陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

1 汉中市龙岗学校汉中市龙岗学校 20222022 届高一上学期期中考试届高一上学期期中考试 数学试题数学试题 一一 选择题选择题 1 设全集 集合 则 1 2 3 4 5u 1 4m 1 3 5n u nc m a b c d 1 3 1 5 3 5 4 5 答案 c 解析 详解 先由补集的定义求出 然后根据交集的定义可得 2 3 5 u c m 故选 c 3 5 u nc m 考点 集合交集 并集和补集 此处有视频 请去附件查看 2 下列函数中 既是偶函数又在区间上单调递减的是 0 a b c d 1 y x x ye lgyx 2 1yx 答案 d 解析 试题分析 选项是奇函数 选项是非奇非偶函数 选项是偶函数且在上单 abc 0 调递增 选项既是偶函数又在区间上单调递减 d 0 考点 1 函数的奇偶性 2 函数的单调性 3 已知 33 sin 322 tan a b c d 2 2 2 2 3 2 3 2 答案 b 解析 2 分析 先由且解得 再利用求值即 22 sincos1 3 22 6 cos 3 sin tan cos 可 详解 根据 则 22 sincos1 2 22 32 cos1 sin1 33 因为 所以 3 22 cos0 所以 6 cos 3 所以 3 sin2 3 tan cos26 3 故选 b 点睛 本题考查求三角函数值 考查切弦互化 考查运算能力 4 函数 的值域是 2 1 1 f xxr x a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 0 1 答案 b 解析 分析 令 根据单调性可以完成本题 2 1tx 1 f t t 详解 令 则又在单调递减所以 2 1tx 1 t 1 y t 1 t 值域为 所以选择 b 2 1 1 f xxr x 0 1 点睛 考查函数值域问题 可以将函数合理转化变成我们熟悉的函数 根据单调性来求 值域 3 5 化简的结果为 sin cos 2 a b c 0d 2cos 2cos 2sin 答案 a 解析 分析 利用诱导公式化简即可 详解 由题 sin cos coscos2cos 2 故选 a 点睛 本题考查利用诱导公式化简 属于基础题 6 三个数a 0 312 b log20 31 c 20 31之间的大小关系为 a b c d acb abc bac bca 答案 c 解析 分析 利用指数函数和对数函数的单调性即可得出 详解 解 0 0 312 0 310 1 log20 31 log21 0 20 31 20 1 b a c 故选 c 点睛 熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键 7 已知是过的幂函数 则的解集是 f x 1 1 2 8 8f x a b c d 2 0 2 2 2 答案 a 解析 4 分析 设幂函数为 将代入可得 则不等式为 求解即可 f xx 1 1 2 83 3 8x 详解 由题 设幂函数为 则 所以 即 f xx 11 82 3 3 f xx 因为 所以 即 8f x 3 8x 2x 故选 a 点睛 本题考查幂函数的定义 考查解不等式 属于基础题 8 设是定义在上的奇函数 当时 则 f x r0 x 2 2f xxx 1 f a b c d 3 1 13 答案 a 解析 试题分析 因为当时 所以 又因为 2 2f xxx 是定义在 r 上的奇函数 所以 故应选 a f x 考点 函数奇偶性的性质 9 关于的不等式 解集为 则不等式的解集为 x 2 30 xax 3 1 2 30axx a b c d 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 答案 d 解析 分析 由不等式的解集可得 则解出不等式即可 2a 2 230 xx 详解 由题 是方程的两根 可得 即 3 1xx 2 30 xax 3 1a 2a 所以不等式为 即 2 230 xx 2310 xx 5 所以 3 1 2 x 故选 d 点睛 本题考查解一元二次不等式 考查方程的根与系数的关系 考查运算能力 10 若扇形的圆心角为 2 弧度 半径为 2 扇形的面积是 a b 2c 4d 4 答案 c 解析 分析 利用扇形面积公式求解即可 2 1 2 sr 详解 由题 22 11 2 24 22 sr 故选 c 点睛 本题考查扇形面积公式的应用 属于基础题 11 已知 则 1 sincos 52 sincos a b c d 3 5 7 5 3 5 7 5 答案 d 解析 分析 先对平方可得 进而求得 由 1 sincos 5 24 2sincos 25 249 sincos 