山西省山西大学附中2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）

1 山西省山西大学附中山西省山西大学附中 2019 20202019 2020 学年高一数学上学期学年高一数学上学期 1010 月月考试题月月考试题 含解析 含解析 考试时间 考试时间 9090 分钟 分钟 考查范围 以集合函数不等式为主 考查范围 以集合函数不等式为主 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 集合与的关系是 0 a b c d 0 0 0 0 答案 a 解析 分析 根据空集为任意集合的子集 空集为任意非空集合的真子集 得出选项 详解 因为空集为任意集合的子集 空集为任意非空集合的真子集 故选 0 a 点睛 本题考查空集的含义以及集合间的关系 属于基础题 2 关系 其中正确的个数是 3 217x x 3q 0n 0 a b c d 4321 答案 c 解析 分析 根据元素与集合间的关系和特殊集合 有理数集 自然数集 空集所表示的具体含义可得选 项 详解 对于 故 正确 22 3 2181717 3 217x x 对于 是无理数 不是有理数 故 错误 3 对于 是自然数 故 正确 0 对于 空集中不含任何元素 故 错误 所以共有 2 个关系正确 故选c 点睛 本题考查特殊集合 有理数集 自然数集 空集所表示的具体含义和元素与集合的 2 关系 属于基础题 3 当时 则的单调递减区间是 0 x 2 f xx x f x a b 0 2 c d 2 2 0 2 答案 d 解析 解 因为当 x 0 时 则 2 22 222 1 x f xxfx xxx 因此所求的单调递减区间为 选 d 0 2 4 设则 2 12 1 1 1 1 xx f x x x 1 2 f f a b c d 1 2 9 5 4 13 25 41 答案 c 解析 分析 根据自变量代入对应解析式 再根据函数值代入对应解析式得结果 1 2 f 详解 因为 所以 选 c 113 12 222 f 2 114 3 213 1 2 ff 点睛 求分段函数的函数值 要先确定要求值的自变量属于哪一段区间 然后代入该段的 解析式求值 当出现的形式时 应从内到外依次求值 f f a 5 下列各组中 不同解的是 3 a 与 2 1 412 x xx 2 412xxx b 与 326xxx r 22 326xx c 与或 2 23xx 2 23xx 2 23xx d 与 23 0 12 xx xx 23120 xxxx 答案 d 解析 分析 a中 可判断两个不等式的解集相同 22 412 2 880 xxx b中由于与等价 可得两个不等式的解集相同 ab 22 ab c中根据绝对值不等式等价于或知 两个不等式的解集相同 0 xa a xa xa d中由知两个不等式不同解 由此可得选项 0 0 0 f xg xg x f xf x 详解 对于a 所以与 22 412 2 880 xxx 2 1 412 x xx 两个不等式的解集相同 2 412xxx 对于b 因为与等价 所以与两 ab 22 ab 326xxx r 22 326xx 个不等式的解集相同 对于c 根据绝对值不等式等价于或知 与 0 xa a xa xa 2 23xx 或的解集相同 2 23xx 2 23xx 对于d 根据知 等价于 0 0 0 f xg xg x f xf x 23 0 12 xx xx 4 且 所以d中的两个不等式不同解 23120 xxxx 120 xx 故选d 点睛 本题考查不等式的同解问题 注意分式不等式中的分母的符号的判断和分母不为 0 的要求 绝对值不等式的基本等价转化的形式 属于基础题 6 已知函数对任意都有成立 且 则 f x x yr f xyf xfy 24f 1f a b c d 2 1 1 22 答案 a 解析 分析 分别令 即可得解 0 xy 1xy 1 1xy 详解 解 令 则有 即 得 0 xy 0000fff 020ff 00f 令 则有 即 1xy 111 124ffff 12f 令 则有 1 1xy 11 1 100ffff 12f 故选a 点睛 本题考查抽象函数及应用 考查解决抽象函数的常用方法 赋值法 7 函数的单调递减区间是 2 23yxx a b c d 3 4 4 4 答案 a 解析 分析 5 先求出函数的定义域 再根据二次函数的单调性和的单调性 结合复合函数的单调性 yu 的判断可得出选项 详解 因为 所以或 即函数 2 23f xxx 2 2303xxx 1x 定义域为 f x 31 设 所以在上单调递减 在上单调递增 2 23uxx u 3 u 1 而在单调递增 由复合函数的单调性可知 的单调递减区 yu 0 2 23yxx 间为 3 故选a 点睛 本题考查复合函数的单调性 注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域 属于基础题 8 对于集合 定义 mn mnx xmxn 且 设 则 