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文档简介

当 R3 有X x y z d dv 则 三重积分 1 直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下 记体积元素 dv dxdydz 则 三重积分 1 1 化成一个定积分和一个二重积分 设D为 在xy平面上投影区域 y y1 x b a y y2 x 2 例1 计算 其中 是由平面x y z 1 与三个坐标面所围闭区域 解 D 0 y 1 x 0 x 1 3 例2 计算 其中 是由抛物 柱面 及平面y 0 z 0 解 D 0 y 0 x 4 y y1 x z z 0 y y2 x z Dxz y x 5 x x2 y z z 0 x x1 y z Dyz y x 6 例3 将 化为三次定积分 其中 是由z x2 y2和z 1所围的闭区域 解 先对z积分 将 向xy平面投影 z x2 y2 x2 y2 1 D x2 y2 1 z 1 z 1 7 x y z 0 1 Dxy z 1 z x2 y2 8 解2 先对y积分 将 向xz平面投影 z x2 y2 Dxy x2 z 1 z 1 1 x 1 z x2 y2 9 2 化为一个二重积分和一个定积分 x y D z z1 z z2 10 例4 计算 其中 是由z x2 y2和z 1 所围成的闭区域 解 D z x2 y2 z z 0 1 11 例5 计算 解 D x 0 y 1 x 0 z 1 x y x 0 x 1 其中 是由平面x y z 1 与三个坐标面所围闭区域 12 2 利用柱面坐标计算三重积分 M r z x rcos y rsin z z 0 r 0 2 z r z M y x 13 柱面坐标的三组坐标面分别为 r 常数 常数 z 常数 14 r 故dxdydz rdrd dz 15 例1 计算 其中 由 与z 1所围闭区域 解 D x2 y2 1 z r z r z 1 16 D 17 例2 计算 x y z x2 y2 z2 1 z 0 解 D x2 y2 1 18 例3 再解例1 其中 是由 与z 1所围闭区域 解 用 截 得D 而0 2 故 原积分 19 x z y 20 例4 再解例2 其中 x y z x2 y2 z2 1 z 0 解 用 截 得D 而0 2 故 原积分 21 x y z 0 22 3 利用球面坐标计算三重积分 M r x OPcos z rcos 0 r 0 0 2 y OPsin rsin cos rsin sin 23 球面坐标的三组坐标面 r 常数 常数 常数 dxdydz r2sin drd d 24 例5 计算 其中 x y z x2 y2 z2 1 z 0 解 x2 y2 z2 1 r 1 而0 2 故 用 截 得D 原积分 25 x y z 0 z 26 例6 和x2 y2 z2 a2所围成闭区域 解 x2 y2 z2 a2 r a 原积分 27 28
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