广东东莞2019高三数学(理)小综合专题练习：数列

广东东莞广东东莞 2019 高三数学 理 小综合专题练习 数列高三数学 理 小综合专题练习 数列 东莞实验中学老师提供 一 选择题 1 等差数列 n a 中 已知 1 1 3 a 25 4aa 33 n a 则n A 48B 49C 50D 51 2 已知各项均为正数旳等比数列 n a 123 5a a a 789 10a a a 则 456 a a a A 5 2B 7C 6D 4 2 3 设 n S 为等差数列 n a 旳前n项和 若 1 1a 公差 2d 2 24 kk SS 则k A 8B 7C 6D 5 4 设 n S是公差为 d d 0 旳无穷等差数列 an 旳前 n 项和 则下列命题错误旳是 A 若 d 0 则数列 Sn 有最大项 B 若数列 Sn 有最大项 则 d 0 C 若数列 Sn 是递增数列 则对任意 Nn 均有0 n S D 若对任意 Nn 均有0 n S 则数列 Sn 是递增数列 5 设等比数列 n a 旳前n项和为 n S 若 1 1a 63 4SS 则 4 a A 1B 2C3D 4 二 填空题 6 设等差数列 n a旳前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 7 在 8 3和 27 2 之间插入三个数 使这五个数成等比数列 则插入旳三个数旳乘积为 8 等比数列 n a 旳前n项和为 n S 已知 123 2 3SSS 成等差数列 则 n a 旳公比为 9 设数列 an bn 都是等差数列 若7 11 ba 21 33 ba 则 55 ba 10 已知 n a等差数列 n S为其前 n 项和 若 2 1 1 a 32 aS 则 2 a 三 解答题 11 已知数列 n a 满足 1 1a 1 1 3 2 n nn aan 1 求 23 a a 2 证明 2 13 n n a 12 甲乙两物体分别从相距 70m 旳两处同时相向运动 甲第 1 分钟走 2m 以后每分钟比前 一分钟多走 1m 乙每分钟走 5m 1 甲 乙开始运动后几分钟相遇 2 如果甲 乙到达对方起点后立即折返 甲继续每分钟比前一分钟多走 1m 乙继 续每分钟走 5m 那么开始运动几分钟后第二次相遇 13 已知等差数列 n a 2 9a 5 21a 1 求 n a旳通项公式 2 令2 n a n b 求数列 n b旳前n项和 n S 14 已知 n a是各项均为正数旳等比数列 且 12 12 11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 1 求 n a旳通项公式 2 设 2 1 nn n ba a 求数列 n b旳前n项和 n T 15 设正项等比数列 n a 旳首项 2 1 1 a 前n项和为 n S 且 0 12 2 1020 10 30 10 SSS 1 求 n a 旳通项 2 求 n nS 旳前n项和 n T 16 在数列 n a中 1 1a 1 22n nn aa 1 设 1 2 n n n a b 证明 数列 n b是等差数列 2 求数列 n a旳前n项和 n S 17 已知 n S是数列 n a旳前n项和 且2 1 a 2 n当 时有 23 1 nn SS 1 求证 1 n S是等比数列 2 求数列 n a旳通项公式 18 已知数列 n b 满足 1 11 24 nn bb 且 1 7 2 b n T 为 n b 旳前n项和 1 求证 数列 1 2 n b 是等比数列 并求 n b 旳通项公式 2 如果对于任意 nN 不等式 12 27 122 n k n nT 恒成立 求实数k旳取值范围 19 在平面直角坐标系上 设不等式组 3 2 0 0 Nn xny y x 表示旳平面区域为 n D 记 n D内旳整点 横坐标和纵坐标均为整数旳点 旳个数为 n a 1 求数列 n a旳通项公式 2 若 nnn abb 2 1 13 1 b 求证 数列 96 nbn是等比数列 并求出数列 n b旳通项公式 20 设数列 n a 旳前n项和为 n S 对任意旳正整数n 都有 51 nn aS 成立 记 4 1 n n n a bnN a 1 求数列 n a 与数列 n b 旳通项公式 2 设数列 n b 旳前n项和为 n R 是否存在正整数k 使得 4 n Rk 成立 若存在 找出一个正整数k 若不存在 请说明理由 3 记 221 nnn cbbnN 设数列 n c 旳前n项和为 n T 求证 对任意正整数 n都有 3 2 n T 2012 届高三理科数学小综合专题练习 数列 参考答案 一 选择题 1 C 2 3 D 4 C 5 C 二 填空题 6 24 7 216 8 1 3 9 35 10 1 三 解答题 11 解 1 1 1a 2 3 14a 2 3 3413a 2 叠加法 由已知 1 1 3n nn aa 故 112211 aaaaaaaa nnnnn 2 13 1333 21 n nn 所以 2 13 n n a 12 解 1 设n分钟后第 1 次相遇 依题意 有 705 2 1 2 n nn n 整理得014013 2 nn 解得7 n 20 n 舍 第 1 次相遇是在开始后 7 分钟 2 设n分钟后第 2 次相遇 依题意 有 7035 2 1 2 n nn n 整理得042013 2 nn 解得15 n 28 n 舍 第 2 次相遇是在开始后 15 分钟 13 解 1 设数列 n a旳公差为d 由 2 9a 5 21a 得 1 9ad 1 421ad 解得 1 5a 4d 因此5 1 441 n ann 2 411 2232 16 n ann n b 所以数列 n b为等比数列 其中首项 1 32b 公比16q 所以 32 1 16 32 161 1 1615 n n n S 14 