25 的范围确定的符号 即可求值 sincos 详解 由题 可得 2 2 22 11 sincossincos2sincos12sincos 525 6 所以 24 2sincos 25 所以 2 22 2449 sincossincos2sincos1 2525 因为 所以 则 2 sin0 cos0 sincos0 所以 7 sincos 5 故选 d 点睛 本题考查利用三角函数的平方关系求值 求值时需注意角的范围 12 已知则的值位于下列哪个区间 3 1 log 3 m m 1 3 1 log 3 n n mn a b c d 1 2 1 1 3 1 1 6 3 1 0 6 答案 b 解析 分析 化简 则可得到为函数与函数的两个交 33 11 loglog 3 n n n m n 1 3 x y 3 logyx 点的横坐标 画出图象 易得到 利用对数性质可得 进而得到 11 0 1 33 nm 11 33 3 mn mn 可行的范围 详解 由题 因为则 1 3 1 log 3 n n 33 11 loglog 3 n n n 因为 3 1 log 3 m m 所以为函数与函数的两个交点的横坐标 如图所示 m n 1 3 x y 3 logyx 7 所以 则 333 111 logloglog 33 mn mmn n 11 33 3 mn mn 显然 即 则 11 0 1 33 nm 11 1 0 33 mn 1 1 3 mn 故选 b 点睛 本题考查指数函数 对数函数的图象的应用 考查数形结合思想 二 填空题二 填空题 13 计算 827 log 81 log 16 答案 16 9 解析 分析 利用换底公式和对数的性质求解即可 详解 由题 3322 827 23 log 164log 2log 814log 316 log 81 log 16 log 8log 27339 故答案为 16 9 点睛 本题考查换底公式 对数的性质的应用 考查运算能力 14 则f f 2 的值为 1 2 3 2e2 log 1 2 x x f x xx 答案 2 解析 分析 8 先求f 2 再根据f 2 值所在区间求f f 2 详解 由题意 f 2 log3 22 1 1 故f f 2 f 1 2 e1 1 2 故答案为 2 点睛 本题考查分段函数求值 考查对应性以及基本求解能力 15 函数的递减区间是 2 ln 1 f xx 答案 1 解析 分析 先求定义域为 再根据复合函数 同增异减 求出递减区间 11 u 详解 由题 则或 即的定义域为 2 10 x 1x 1x f x 11 u 设 lnyu 2 1ux 易知 单调递增 根据 同增异减 要求的递减区间 即求 lnyu 2 ln 1 f xx 在上的递减区间 2 1ux 11 u 因为在上单调递减 所以的递减区间是 u x 1 2 ln 1 f xx 1 故答案为 1 点睛 本题考查复合函数单调区间问题 解题时需注意函数的定义域 16 若 则的范围是 1 ln1 1 xx x f xee x 12f afa a 答案 1 0 2 解析 分析 先求出定义域为 设 可得是奇函数 再将不等式 f x 1 1 1g xf x g x 转化为 即 12f afa 111faf a 1gag aga 可判断单调递增 进而求得的范围 g x a 9 详解 由题 的定义域为 f x 1 1 设 则 1 1ln 1 xx x g xf xee x 0gxg x 所以是奇函数 g x 因为 则 所以 12f afa 111faf a 111faf a 即 1gag aga 因为单调递增 单调递增 所以单调递增 xx yee 1 ln 1 x y x g x 则 即 11 1 11 1 a a aa 1 0 2 a 故答案为 1 0 2 点睛 本题考查奇偶性的应用 考查利用单调性解不等式 解题时需注意定义域 三 解答题三 解答题 17 计算 1 5 7 log4 0 4 3 log27lg255lg4 2 2 8257 sincos tancos 3 364 答案 1 2 2 0 解析 分析 1 利用对数的运算性质求解即可 2 利用诱导公式化简求值即可 详解 解 1 5 7 log4 0 4 3 log27lg255lg4 2 3 4 3 7 log 32lg52lg2 1 4 10 37 2 lg5lg21 44 37 212 44 2 8257 sincos tancos 3 364 2 sin2cos4tan2cos2 364 233 sincostancos110 36422 点睛 本题考查对数运算性质的应用 考查诱导公式的应用 考查特殊角的三角函数值 考 查运算能力 18 已知函数的图像由向右平移一个单位 再向下平移一个单位得到 g x 2 f xx 1 求的解析式 并求函数的最小值 g x 2g xy 