广东省化州市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理（含解析）

1 广东省化州市广东省化州市 20202020 届高三数学上学期第一次模拟考试试题届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理 含解理 含解 析 析 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 2 log10axx 3bx x ra b a b c d 1 2 3 2 3 12 3 u 答案 d 解析 分析 先化简集合a 再求 从而根据交集运算求得结果 a r 详解 由集合 则 2 log10 12axxxx 12 ra x xx 或 又 所以 3bx x 12 3 ra b iu 所以本题答案为 d 点睛 本题考查集合的交并补混合运算 注意认真计算 仔细检查 属基础题 2 设 是的共轭复数 则 1 1 i z i zzz z a 1b c 1d 4 i 答案 c 解析 分析 利用两个复数代数形式的乘除法 虚数单位 的幂运算性质 求得的值 可得 从而求 izz 得的值 z z 详解 则 2 11 111 ii zi iii zi 2 故 故选 c 1z zii 点睛 本题主要考查复数基本概念 两个复数代数形式的乘除法 虚数单位 i 的幂运算性 质 属于基础题 3 已知正方体的棱长为 1 除面外 该正方体其余各面的中心分 1111 abcdabc d abcd 别为点 如图所示 则四棱锥的体积为 efghmmefgh a b c d 1 12 1 4 1 2 1 3 答案 a 解析 分析 先作出 四点所在的截面图 由图可求四边形的面积 再利用正方体 efghefgh 的性质可求点到平面的距离 从而根据锥体体积公式求得结果 mefgh 详解 因为 分别为各个面的中心 显然 四点共面 截 efghefgh 面如图所示 显然四边形为正方形 且边长为 efgh 2 2 所以 221 222 efgh s 正方形 3 另外易知点到平面的距离为正方体棱长的一半 mefgh 即四棱锥的高为 mefgh 1 2 所以四棱锥的体积 mefgh 1111 32212 v 所以本题答案为 a 点睛 本题考查正方体的性质和正四棱锥的体积 主要考查学生的空间想象能力和计算求 解能力 属中档题 4 中国梦 的英文翻译为 其中又可以简写为 从 chinadreamchinacncn 中取 6 个不同的字母排成一排 含有 字母组合 顺序不变 的不同排列共 dreamea 有 a 360 种b 480 种c 600 种d 720 种 答案 c 解析 从其他 5 个字母中任取 4 个 然后与 进行全排列 共有 故选 b ea 45 55 600c a 5 等比数列的各项均为正数 其前项和为 已知 则的值是 n a nn s 3 7 4 s 6 63 4 s 8 a a 28b 32c 35d 41 答案 b 解析 分析 先考虑时的情况 明显不符合题意 故当时 根据条件列出关于和的方程组 1q 1q 1 aq 解之即可求出和 从而根据等比数列的通项公式求得结果 1 aq 详解 当时 显然不符合题意 当时 1q 1q 4 得 3 1 6 1 1 7 14 1 63 14 aq q aq q 3 19q 3 8q 依题意 代入 解得 2q 1 1 4 a 7 8 1 232 4 a 所以本题答案为 b 点睛 本题主要考查等比数列的求和公式和等比数列的通项公式的基本运算 注意讨论 的情况 属基础题 1q 6 已知是定义在区间上的奇函数 当时 则关于的不 f x 1 1 0 x 1f xx x m 等式的解集为 2 110fmfm a b c d 0 1 2 1 2 2 0 2 答案 a 解析 详解 分析 根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化为一般的不等式求解即可 详解 函数f x 为奇函数 2 110fmfm 22 111fmfmf m 又f x 是定义在 1 1 上的减函数 即 解得 2 2 1 11 1 11 11 m m mm 02 22 21 m m m 01m 不等式的解集为 0 1 故选 a 点睛 解题的关键是根据函数的奇偶性将不等式化为或的形式 12 f xf x 12 f xf x 然后再根据单调性将函数不等式化为一般的不等式求解 解题时不要忘了函数定义域的限 5 制 7 已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长 则此双曲 22 22 1 00 xy cab ab 线的离心率为 a b c d 235 5 2 答案 c 解析 分析 可设双曲线的右焦点 f c 0 