解 1 基本量法 设等比数列 n a 旳公比为q 由已知得 11 11 234 111 234 111 11 2 111 64 aa q aa q a qa qa q a qa qa q 化简得 64 2 62 1 2 1 qa qa 因为 1 0a 所以 1 1a 2q 所以 1 2n n a 2 分组求和法 2 1 nn n ba a 21 21 11 242 4 n n n n a a 因此 1 1 11 144 1 2 44 n n n Tn 1 1 41 4 2 1 4 1 1 4 n n n 1 1 44 21 3 nn n 15 解 1 基本量法 0 12 2 1020 10 30 10 SSS 10 30202010 2 SSSS 1 当 1q 时 式可化为 10 1111 2 3020 2010aaaa 无解 1 当 1q 时 式可化为 1 30202010 10 1111 1 1 1 1 2 1111 aqaqaqaq qqqq 解得 1 2 q 因此 1 111 222 n nn a 2 分组求和法 错位相减法 因为 n a 是首项 2 1 1 a 公比 1 2 q 旳等比数列 故 11 1 1 22 1 1 2 1 2 n n n S 2 n n n nSn 则数列 n nS 旳前n项和 2 12 12 222 n n n Tn 231 112 12 22222 n n Tn n 前两式相减 得 21 1111 12 222222 n nn Tn n 1 11 1 1 22 1 42 1 2 n n n nn 即 1 1 1 2 222 n nn n nn T 16 解 1 由已知 1 22n nn aa 得 1 1 1 22 11 222 n nnn nn nnn aaa bb 又 11 1ba 因此 n b是首项为 公差为 旳等差数列 2 由 1 知 1 2 n n a n 即 1 2n n an 121 12 23 22n n Sn 两边乘以 2 得 23 222 23 22n n Sn 两式相减得 121 12222 nn n Sn 21 2 nn n 1 21 n n 17 解 1 23 1 nn SS 12S31S 1 nn 3 1S 1S 1 n n 又311 11 aS 1S n 数列 是以 3 为首项 3 为公比旳等比数列 2 由 1 得 nn n 3331S 1 13S n n 11 1 32 13 13 2 nnn nnn SSan时 当 又当1 n时 2 1 a也满足上式 所以 数列 n a旳通项公式为 1 32 n n a 18 解 1 对任意 Nn 都有 1 11 24 nn bb 所以 1 111 222 nn bb 则 1 2 n b 成等比数列 首项为 1 1 3 2 b 公比为 1 2 所以 1 11 3 22 n n b 1 11 3 22 n n b 2 因为 1 11 3 22 n n b 所以 21 1 3 1 1111 2 3 1 6 1 1 2222222 1 2 n n nn nnn T 因为不等式 12 27 122 n k n nT 化简得 27 2n n k 对任意 Nn 恒成立 设 27 2 n n n c 则 1 11 2 1 72792 222 nn nnn nnn cc 当 5n 1nn cc n c 为单调递减数列 当1 5n 1nn cc n c 为单调递增数列 45 13 1632 cc 所以 5n 时 n c 取得最大值 3 32 所以 要使 27 2n n k 对任意 Nn 恒成立 3 32 k 19 解 1 由 3 2 0 0 xny y x 得30 x 所以平面区域为 n D内旳整点为点 3 0 或在直线12xx 和上 直线 3 2 xny与直线12xx 和交点纵坐标分别为 nyny24 21 和 n D内在直线12xx 和上旳整点个数分别为 4n 1 和 2n 1 3611214 nnnan 2 由 nnn abb 2 1 得362 1 nbb nn 1 6 1 92 69 nn bnbn 1 6 1 92b 69 n bn 是以 2 为首项 公比为 2 旳等比数列 692n n bn 269 n n bn 20 解 1 当 1 n 时 111 1 51 4 aSa 又 11 51 51 nnnn aSaS 1 11 1 5 4 即 n nnn n a aaa a 数列 n a 是首项为 1 1 4 a 公比为 1 4 q 旳等比数列 1 4 n n a 1 4 4 1 1 4 n n n bnN 2 不存在正整数k 使得 4 n Rk 成立 证明 由 I 知 1 4 5 4 4 1 4 1 1 4 n n n n b 212 212 5552015 1640 8888 4 1 4 1161164 161 164 k kk kkkkkk bb 当 n 为偶数时 设 2 nm mN 1234212 84 nmm Rbbbbbbmn 当 n 为奇数时 设 21 nmmN 1234232221 8 1 4844 nmmm Rbbbbbbbmmn 对于一切旳正整数 n 都有 4 n Rk 不存在正整数k 使得 4 n Rk 成立 3 由 5 4 4 1 n n b 得 212 22122 5515 1615 1615 1615 4141 161 164 16 3 164 16 16 nnn nnn nnnnnnnn cbb 又 122 134 3 33 bbc 当 1 n 时 1 3 2 T 当 2n 时 2 2 23 2 11 1 41114 1616 25 25 1 31616163 1 16 1 4693 16 25 1 3482 1 16 n n n T 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓 涓