 当 x 取最 小值 y 取最大值时 x y 有最小值 由此可得 x y 的范围 再分 x 的正负 用类 似的方法加以讨论 可求出 的范围是 3 4 解答 解 6 x 8 2 y 3 当 x 8 且 y 2 时 x y 的最大值为 6 且当 x 6 且 y 3 时 x y 的最小值为 9 因此 x y 的范围是 9 6 由 6 x 8 2 y 3 可得 当 0 x 8 时 0 当 x 8 且 y 2 时 有最大值是 4 10 当 6 x 0 时 0 当 x 6 且 y 2 时 有最小值是 3 的范围是 3 4 故答案为 9 6 3 4 点评 本题给出 x y 满足的不等式 求 x y 和 的范围 着重考查了不等式的基本性质和 变量取值范围求法等知识 属于基础题 14 3 分 2013 奉贤区二模 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器 已知该圆锥的母线与 底面所在的平面所成角为 45 容器的高为 10cm 制作该容器需要 100 cm2的铁 皮 考点 棱柱 棱锥 棱台的侧面积和表面积 专题 计算题 分析 由题意可得圆锥的底面半径和母线长 代入侧面积公式 S rl 计算可得 解答 解 由题意可得圆锥的底面半径 r 10 由勾股定理可得 圆锥的母线长为 l 10 故圆锥的侧面积 S rl 100 故答案为 点评 本题考查圆锥的侧面积的求解 求出底面半径和母线长是解决问题的关键 属基础 题 二 解答题二 解答题 15 2006 重庆 设函数 f x x3 3ax2 3bx 的图象与直线 12x y 1 0 相切于点 1 11 求 a b 的值 讨论函数 f x 的单调性 考点 导数的几何意义 函数单调性的判断与证明 分析 函数在切点处的导数值为切线斜率 切点在切线上 列方程解 11 导函数大于 0 对应区间是单调递增区间 导函数小于 0 对应区间是单调递减 区间 解答 解 求导得 f x 3x2 6ax 3b 由于 f x 的图象与直线 12x y 1 0 相切于点 1 11 所以 f 1 11 f 1 12 即 1 3a 3b 11 解得 a 1 b 3 3 6a 3b 12 由 a 1 b 3 得 f x 3x2 6ax 3b 3 x2 2x 3 3 x 1 x 3 令 f x 0 解得 x 1 或 x 3 又令 f x 0 解得 1 x 3 故当 x 1 时 f x 是增函数 当 x 3 时 f x 也是增函数 但当 x 1 3 时 f x 是减函数 点评 考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间 16 已知直线 4x 3y 12 0 截圆心在点 C 1 1 的圆 C 所得弦长为 1 求圆 C 的方程 2 求过点 1 2 的圆 C 的切线方程 考点 直线与圆相交的性质 直线与圆的位置关系 专题 直线与圆 分析 1 设圆 C 的半径为 R 求得圆心到直线 4x 3y 12 0 的距离为 d 1 再利用弦长公式求得半径 R 从而求得圆 C 的方程 2 分所求切线斜率不存在和切线的斜率存在两种情况 根据圆心到切线的距离等 于半径 分别求得圆 C 的切线方程 解答 解 1 设圆 C 的半径为 R 圆心到直线 4x 3y 12 0 的距离为 d 则有 d 1 故圆 C 的方程为 x 1 2 y 1 2 4 3 分 2 当所求切线斜率不存在时 即 x 1 满足圆心到直线的距离为 2 故 x 1 为所求的圆 C 的切线 4 分 当切线的斜率存在时 可设方程为 y 2 k x 1 即 kx y k 2 0 则 d 解得 故切线为 整理得 3x 4y 11 0 所以所求圆的切线为 x 1 与 3x 4y 11 0 6 分 点评 本题主要考查利用待定系数法求圆的方程 直线和圆相交的性质 点到直线的距离 12 公式 弦长公式的应用 属于中档题 17 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 直线 L 的方程为 x y 4 0 曲线 C 的参数方程为 1 求曲线 C 的普通方程 2 设点 Q 是曲线 C 上的一个动点 求它到直线 L 的距离的最小值 考点 椭圆的参数方程 直线与圆锥曲线的关系 专题 计算题 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析 1 把椭圆的参数方程右边的系数都化为 1 然后直接平方作和即可得到答案 2 设出与已知直线平行的直线方程 和椭圆联立后由判别式等于 0 解出该直线方 程 然后由两平行线间的距离公式求出曲线上的动点到直线 x y 4 0 的距离 解答 解 1 由曲线 C 的参数方程为 得 2 2得 2 设与直线 L 平行的直线为 x y m 0 联立 得 4x2 6mx 3m2 3 0 由 36m2 16 3m2 3 12m2 48 0 得 m 2 所以当 m 2 时 即直线 x y 2 0 与椭圆相切时 椭圆上的动点为切点时到直线 x y 4 0 的距离最小 最小距离为 d 点评 本题考查了椭圆的参数方程 考查了直线与圆锥曲线的关系 考查了数学转化思想 方法 属中档题 18 一空间几何体的三视图如图所示 求该几何体的体积 13 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 该空间几何体为一圆柱和一正四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 四棱锥 的底面对角线长为圆的直径为 2 边长为 高为 分别计算体积 再相加即 可 解答 解 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为 12 2 2 2 四棱锥的底面边长为 高为 体积为 所以该几何体的体积为 2 点评 本题是基础题 考查三视图与几何体的关系 空间想象能力 逻辑思维能力 常考 题型 19 已知函数 f x x3 3x 1 求函数 f x 在 3 上的最大值和最小值 2 过点 P 2 6 作曲线 y f x 的切线 求此切线的方程 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 分析 1 先求出函数的导数 然后判断在要求区间内导数的正负情况 从而可得出最大 值与最小值 2 根据导函数的定义可求出切线的斜率 然后根据点 P 的坐标可求出切线的方 程 解答 解 1 f x 3 x 1 x 1 当 x 3 1 或 x 1 时 f x 0 3 1 1 为函