渐近线的方程为 由右焦点到渐近线的距离等于实 c b yx a 轴长 可得 c 可得答案 5a 详解 解 由题意可设双曲线的右焦点 f c 0 渐进线的方程为 c b yx a 可得 d b 2a 可得 c 22 bc ab 22 ab 5a 可得离心率 e 5 c a 故选 c 点睛 本题主要考查双曲线离心率的求法 是基础题 解题时要熟练掌握双曲线的简单性 质 8 图一是美丽的 勾股树 它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得 到 图二是第 1 代 勾股树 重复图二的作法 得到图三为第 2 代 勾股树 以此类推 已知最大的正方形面积为 1 则第代 勾股树 所有正方形的个数与面积的和分别为 n 6 a b c d 1 211 n n 211 n n 21 n n 1 21 n n 答案 a 解析 分析 第 1 代 勾股树 中 小正方形的个数 3 21 1 1 3 所有正方形的面积之和为 2 1 1 1 第 2 代 勾股树 中 小正方形的个数 7 22 1 1 所有的正方形的面积之 和为 3 2 1 1 以此类推 第n代 勾股树 所有正方形的个数为 2n 1 1 第n代 勾股树 所有正方形的面积的和为 n 1 1 n 1 详解 解 第 1 代 勾股树 中 小正方形的个数 3 21 1 1 3 如图 2 设直角三角形的三条边长分别为a b c 根据勾股定理得a2 b2 c2 即正方形a的面积 正方形b的面积 正方形c的面积 1 所有正方形的面积之和为 2 1 1 1 第 2 代 勾股树 中 小正方形的个数 7 22 1 1 如图 3 正方形e的面积 正方形f的面积 正方形a的面积 正方形m的面积 正方形n的面积 正方形b的面积 正方形e的面积 正方形f的面积 正方形m的面积 正方形n的面积 正方形a的面积 正方 形b的面积 正方形c的面积 1 所有的正方形的面积之和为 3 2 1 1 以此类推 第n代 勾股树 所有正方形的个数为 2n 1 1 第n代 勾股树 所有正方形的面积的和为 n 1 1 n 1 故选 a 7 点睛 本题考查正方形的性质及勾股定理的应用 考查归纳推理等基础知识 考查运算求 解能力 推理论证能力 归纳总结能力 是中档题 9 函数 其中 的图象如图所示 为了得到 sin f xax 0a 2 的图象 只需将的图象 sin3g xx f x a 向右平移个单位长度b 向左平移个单位长度 4 4 c 向右平移个单位长度d 向左平移个单位长度 12 12 答案 c 解析 分析 根据图象求出的值 再由 左加右减 法则 判断出函数图象平移的方向和单位长度 即 可得到答案 详解 由题意 根据选项可知只与平移有关 没有改变函数图象的形状 故 3 又函数的图象的第二个点是 所以 0 4 3 4 4 所以 故 f xasin 3x 4 g xasin3xasin 3 x 124 8 所以只需将函数的图形要向右平移个单位 即可得到的图象 f x 12 g x 故选 c 点睛 本题主要考查了三角函数的函数图象 其中解答中根据函数图象求解析式时 注意 应用正弦函数图象的关键点进行求解 考查了读图能力和图象变换法则 属于中档题 10 赵爽是我国古代数学家 天文学家 大约在公元 222 年 赵爽为 周碑算经 一书作序 时 介绍了 勾股圆方图 亦称 赵爽弦图 以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直 角三角形再加上中间的一个小正方形组成的 类比 赵爽弦图 可类似地构造如图所示的 图形 它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形 设 若在大等边三角形中随机取一点 则此点取自小等边三角形的概率是 24dfaf a b c d 4 13 5 13 9 26 3 26 答案 a 解析 分析 在中 由余弦定理求出 从而根据两个等边三角形的面积比求得所求概率 abd ab 详解 在中 abd 6ad 2bd 120adb o 由余弦定理 得 22 2cos1202 13abadbdad bd o 所以 所以所求概率为 42 2 1313 df ab 2 24 1313 def abc s s 所以本题答案为 a 点睛 本题考查几何概型和余弦定理的应用 本题关键在于利用余弦定理求出 属中 ab 9 档题 11 形如的函数因其图像类似于汉字中的 囧 字 故我们把其生动地称为 囧函 1 1 y x 数 若函数有最小值 则 囧函数 与函数 2 log10 1 a f xxxaa 的图像交点个数为 logayx a 1b 2c 4d 6 答案 c 解析 分析 令 根据函数有最小值 可得 由此可画出 囧 2 1uxx log0 1 a yu aa 1a 函数 