湖南省邵东县创新实验学校2019-2020学年高二数学上学期创高杯竞赛试题

1 湖南省邵东县创新实验学校湖南省邵东县创新实验学校 2019 20202019 2020 学年高二数学上学期创高学年高二数学上学期创高 杯竞赛试题杯竞赛试题 时量时量 120120 分钟分钟 总分总分 150150 分分 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息 2 请将答案正确填写在答题卡上 一 单选题一 单选题 1 5 分 若 则 a b c 的大小关系是 1 3 1 a 2 1 3 blog 2 1 2 clog 3 a b c d bac bca abc cba 2 5 分 在等比数列中 则 n a 12 1a a 36 9a a 24 a a a 3b c d 3 33 3 5 分 设命题在定义域上为减函数 命题为奇函数 1 pf x x cos 2 q g xx 则下列命题中真命题是 a b c d pq pq pq pq 4 5 分 下面命题正确的是 a 若 则 0 x 1 2x x b 命题 的否定是 0 xr 2 00 0 xx xr 2 0 xx c 若向量 满足 则与的夹角为钝角 a b 0a b a b d 是 的必要不充分条件 0a 0ab 5 5 分 在中 则 abc 3 sin 23 b 1ab 3bc ac a b c 3d 72 211 6 5 分 已知点为抛物线上的动点 点在轴上的射影是点坐标 p 2 4yx p y b a 为 则的最小值是 3 4 papb a b c d 542 52 51 7 5 分 已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合 且其渐近线的方程 22 60 xyx 2 为 则该双曲线方程为 2yx a b 2 2 1 2 y x 22 1 36 xy c d 2 2 1 2 x y 22 1 36 yx 8 5 分 如图 某几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积为 a b c d 3 3 3 2 3 3 3 9 5 分 已知 是两个不重合的平面 直线 a p a a q a 则是的 pq a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充要条件d 既不充分也不必要条件 10 5 分 若 满足则的最小值为 x y 20 220 2 xy xy y 3xy a 2b 10c 4d 8 11 5 分 以下命题正确的个数是 是 的充分不必要条件 1x 1 2 log 2 0 x 命题 的否定是 2 000 0 10 xxx 2 0 10 xxx 如果关于的不等式的解集不是空集 则的取值范围是 x 3 4 xxa a 1 命题 在中 若 则 的逆命题为假命题 abc ab sinsinab a 0b 1c 2d 3 12 5 分 意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例 引入 兔子数列 3 即 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 121 12fff nf nf n 此数列在现代物理 准晶体结构 化学等都有着广泛的应用 若此 3 nnn 数列被 2 整除后的余数构成一个新数列 则数列的前 2019 项的和为 n a n a a 672b 673c 1346d 2019 第第 iiii 卷 非选择题卷 非选择题 二 填空题二 填空题 13 5 分 九章算术 是我国古代著名的数学典籍 其中有一道数学问题 今有 勾八步 股十五步 问勾中容圆 径几何 意思是 在两条直角边分别为八步和十 五步的直角三角形中容纳一个圆 请计算该圆直径的最大值为 步 14 5 分 已知数列满足 则 n a 1 1a 1 1 lglg 2 nn aa 9 a 15 5 分 的内角所对的边成等比数列 则的最小值为 abc a b c a b c cosb 16 5 分 已知为坐标原点 为椭圆的右焦点 过点 of 22 22 10 xy cab ab 的直线在第一象限与椭圆交与点 且为正三角形 则椭圆的离心率 fcppof c 为 三 解答题三 解答题 17 10 分 计算 1 2 2302 33 1 8 3 21 2 2 22 2lg5lg8lg5 lg20lg2 3 18 12 分 在中 abc tan3tanab coscos3bccbb 1 求角的大小 c 4 2 设 其中 求取值范围 2 sin cos 2 xb f xxa 5 0 6 x f x 19 12 分 设等差数列的公差为 d d 为整数 前 n 项和为 等比数列 n a n s 的公比为 q 已知 n b 11 ab 2 2b dq 10 100s nn 1 求数列与的通项公式 n a n b 2 设 求数列的前 n 项和为 n n n a c b n c n t 20 12 分 如图 菱形所在平面与所在平面垂直 且 abcdabe 5abbe 3 coscos 5 abcabe 1 求证 ab ce 2 求点到平面的距离 acde 21 12 分 已知抛物线 过点的动直线交抛物线于 两点 1 当恰为的中点时 求直线的方程 2 抛物线上是否存在一个定点 使得以弦为直径的圆恒过点 若存在 求出点的坐 标 若不存在 请说明理由 22 12 分 设函数 且函数的图象关于直线对称 2 22f xxtx f x 1x 1 求函数在区间上的最小值 f x 0 4 1 2 设 不等式在上恒成立 求实数的取 f x h x x 220 xx hk 1 1x k 值范围 参考答案参考答案 1 d 2 a 3 c 4 d 5 b 6 d 7 b 8 a 9 b 10 c 11 c 12 c 13 6 14 10000 15 16 1 2 31 17 1 原式 2 2302 33 1 8 3 21 2 4431 2 2 原式 2 2lg52lg2lg5lg2 1lg2 2lg2lg5lg2lg5 2lg2lg5 2 1 3 18 1 因为 所以 tan3tanab sin cos3sin cosabba 所以 又因为 222 2cab coscos3bccbb 所以 解得 3ab 3 3 cba 由余弦定理得 因为 所以 3 cos 2 c 0 c 6 c 2 3 331 cossin 442 f xxx 31 cos 262 x 因为 所以 5 0 6 x 66 x 所以取值范围为 f x 3 32 1 4 19 解 1 有题意可得 1 1 1045100 2 ad a d 解得 舍去 或 1 9 2 9 a d 1 1 2 a d 所以 2n 1 n a 1 2n n b 2 n n n a c b 1 21 2 n n n c 231 35721 1 2222 n n n t 2345 11357921 2222222 n n n t 可得 22 11112123 23 222222 n nnn nn t 故 1 23 6 2 n n n t 20 1 作 垂足为 连接 eoab oco 由 可得 3 coscos 5 abcabe bebc bobo ebocbo 所以 2 cobeob coab 因为 所以平面 因为平面 所以 coeoo ab coece coeabce 2 由 1 知 平面 所以是三棱锥的高 且 oe abcdoeeacd 4oe 由 得 5adcd 3 coscos 5 adcabc 4 in 5 sadc 所以的面积 adc 1 1 sin10 2 sad dcadc 三棱锥的体积 eacd 11 140 33 voe s 由 1 知 又 所以 abce ab cdcdce 由 可得 4ocoe ocoe 4 2ce 因为 所以的面积 5cd cde 2 1 10 2 2 scd ce 设点到平面的距离为 则三棱锥的体积 acdehacde 22 110 2 33 h vh s 由得 因此 点到平面的距离为 21 vv 10 240 33 h 2 2h acde2 2 21 1 设 两点坐标分别为 当恰为的中点时 显然 故 又 故 则直线的方程为 2 假设存在定点 设 当直线斜率存在时 设 联立 整理得 由以弦为直径的圆恒过点知 即 即 故 即 整理得 即当时 恒有 故存在定点满足题意 当直线斜率不存在时 不妨令 也满足 综上所述 存在定点 使得以弦为直径的圆恒过点 22 1 关于直线对称 故 f x 1x 1t 2 22f xxx 2 11x