mnmnnm 9 4 ay y 0by y ab a b 9 0 4 9 0 4 c d 9 0 4 9 0 4 答案 c 解析 分析 由根据定义先求出集合和集合 再求这两个集合的并集可得 得解 ab ba ab 详解 因为 9 4 ay y 0by y 0 aby y 9 4 bay y 6 所以 99 0 0 44 ababbay yy y 故选c 点睛 本题考查集合的交 并 补集的运算 解题时注意理解和的含义 属 ab ba 于基础题 9 若 则关于的不等式的解集是 0a 0ab 0ac x c b ax a b c x axa b c x x ax a b 或 c d c x axa b c x x ax a b 或 答案 c 解析 分析 根据 得出的符号 并且得出的符号 再将移 0a 0ab 0ac a b c c b c b ax 项 通分 再比较与的大小后 可得解 a c a b 详解 由 所以 所以 0a 0ab 00acb 0c 0 c b c aa b 则 0 cb axcc bb axaxax 000 c xa bxcabc b xaxa axxab 由 解得 故选c c aa b c axa b 点睛 本题考查含参的分式不等式的解法 在解分式不等式时 在未确定分母的符号时 不可以运用去分母的方法化简分式不等式 可运用移项 通分 确定根的大小 得范围的步 7 骤来求解 属于中档题 10 设集合 则满足的的取值范围是 2 60mx xmx 1 2 3 6mm m a b 2 6 2 6m 2 6 2 6m c 或或d 或或 5m 7m 2 6 2 6m 5m 7m 2 6 2 6m 答案 d 解析 分析 由已知条件知是集合的子集 分集合是空集 集合 1 2 3 6mm m 1 2 3 6 m 只有一个元素 集合有两个元素三种情况讨论 当集合是空集时 一元二次方程 mmm 的根的判别式小于 0 求得的取值范围 集合只有一个元素时 一元 2 60 xmx mm 二次方程的根的判别式等于 0 解得的值 验证集合不满足题意 集 2 60 xmx mm 合有两个元素 且这两个元素之积是 6 时 运用韦达定理求得的值 综合以上的三种 mm 情况得出的取值范围 m 详解 由题意知是集合的子集 又因为 1 2 3 6mm m 1 2 3 6 所以 2 60mx xmx 1 当是空集时 即无解 所以 解得 m 2 60 xmx 2 240m 符合题意 2 6 2 6m 2 当中仅有一个元素 则 解得时 此时 m 2 240m 2 6m 的根是 不符合题意 舍去 2 60 xmx 6m 3 当中有两个元素时 并且这两个元素之积为 6 考察集合 m 1 2 3 6 1 6m 都符合题意 此时由韦达定理可得 或 2 3m 235m 1 67m 综上可得 的取值范围为或或 m5m 7m 2 6 2 6m 8 故选d 点睛 本题考查集合中的有关参数取值问题 涉及到的知识有集合的包含关系 一元二次方 程根的个数判断 一元二次方程根与系数的关系等知识 解题的关键是理解集合及条件 m 的含义 能利用一元二次方程根与系数的关系辅助做出判断 属于中档题 1 2 3 6 mm 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 4 4 分 满分分 满分 2020 分 分 11 若 则 2 1ax yx 2 1by yx ab 答案 1 解析 分析 集合a表示的是的定义域 根据二次根式的被开方数大于或等于 0 得出集合 2 1yx a 集合b表示的是的值域 根据求得集合b 从而得出 2 1yx 2 0 x ab 详解 故 2 10 x 11x 1 1 a 又因为 故 所以 2 1 1yx 1 b 1ab 故填 1 点睛 本题考查集合的元素特征和集合的交集运算 解题的关键是理解集合中的元素的具 体含义 属于基础题 12 函数在区间上递减 则实数的取值范围是 2 2 1 2f xxax 4 a 答案 3a 解析 因为函数在区间上递减 那么根据二次函数的对称轴 x 1 2 2 1 2f xxax 4 a 可知 4 1 a 解得 a 3 9 13 已知 则函数的解析式为 12811 09fxxxx f x 答案 2 245 1 2 f xxxx 解析 分析 运用换元法 令 得 再代入 1 tx 2 1 xt 可得解 此时需要注意的是换元时不可改变自变量 12811 09fxxxx 的取值范围 详解 令 2 1 1 txxt 09 03 112 1 2 xxxt 22 2 1 83245 1 2 f tttttt 故答案为 2 245 1 2 f xxxx 点睛 本题考查运用换元法求函数的解析式 在运用时注意不可改变自变量的取值范围 属于基础题 14 设 是关于的方程的两个实根 则的最小 x y m 2 260mama 22 11xy 值是 答案 8 解析 分析 由已知得一元二次方程的根的判别式大于或等于 0 得出a的范围 再由韦达定理化简 成关于a的二次函数 由a的范围得最小值 22 11xy 详解 由已知得 