与函数在同一坐标系内的图象 由图象分析可得结果 1 1 y x logayx 详解 令 则函数有最小值 2 1uxx log0 1 a yu aa 2 133 244 ux 当函数是增函数时 在上有最小值 logayu logayu 3 4 u 当函数是减函数时 在上无最小值 logayu logayu 3 4 u 此时 囧函数 与函数在同一坐标系内的图象如图所示 1a 1 1 y x logayx 由图象可知 它们的图象的交点个数为 4 所以本题答案为 c 10 点睛 本题考查对数函数的性质和函数图象的应用 考查学生画图能力和数形结合的思想 运用 属中档题 12 设函数 为自然对数的底数 定义在上的函数 1 x g xee xa ar er 满足 且当时 令 已知存 f x 2 fxf xx 0 x fxx 2 1 2 t xf xx 在 且为函数的一个零点 则实数的取值范围 0 1xx t xtx 0 x yg xx a 为 a b c d 2 e e e 2 e 答案 d 解析 分析 由 推得为奇函数 再由 2 1 t xf xx 2 t xtx0t x 在上单调递减 转化为 fxxt x 得 r 000 1 t xt 1xx 2 得 在 有一个零点即可 yg xx 1 x 2 详解 因为 2 fxf xx 所以 2 22 11 t xtxf xxfxxf xfxx0 22 所以为奇函数 t x 当时 x0 t xfxx0 所以在上单调递减 t x 0 所以在上单调递减 t x r 11 因为存在 所以 0 xx t xt 1x 00 t xt 1x 所以 即 00 x1x 0 1 x 2 令 x h xg xxeexa 1 x 2 因为为函数的一个零点 所以在时有一个零点 0 x h xg xx h x 1 x 2 因为当时 所以函数在时单调递减 1 x 2 1 x 2 h xeeee0 h x 1 x 2 由选项知 a0 a1 0 2e 又因为 所以要使在时有一个零 aa ee aa heeae0 ee h x 1 x 2 点 只需使 解得 11 heea0 22 e a 2 所以的取值范围为 故选 a e 2 d 点睛 本题考查函数零点问题 奇偶性 单调性 综合性强 关键是判断为奇函数 t x 及其单调性 由此解得的范围 0 x 第第 卷卷 本试卷包括必考题和选考题两部分本试卷包括必考题和选考题两部分 第第 13 13 题题 第第 21 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答题为必考题 每个试题考生都必须作答 第第 22 22 题题 第第 23 23 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 已知 则 1a aba rrr a b 答案 1 解析 分析 12 由得 化简计算即可求得结果 aba rrr 0aba rrr 详解 由得 得 故答案为 1 aba rrr 0aba rrr 2 0aa b rr r 1a b 点睛 本题考查平面向量的数量积运算和向量垂直的应用 注意公式要准确 认真计算 属基础题 14 设 满足约束条件 则的最小值为 x y 10 20 2 xy xy x 23zxy 答案 8 解析 分析 画出不等式组表示的平面区域 结合图形求得最优解 再计算目标函数的最小值 详解 画出不等式组表示的平面区域 如图阴影部分所示 10 20 2 xy xy x 由图形知 当目标函数z 2x 3y过点a时 z取得最小值 由 求得a 1 2 10 20 xy xy z 2x 3y的最小值是 2 1 3 2 8 故答案为 8 点睛 本题考查了线性规划的应用问题 解题时常用 角点法 其步骤为 由约束条 件画出可行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证求出 13 最优解 15 若数列的通项公式为 令 则数列的前项 n a21 n an 12 1 n n b aaa n b n 和为 答案 323 4212 n nn 解析 分析 依题意可知数列是等差数列 根据等差数列的前n项和公式可求数列的通项公式 n a n b 从而利用裂项相消法求和 详解 由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知 数列是首项为 3 公差为 2 的 n a 等差数列 12 321 2 2 n nn aaan n 11 11 222 n b n nnn 故数列的前项和 n b n 111111111111 1 2324352112 n t nnnnnn 1111323 1 22124212 n nnnn 所以本题答案为 323 4212 n nn 点睛 本题考查等差数列的判断和前n项和公式 