河北省张家口市2020届高三数学上学期入学考试试题 文（含解析）

1 河北省张家口市河北省张家口市 20202020 届高三数学上学期入学考试试题届高三数学上学期入学考试试题 文 含解析 文 含解析 第第 卷 选择题共卷 选择题共 6060 分 分 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 设集合 则 1 2 3 4 a 1 0 2 3b 12 cxrx abc a b 1 1 0 1 c d 1 0 1 2 3 4 答案 c 解析 分析 由题意首先进行并集运算 然后进行交集运算即可求得最终结果 详解 由并集的定义可得 1 0 1 2 3 4ab 结合交集的定义可知 1 0 1abc 本题选择 c 选项 点睛 本题主要考查并集运算 交集运算等知识 意在考查学生的计算求解能力 2 1 2 ii a b c d 3i 3i 3i 3i 答案 d 解析 分析 根据复数乘法运算化简所求表达式 由此求出正确选项 详解 依题意 原式 故选 d 2 223iiii 点睛 本小题主要考查复数乘法运算 属于基础题 2 3 若 且 则实数的取值范围是 2 log1 3 a 0a 1a a a b c d 2 0 3 1 2 0 1 3 2 1 3 答案 c 解析 分析 对分成两种情况 利用对数函数的单调性 求得的取值范围 a 01 1aa a 详解 当时 由得 当时 由 01a loglog 3 2 aaa 0 2 3 a 1a 得 综上所述 的取值范围是 故选 c loglog 3 2 aaa 2 3 a a 2 0 1 3 点睛 本小题主要考查对数不等式的解法 考查对数函数的单调性 考查分类讨论的数 学思想方法 属于基础题 4 执行如图程序框图 则输出的等于 n a 1b 2c 3d 4 答案 c 解析 依据流程图可知 程序运行如下 首先初始化数据 13 0 12 nx 第一次循环 133 sinsin 122 ax 执行 21 11 12 n nnxx 3 第二次循环 3 sinsin 2 ax 执行 2139 12 121212 n nnxx 第三次循环 93 sinsin 122 ax 执行 211154 13 121212123 n nnxx 第四次循环 此时跳出循环 输出 3 sinsin 32 ax 3n 本题选择c选项 点睛 点睛 此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算 逐次判断是否 满足判断框内的条件 决定循环是否结束 要注意初始值的变化 分清计数变量与累加 乘 变 量 掌握循环体等关键环节 5 如图 面积为的平行四边形 对角线 与交于点 某指 8oabcacco acboe 数函数 经过点 则 0 1 x yaaa 且 e b a a b c d 2323 答案 a 解析 试题分析 设点 a 0 m 则由已知可得 c e b 又因点 e b 在指数函数图像上 所以 两式相除得 故选 a 4 考点 已知图像上点求函数解析式 方法点睛 本题是通过四边形的面积求出相应点的坐标 然后代入指数函数的解析式中 求出 a 的值即可 思路简单 难点在于解关于 m a 的方程组 注意消元技巧 6 给甲 乙 丙三人打电话 若打电话的顺序是任意的 则第一个打电话给甲的概率是 a b c d 1 6 1 3 1 2 2 3 答案 b 解析 分析 根据题意 打电话的顺序是任意的 打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为 从而可得 1 3 到正确的选项 详解 打电话的顺序是任意的 打电话给甲 乙 丙三人的概率都相等 第一个打电话给甲的概率为 1 3 故选 b 点睛 此题考查了概率的求法 如果一个事件有 n 种可能 而且这些事件的可能性相同 其中事件 a 出现 m 种结果 那么事件 a 的概率 p a m n 7 设非零向量 满足 则向量 间的夹角为 a b c a b c a b c a b a 150 b 120 c 60 d 30 答案 b 解析 详解 22 abcabc 5 2 20aa b 2 2 a a b 1 cos 2 a b a b a b 故选 b 120a b 8 在区域中 若满足的区域面积占面积的 则实数 0 1 1 x x yxy xy 0axy 1 3 的值为 a a b c d 2 3 1 2 1 2 2 3 答案 c 解析 分析 画出区域 以及 根据的区域面积占面积的列方程 解方程求 0axy 0axy 1 3 得的值 a 详解 画出区域如下图所示 其中 221 abcaocboc sss 当时 由得 由图像可知满足的区域面积占面积不 0a 0axy yax 0axy 小于 不合题意 1 2 当时 由得 设直线交直线于 由 0a 0axy yax 0axy 1xy d 得 代入得 将代入 11 23 aoddabc soa xs 1 2 3 1 3 2 d x 1xy 1 3 d y 2 1 3 3 解得 故选 c 0axy 1 2 a 6 点睛 本小题主要考查不等式组组成区域的画法 考查两条直线交点坐标有关问题求解 考查数形结合的数学思想方法 考查分类讨论的数学思想方法 