得或 2 2 4 6 0aa 2a 3a 由韦达定理得 2xya 6xya 于是有 22 1 1 xy 22 2 2xyxy 10 2 22 2xyxyxy 22 2 2 6 424610aaaaa 且或 2 349 4 44 a 2a 3a 由此可知 当时 取得最小值 8 3a 22 1 1 xy 故答案为 8 点睛 本题考查一元二次方程的根的个数与根的判别式的关系和求二次函数的最值 在求 二次函数的最值时 注意自变量的取值范围 属于基础题 15 已知集合 集合 若 实数 2 3100ax xx 121bx pxp ba 的取值范围是 p 答案 3 解析 分析 求解一元二次不等式得集合a 再因为 所以对集合b是空集和集合b不是空集两种 ba 情况讨论 当时 当时 需和 从而求得 b 121pp b 2p 12 215 p p 的范围 p 详解 2 3100 5 2 0 xxxx 故 25x 2 5 a ba 当时 b 121pp 2p 当时 即时 要使 则需 所以 b 2p ba 12 215 p p 33p 23p 综上 3 p 11 故答案为 3 点睛 本题考查集合间的包含关系 注意根据子集关系求解参数的范围时 需考虑子集为 空集和不为空集两种情况 属于基础题 三 解答题 三 解答题 1616 题题 8 8 分 分 1717 题题 1212 分 分 1818 1919 题各题各 1010 分 满分分 满分 4040 分 分 16 解不等式 1325xx 答案 3 1 2 解析 分析 令和令 得和 分当时 当时 当 10 x 320 x 1x 2 3 x 1x 2 1 3 x 时 三种情况分别讨论将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式 求解转化后的不 2 3 x 等式 再求解这三种情况的解集的并集可得解 详解 令 令 10 x 1x 320 x 2 3 x 当时 1x 1235xx 1x 当时 故解集为 2 1 3 x 1235xx 1x 当时 2 3 x 1325xx 3 2 x 综上 3 1 2 x 故答案为 3 1 2 点睛 本题考查绝对值不等式的解法 此类问题常用 零点 分段讨论法将绝对值不等式 转化为不含绝对值的不等式后再求解 属于基础题 12 17 求函数的定义域 1 函数的定义域 2 2yxx 2 已知的定义域为 求函数的定义域 yf x 0 1 2 4 3 yf xfx 3 已知的定义域为 求函数的定义域 yfx 1 2 yf x 答案 1 2 3 2 2 1 1 3 0 2 解析 分析 1 根据二次根式需被开方数大于或等式 0 得 再分和两种情 2 20 xx 0 x 0 x 况分别求解不等式 再求所得的解集的并集 2 根据复合函数的定义域的求法 已知的定义域是a 求的定义 yf x yfg x 域 通过解关于的不等式 求出 x的范围的方法得解 g xa 3 根据复合函数的定义域的求法 已知的定义域是b 求的定义 yfg x yf x 域 由时 得的范围的方法得解 xb g x 详解 1 时 即 2 20 xx 0 x 2 20 xx 2 1 0 xx 或 故 1x 2x 2x 时 即 0 x 2 20 xx 2 1 0 xx 或 故 2x 1x 2x 综上 2 2 x 所以函数的定义域是 2 2yxx 2 2 2 因为 的定义域为 yf x 0 1 2 01 4 01 3 x x 11 41 33 x x 13 故 1 1 3 x 1 1 3 x 所以函数的定义域是 2 4 3 yf xfx 1 1 3 3 故 12x 0 2x 0 2 x 所以函数的定义域是 yf x 0 2 点睛 本题考查复合函数的定义域 分清求复合函数的定义域的两个重要类型 类型一 已知的定义域 求的定义域 类型二 已知的定义域 yf x yfg x yfg x 求的定义域 属于中档题 yx 18 函数f x 对任意的m n r r 都有f m n f m f n 1 并且x 0 时 恒有f x 1 1 求证 f x 在 r r 上是增函数 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 答案 1 见解析 2 a 3 2 解析 分析 1 设且 根据题意得 进而得出 即 12 x xr 12 xx 21 1f xx 21 0f xf x 即可得到函数的单调性 21 f xf x 2 由题意 设 求得 又由 得出 则不等式可 1mn 21f 34f 12f 转化为 再利用函数的单调性 转化为 即可求解 2 5 1f aaf 2 51aa 详解 1 证明 设x1 x2 r r 且x1 x2 x2 x1 0 当x 0 时 f x 1 f x2 x1 1 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在 r r 上为增函数 14 2 m n r r 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f