考查了裂项相消法求和 注意求和消项 时剩余项的个数 属中档题 16 在四面体中 当四面体abcd的体积最大时 abcd 1 3 2abbccdac 14 其外接球的表面积为 答案 6 解析 分析 先利用勾股定得出是以为斜边的直角三角形 求得其外接圆的直径 再由 abc bc 平面时 四面体的体积取得最大值 求得外接球的半径 利用球的表面 cd abcabcd 积公式 即可求解 详解 由题意 可知 则 1 3 2abbcac 222 abacbc 所以是以为斜边的直角三角形 且该三角形的外接圆的直径为 abc bc3bc 当平面时 四面体的体积取得最大值 cd abcabcd 此时外接球的直径为 22 26rbccd 所以四面体的外接球的表面积为 abcd 22 6 44 6 2 sr 点睛 本题主要考查了球的表面积的计算 以及球的组合体的性质的应用 其中解答中选 择合适的几何模型 求得球的半径是解答的关键 着重考查了空间想象能力 以及推理与运 算能力 属于中档试题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分分 17 在锐角中 分别是角所对的边 且 abc a b c a b c32 sinaca 1 求角的大小 c 2 若 且的面积为 求的值 7c abc 3 3 2 ab 答案 1 2 60 5 解析 分析 15 1 由 利用正弦定理可得 结合是锐角可得结果 2 由 32 sinaca 3 sin 2 c c 可得 再利用余弦定理可得结果 1 sin 2 abc 3 3 26ab 详解 1 因为 32 sinaca 所以由正弦定理得 因为 3sin2sinsinaca sin a0 所以 3 sin 2 c 因为是锐角 c 所以 60c 2 由于 1 sin 2 abc 3 3 26ab 又由于 222 2cos60cabab 22 7318ababab 2 25ab 所以 5ab 点睛 解三角形时 有时可用正弦定理 有时也可用余弦定理 应注意用哪一个定理更方 便 简捷 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余弦定理 如果遇到的式子中 含有角的正弦或边的一次式时 则考虑用正弦定理 以上特征都不明显时 则要考虑两个定 理都有可能用到 18 如图所示 在四棱台中 底面 四边形为菱形 1111 abcdabc d 1 aa abcdabcd 120bad 111 22abaaab 16 1 若为中点 求证 平面 mcdam 11 aab b 2 求直线与平面所成角的正弦值 1 dd 1 abd 答案 1 详见解析 2 1 5 解析 试题分析 1 连接 可证 又因为底面 可得 acamab 1 aa abcd 即可得证 1 amaa 2 如图建立空间直角坐标系 求出和平面 的一个法向量的坐标 axyz 1 dd 1 abd n 则直线与平面所成角的正弦值 1 dd 1 abd 1 sincos n dd 试题解析 四边形为菱形 连结 则为等边三角形 abcd120bad acacd 又 为中点 由得 mcdamcd cdabamab 底面 底面 又 1 aa abcdam abcd1 amaa 1 abaaa 平面 am 11 aab b 四边形为菱形 abcd120bad 111 22abaaab 得 又 底面 1dm 3am 90amdbam 1 aa abcd 分别以 为轴 轴 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 abam 1 aa x y z axyz 17 1 0 0 2a 2 0 0b 1 3 0d 1 13 2 22 d 1 13 2 22 dd 3 3 0bd 1 2 0 2ab 设平面的一个法向量 1 abd nx y z 则有 令 则 1 0 330 33 220 0 n bd xy yxz xzn ab 1x 1 3 1n 直线与平面所成角的正弦值 1 dd 1 abd 1 1 1 1 sincos 5 n dd n dd n dd 点晴 本题考查的空间的线面关系以及空间的角 第一问通过证明直线和平面内 amabcd 的两条相交直线垂直 证明平面 第二问中通过建立空间直角坐标 1 abaa m 11 aab b 系 求得和平面的一个法向量 axyz 1 dd 1 abd 1 3 1 结合得到结论 1 1 sincos 5 n dd 19 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一 个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球 球上所标的面值之和为该顾客所获 的奖励额 1 