属于中档题 9 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 a 16b 10 c 4 5 d 55 6 5 5 答案 c 解析 7 分析 由该几何体的三视图判断出组合体各部分的几何特征 以及各部分的几何体相关几 何量的数据 由面积公式求出该几何体的表面积 详解 该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体 其表面积为 s 4 4 4 5 故选 c 点睛 本题考查了由三视图求几何体的表面积 解题的关键是根据三视图判断几何体的结 构特征及相关几何量的数据 10 中国古代数学著作 算法统综 中有这样一个问题 三百七十八里关 初步健步不为 难 次日脚痛减一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其大意为 有一个人走 378 里路 第一天健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 走了 6 天后到达目的地 则该人第五天走的路程为 a 48 里b 24 里c 12 里d 6 里 答案 c 解析 分析 根据等比数列前项和公式列方程 求得首项的值 进而求得的值 n1 a 5 a 8 详解 设第一天走 公比 所以 解得 所以 1 a 1 2 q 1 6 6 1 1 2 378 1 1 2 a s 1 192a 故选 c 4 51 1 19212 16 aa q 点睛 本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算 考查等比数列的通项公式 考 n 查中国古典数学文化 属于基础题 11 已知椭圆的中心为原点 为的左焦点 为上一点 满足 co 2 5 0 f c pc 且 则椭圆的方程为 opof 4pf c a b c d 22 1 255 xy 22 1 3616 xy 22 1 3010 xy 22 1 4525 xy 答案 b 解析 由题意可得 c 设右焦点为 f 由 op of of 知 2 5 pff fpo of p opf 所以 pff of p fpo opf 由 pff of p fpo opf 180 知 fpo opf 90 即 pf pf 在 rt pff 中 由勾股定理 得 pf 2 222 pf4 548ff 由椭圆定义 得 pf pf 2a 4 8 12 从而 a 6 得 a2 36 于是 b2 a2 c2 36 16 所以椭圆的方程为 22 1 3616 xy 故选 b 9 点睛 椭圆的定义 到两定点距离之和为常数的点的轨迹 当和大于两定点间的距离时 轨迹是椭圆 当和等于两定点间的距离时 轨迹是线段 两定点间的连线段 当和小于两 定点间的距离时 轨迹不存在 12 已知函数 是函数的导数 且函数的图象 32 21f xxmxnx fx f x fx 关于直线对称 若在上恒成立 则实数的取值范围为 2 3 x 1 1f x n a b 1 2 1 2 c d 1 2 答案 c 解析 分析 先求得的导函数 根据导函数的对称轴求得 由此对分离常数 即 f x m 1fx n 利用构造函数法求得的最大值 由此求得的取值范围 2 1 2 2 nxx 2 1 2 2 xx n 详解 依题意可得 2 322fxxmxn 因为的图象关于直线对称 fx 2 3 x 所以 解得 故 22 63 m 2m 32 221f xxxnx 因为在上恒成立 所以在上恒成立 1 1f x 2 1 2 2 nxx 1 因为函数在上单调递减 所以函数在上的最大值为 2 1 2 2 g xxx 1 g x 1 所以 故实数的取值范围为 选 c 1 2 1 2 n n 1 2 点睛 本小题主要考查二次函数的对称性 考查利用导数研究函数的单调性和最值 考 10 查化归与转化的数学思想方法 属于中档题 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 9090 分 分 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 则实数 yx p aa 2 的值是 a 答案 4 解析 详解 由 则切线斜率 1 2 y x 1 2 k a 则过的切线方程为 p aa 1 2 yaxa a 与坐标轴交点分别为 0 0 2 a a 又所成三角形面积为 2 可得 所以 故答案为 4 1 2 22 a a 4a 14 设 则的最小值为 a b r 22 2ab 22 14 11ab 答案 9 4 解析 分析 利用乘 法化简所求表达式 再利用基本不等式求得最小值 1 详解 依题意 所以 22 114ab 22 14 11ab 22 22 114 11 411 ab ab 22 22 1144 5 411 ba ab 11 当且仅当时等号成立 故填 22 22 11 449 52 4114 ba ab 22 15 33 ab 9 4 点睛 本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值 考查 1 的代换 考查化归与 转化的数学思想方法 属于基础题 15 2019 