2 解方程 lg lg 2 3 g xf x 答案 1 2 min 1 2 2 g xxx y 2 3x 解析 分析 1 根据图象平移变换可得 则 可判断在 2 2g xxx 2 2 22 g xxx y 2 2 2x x y 上单调递减 在上单调递增 进而求得最小值 1 1 2 由方程可得 求解即可 0 230 23 g x f x g xf x 详解 1 根据平移变换可得 2 2 112g xxxx 则 2 2 22 g xxx y 设 显然在上单调递增 在上单调递减 在 2uy ug x 2uy r ug x 1 11 上单调递增 1 即在上单调递减 在上单调递增 2 2 2x x y 1 1 则当时 1x 2 12 1 min 1 2 2 y 2 由题 因为 lg lg 2 3 g xf x 所以 即 所以 0 230 23 g x f x g xf x 20 66 22 13 xx xx x 或 或 或 3x 点睛 本题考查函数的图象变换 考查复合函数求最值 考查对数的性质 考查解方程 解 题时需注意对数函数的定义域 这是本题的易错点 19 已知函数 1 01 x f xaaa 且 1 解不等式 0f x 2 当时 函数在上的最大值是 3 求的值 1a 2 log g xf x 1 2 x a 答案 1 时 时 01a 0 x 1a 0 x 2 3 解析 分析 1 由题解不等式 分别讨论和 利用单调性求解即可 10 x a 01a 1a 2 先判断可得在上单调递增 则 求解即可 g x 1 2 max 23g xg 详解 解 1 由题 即 10 x a 0 1 x aa 当时 单调递减 则 01a x ya 0 x 当时 单调递增 则 1a x ya 0 x 2 由题 因为 所以单调递增 1a f x 因为 所以 即 2 log g xf x 0f x 0 x 12 因为单调递增 2 logyx 所以在上单调递增 g x 1 2 则 即 所以 max 23g xg 2 2 log13a 3a 点睛 本题考查解指数不等式 考查利用复合函数单调性求最值 考查分类讨论思想 20 已知函数 sin 3 cos 2 3 sin cos 2 xx f x xx 1 化简函数 f x 2 若 求的值 2f x 2 sin2sin cosxxx 答案 1 tanf xx 2 0 解析 分析 1 利用诱导公式化简即可 2 由 1 得 对除以 利用分式齐次式求 tan2x 2 sin2sin cosxxx 22 sincosxx 解即可 详解 解 1 sin 3 cos 2 sincos tan 3 coscos sin cos 2 xxxx f xx xx xx 2 由 1 tan2x 则 222 2 2222 sin2sin costan2tan22 2 sin2sin cos0 sincostan121 xxxxx xxx xxx 点睛 本题考查诱导公式的应用 考查三角函数分式齐次式问题 考查运算能力 21 一古寺有一池储满了水 现一小和尚每日 按照池中所剩水一定的百分率打走一些水 且每次打水的百分率一样 10 日过去 池中水恰为满池水的一半 1 求此百分率 保留指数形式 2 若某日小和尚打完水 池中水为满池水的倍 小和尚已打水几日 2 2 13 3 若某日小和尚打完水 池中水为满池水的倍 若古寺要求池中水不少于满池水的 2 2 则小和尚还能再打几日水 1 4 答案 1 1 10 1 1 2 2 5 3 15 解析 分析 1 设池中满水时为 设百分比为 由题意可得 解出即可 a 01 xx 10 1 1 2 axa x 2 设经过日还剩为原来的 可得 由 1 将代入 m 2 2 2 1 2 m axa 1 10 1 1 2 x 求解即可 3 设还能再打日由题意可得 将代入求解即可 n 21 1 24 n axa 1 10 1 1 2 x 详解 设池中满水时为 a 1 设百分比为 则有 01 xx 即 所以 10 1 1 2 axa 10 1 1 2 x 1 10 1 1 2 x 2 设经过日还剩为原来的 则 m 2 2 即 所以 解得 2 1 2 m axa 1 102 11 22 m 1 102 m 5m 3 设还能再打日 则 即 n 21 1 24 n axa 2 1 4 n x 14 所以 即 解得 3 102 11 22 n 3 102 n 15n 故小和尚还能再打 15 日 点睛 本题考查指数型函数的实际应用 考查运算能力 22 已知函数 对称轴为 且 2 2g xxbxa 1x 2 1g 1 求的值 ab 2 求函数在上的最值 g x 0 3 3 若函数 且方程有三个解 求的取值 g x f x x 2 21 30 21 x x k fk k 范围 答案 1 1 1ab 2 min0f x max 4f x 3 0k 解