若袋中所装的4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元 其余 3 个均为 10 元 求 顾客所获的奖励额为 60 元的概率 18 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是 60000 元 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合 适的设计 并说明理由 答案 1 参考解析 2 参考解析 1 2 解析 试题分析 1 由袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元 其余 3 个均为 10 元 又规 定每位顾客从 一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球 球上所标的面值之和为该顾客所 获的奖励额 由获得 60 元的事件数除以总的事件数即可 顾客获得奖励有两种情 11 13 c c 2 4 c 况 20 元 60 元 分别计算出他们的概率 再利用数学期望的公式即可得结论 2 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励为 60 元 根据题意有两种获奖励的情况 确定符 合题意的方案 分别仅有一种 再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差 即可得到结论 试题解析 1 设顾客所获的奖励为 x 依题意 得 即顾客所获得 11 13 2 4 1 60 2 c c p x c 的奖励额为 60 元的概率为 1 2 依题意 得 x 的所有可能取值为 20 60 即 x 的分布 2 3 2 4 11 60 20 22 c p xp x c 列为 x2060 p0 50 5 19 所以顾客所获得的奖励额的期望为 元 20 0 560 0 540e x 2 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励为 60 元 所以先寻找期望为 60 元的可能方案 对 于面值由 10 元和 50 元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为 60 元是面值之和的 最大值 所以期望不可能为 60 元 如果选择 50 50 50 10 的方案 因为 60 元是面值之和的最 小值 所以数学期望也不可能为 60 元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案 1 对于面 值由 20 元和 40 元组成的情况 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能 的方案是 20 20 40 40 记为方案 2 以下是对两个方案的分析 对于方案 1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励为 则的分布列为 1 x 1 x 1 x 2060100 p 1 6 2 3 1 6 的期望为 的方差为 1 x 1 121 206010060 636 e x 1 x 222 1 1211600 2060 6060 10060 6363 d x 对于方案 2 即方案 20 20 40 40 设顾客所获的奖励为 则的分布列为 2 x 2 x 2 x 406080 p 1 6 2 3 1 6 的期望为 的方差为 2 x 2 121 40608060 636 e x 2 x 20 由于两种方案的奖励额都 222 2 121400 4060 6060 8060 6363 d x 符合要求 但方案 2 奖励的方差比方案 1 的小 所以应该选择方案 2 考点 1 概率 2 统计 3 数学期望 方差 20 已知直线上有一动点 过点作直线垂直于轴 动点在上 且满足 2x qq 1 ly p 1 l 为坐标原点 记点的轨迹为曲线 0op oq o pc 1 求曲线的方程 c 2 已知定点 为曲线上一点 直线交曲线于另一点 1 0 2 m 1 0 2 n acamc 且点在线段上 直线交曲线于另一点 求的内切圆半径的取值 bambancdmbd r 范围 答案 1 2 2 2yx 21 解析 分析 1 设点的坐标为 结合题意得出点的坐标 再利用可得出点的 p x yq 0op oq p 轨迹方程 2 设 设直线的方程为 112233 a x yb xyd xy am 1 2 yk x 将该直线方程与曲线的方程联立 结合韦达定理进行计算得出点 和点的横坐标相等 c bd 于是得出轴 根据几何性质得出的内切圆圆心在轴上 且该点与切点的 bdx mbd hx 连线与垂直 