年 7 月 15 日 某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进 行调查 5 家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示 x y 价格x 99 5 m 10 511 销售量 y 11 n 865 可知 销售量与价格之间有较强的线性相关关系 其线性回归方程是 y x 3 240yx 且 则其中的 20mn n 答案 10 解析 分析 计算 代入回归直线方程 与结合 求解出的值 x y 20mn n 详解 依题意 代入回归直线方程得 4030 55 mn xy 根据题意 解 组成的方程组得 3040 3 240 55 nm 20mn 故填 10mn 10 点睛 本小题主要考查回归直线方程过样本中心点 考查方程的思想 属于基础 x y 题 16 已知数列满足 且 若函数 n a 211nnnn aaaa nn 5 2 a 12 记 则数列的前 9 项和为 2 sin22cos 2 x f xx nn yf a n y 答案 9 解析 分析 根据题目所给数列 的递推关系式 证得数列 为等差数列 化简解析式 并 n a n a f x 证得 利用等差数列的性质 求得数列的前项和 2fxf x n y 9 详解 由已知可得 数列为等差数列 n a sin2cos1f xxx 1 2 f sin 22 cos 1fxxx sin2cos1xx 2fxf x 19285 2aaaaa 即数列的前 9 项和为 9 19 2 4 19f af a n y 点睛 本小题主要考查等差数列的性质 考查三角函数降幂公式 二倍角公式 考查化 归与转化的数学思想方法 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一次调查 并用如图所示的茎叶图表示 30 人的 饮食指数 说明 图中饮食指数低于 70 的人 饮食以蔬菜为主 饮食指数高于 70 的人 饮食以肉类为主 1 根据以上数据完成下列列联表 22 主食蔬菜主食肉类总计 13 50 岁以下 50 岁以上 总计 2 能否有 99 的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 并写出简要分析 参考公式和数据 2 2 n adbc k ab cd ac bd nabcd 2 0 p kk 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 0 k 2 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 答案 1 列联表见解析 2 有 详见解析 解析 分析 1 根据表格所给数据填写列联表 2 计算 由此判断有 99 的 22 2 106 635k 把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 详解 1 列联表如下 22 主食蔬菜主食肉类总计 50 岁以下 4812 50 岁以上 16218 总计 201030 2 因为 2 2 30 4 28 16 106 635 12 18 20 10 k 14 所以有 99 的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 点睛 本小题主要考查填写列联表 考查的计算以及独立性检验的实际应用 22 2 k 考查运算求解能力 属于基础题 18 在中 分别为内角 的对边 且满足 abc abca bc cos 2sinsinabab 1 判断的形状 abc 2 若 为角的平分线 求的长 3a 6c cdccd 答案 1 直角三角形 2 9 23 6 2 解析 分析 1 利用两角和与差的正弦公式化简已知条件 求得 由此判断也即 cos0c 90c 三角形为直角三角形 2 根据勾股定理求得和 由此求得 根据正弦定理列 baadc 方程 解方程求得的长 cd 详解 1 由 得 cos 2sinsinabab coscossinsin2sinsinababab coscossinsin0abab cos cos0abc 90c 故为直角三角形 abc 2 由 1 知 又 90c 3a 6c 3 3b 30a 1803045105adc 由正弦定理得 sinsin cdac aadc 3 3 sin30 sin105 cd 3 31 262 4 9 23 6 2 点睛 本小题主要考查两角和与差的余弦公式 考查勾股定理 考查正弦定理解三角形 15 属于基础题 19 如图 在三棱锥中 底面 是的中点 pabc paabc dpc 已知 求 2 bac 2ab 2 3ac 2pa 1 三棱锥p abc的体积 2 异面直线bc与ad所成角的余弦值 答案 1 4 3 3 2 3 4 解析 分析 1 由题意结合三棱锥的体积公式可得三棱锥的体积为 4 3 3 2 取pb的中点e 连接de ae 则 ade 或其补角 是异面直线bc与ad所成的角 结合 余弦定理计算可得异面直线bc与ad所成角的余弦值为 3 4 详解 1 s abc 2 2 2 三棱锥p abc的体积为v s abc