计算出的面积和周长 利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达 abmbd 式 通过化简得到关于的函数表达式 并换元 将函数关系式转化为关 r 2 x 2 1 1 2 tx r 于 的函数关系式 然后利用单调性可求出的取值范围 tr 详解 1 设点 则 p x y 2 qy 21 所以 opx y 2 oqy 因为 0op oq 所以 即 2 20op oqxy 2 2yx 2 设 直线与轴交点为 直线与内切圆 11 a x y 22 b xy 33 d xy bdxeab 的切点为 t 设直线的方程为 则联立方程组得 am 1 2 yk x 2 1 2 2 yk x yx 2 222 20 4 k k xkx 所以且 所以 12 1 4 x x 12 0 xx 12 1 2 xx 所以直线的方程为 an 1 1 1 1 2 2 y yx x 与方程联立得 2 2yx 22222 11111 11 220 24 y xyxxxy 化简得 解得或 22 111 11 220 22 x xxxx 1 1 4 x x 1 xx 因为 32 1 1 4 xx x 所以轴 bdx 设的内切圆圆心为 则点在轴上且 mbd hhxhtab 且的周长 22 11 2 22 mbd sxy a mbd 2 2 222 1 22 2 xyy 2 2 22222 1111 222 2222 mbd sxyyrxy a 22 22 2 2 222 222 22 22 22 1 112 111111 1 11 2 11 2 22 22 xy r yxy yx xx xx 令 则 2 1 2 tx 1t 所以在区间上单调递增 则 2 1 111 21 r ttt 1 1 21 21 r 即的取值范围为 r 21 点睛 本题主要考查轨迹方程以及直线与抛物线的位置关系 属于难题 求轨迹方程的常 见方法有 直接法 设出动点的坐标 根据题意列出关于的等式即可 定义法 x y x y 根据题意动点符合已知曲线的定义 直接求出方程 参数法 把分别用第三个变量表 x y 示 消去参数即可 逆代法 将代入 本题 1 就是利用方法 0 0 xg x yh x 00 0f xy 求的轨迹方程的 p 21 已知函数 ln 0 b f xaxxa 1 当时 讨论函数的单调性 2b f x 2 当 时 对任意 都有成立 求 0ab 0b 12 1 x xe e 12 e2f xf x 实数的取值范围 b 答案 1 见解析 2 0 1 解析 分析 1 通过讨论a的范围 求出函数的单调区间即可 23 2 原问题等价于 成立 可得 可得 maxmin f xf x 2e 11 min f xf 即 f x maxf ebeb 10 b ebe 设 可得在单调递增 且 即可得不 1 b bebe 0 b b 0 10 等式的解集即可 10 b ebe 详解 1 函数的定义域为 f x 0 当时 所以 2b 2 lnf xa xx 2 2 xa fx x 当时 所以函数在上单调递增 0a 0fx f x 0 当时 令 解得 0a 0fx 2 a x 当时 所以函数在上单调递减 0 2 a x 0fx f x 0 2 a 当时 所以函数在上单调递增 2 a x 0fx f x 2 a 综上所述 当 时 函数在上单调递增 2b 0a f x 0 当 时 函数在上单调递减 在上单调递增 2b 0a f x 0 2 a 2 a 2对任意 有成立 1 x 2 1 xe e 12 2f xf xe 12 maxmin f xf xf xf x 成立 maxmin f xf x 2e 时 0ab 0b 1 ln b b b x f xb xxfx x 当时 当时 01x 0fx 1x 0fx 在 单调递减 在单调递增 f x 1 1 e 1 e 24 11 min f xf 1 fbeb e b f ebe 设 1 2 bb g bf efeeb e 0 b 2220 bbbb gbeeee 在递增 g b 0 00g bg 1 f ef e 可得 b max f xf ebe 即 12 b bee 10 b ebe 设 在恒成立 1 b bebe 0 b 10 b be 0 b 在单调递增 且 b 0 10 不等式的解集为 10 b ebe 0 1 实数b的取值范围为 0 1 点睛 本题考查了导数的应用 利用导数研究函数的单调区间 恒成立问题 考查了转化 思想 运算能力 属于压轴题 二 选做题 共 二 选做题 共 1010 分分 请考生在第请考生在第 22 22 题和第题和第 23 23 题中任选一题做答 做答时请在答题卡的对应答题区写上题号 题中任选一题做答 做答时请在答题卡的对应答题区写上题号 并用并用 2b2b 铅笔把所选题目对应的题号