pa 2 2 2 取pb的中点e 连接de ae 则ed bc 所以 ade 或其补角 是异面直线bc与ad所成的角 在 ade中 de 2 ae ad 2 cos ade 16 故异面直线bc与ad所成角的余弦值为 点睛 本题主要考查三棱锥的体积公式 异面直线所成的角等知识 意在考查学生的转化 能力和计算求解能力 20 设 分别是椭圆的左 右焦点 是在第一象限上 1 f 2 f 22 22 1 0 xy cab ab mc 一点且与轴垂直 直线与的另一个交点为 2 mf x1 mf cn 1 若直线的斜率为 求的离心率 mn 3 4c 2 若直线在轴上的截距为 2 且 求 mn y 1 5mnfn ab 答案 1 2 1 2 7 2 7 解析 分析 1 根据已知条件求得点的坐标 利用列方程 化简后求得椭圆离心 m 1 3 4 mnmf kk 率 2 根据平行线分线段成比例得到 结合 得 2 4 b a 1 5mnfn 11 2dffn 由此求得点坐标 将点坐标代入椭圆方程 结合解方程组 求得 nn 22 cab 的值 a b 详解 1 根据及题设知 22 cab 2 b m c a 由 得 即 1 3 4 mnmf kk 2 0 3 4 b a cc 2 23bac 将代入 解得 舍去 222 bac 1 2 c a 2 c a 17 故的离心率为 c 1 2 2 由题意 原点为的中点 轴 o12 ff 2 mfya 所以直线与轴的交点是线段的中点 故 即 1 mfy 0 2 d 1 mf 2 4 b a 2 4ba 由 得 1 5mnfn 11 2dffn 设 由题意知 则 11 n x y 1 0y 即 1 1 2 22 cxc y 1 1 3 2 1 xc y 代入的方程 得 c 2 22 91 1 4 c ab 将 及代入 得 22 cab 2 2 94 1 1 44 aa aa 解得 故 7a 2 428ba 7a 2 7b 点睛 本小题主要考查直线和椭圆的位置关系 考查椭圆方程的求法 主要是方程的思 想 考查化归与转化的数学思想方法 属于中档题 21 已知函数在处取得极值 32 f xaxxar 4 3 x 确定a的值 1 若 讨论的单调性 2 x g xf x e g x 答案 1 1 2 a 2 在和内为减函数 在和内为增函数 g x 4 1 0 4 1 0 解析 1 对求导得 f x 2 32fxaxx 18 因为在处取得极值 所以 f x 4 3 x 4 0 3 f 即 解得 164168 320 9333 a a 1 2 a 2 由 1 得 32 1 2 x g xxxe 故 23232 3115 22 2222 xxx gxxx exxexxx e 1 14 2 x x xxe 令 解得或 0gx 0 1xx 4x 当时 故为减函数 4x 0gx g x 当时 故为增函数 41x 0gx g x 当时 故为减函数 10 x 0gx g x 当时 故为增函数 0 x 0gx g x 综上所知 和 是函数 单调减区间 4 1 0 g x 和是函数的单调增区间 4 1 0 g x 此处有视频 请去附件查看 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分分 请考生在第请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分一题计分 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线的方程为 以坐标原点为极点 轴正半轴为极 xoy 1 c2yk x x 轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 2 c 2 2 cos30 1 求的直角坐标方程 2 c 19 2 若与有且仅有三个公共点 求的方程 1 c 2 c 1 c 答案 1 22 1 4xy 2 4 2 3 yx 解析 分析 1 就根据 以及 将方程 cosx siny 222 xy 中的相关的量代换 求得直角坐标方程 2 2 cos30 2 结合方程的形式 可以断定曲线是圆心为 半径为的圆 是过点 2 c 1 0a 2 1 c 且关于轴对称的两条射线 通过分析图形的特征 得到什么情况下会出现三个 0 2by 公共点 结合直线与圆的位置关系 得到 k 所满足的关系式 从而求得结果 详解 1 由 得的直角坐标方程为 cosx siny 2 c 2 2 14xy 2 由 1 知是圆心为 半径为的圆 2 c 1 0a 2 由题设知 是过点且关于轴对称的两条射线 记轴右边的射线为 轴 1 c 0 2byy 1 ly 左边的射线为 由于在圆的外面 故与有且仅有三个公共点等价于与只 2 l b 2 c 1 c 2 c 1 l 2 c 有一个公共点且与有两个公共点 或与只有一个公共点且与有两个公共 2 l 2 c 2 l 2 c 1 l 2 c 点 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 所以 故 1 l 2 c a 1 l 2 2 2 2 1 k k 或 4 3 k 0k 经检验 当时 与没有公共点 当时 与只有一个公共点 与