（江苏版）2020年中考数学热点专题冲刺6 图形折叠问题

热点专题热点专题 6 6 图形折叠问题图形折叠问题 图形折叠问题 是一个非常好的题型 历年来深受中考数学出题者的青睐 近年来很 多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究 在所有折叠图形的题目中 最受欢迎的还是矩形的折叠 因为这种图形的性质特别好 便于折叠 折叠时也产生了很 多很好的性质 所以也便于出题人寻找出题的点 因此矩形折叠的题目最多 考的也最 多 还有对正方形的折叠 菱形 平行四边形 三角形等 甚至现在连圆形也开始折 叠 产生了很多不错的题目 图形折叠问题只所以这么受追捧 是因为这些图形在折叠过程中 会产生很不错的性 质 值得研究 出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度 动手能力 采用运动变化的观点分析和解决问题的能力 鉴于此 我们有理由相信今后的 中考数学试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题 掌握轴对称图形的性质 学会在运动变化中寻求不变的图形性质 中考 要求 培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题 考向考向 1 矩形的折叠矩形的折叠 1 2019 江苏省连云港市 如图 在矩形abcd中 ad 2ab 将矩形abcd对折 得到 折痕mn 沿着cm折叠 点d的对应点为e me与bc的交点为f 再沿着mp折叠 使得 am与em重合 折痕为mp 此时点b的对应点为g 下列结论 cmp是直角三角形 点c e g不在同一条直线上 pc mp bp ab 点f是 cmp外接圆的圆心 其中正确的个数为 a 2 个b 3 个c 4 个d 5 个 解析 沿着cm折叠 点d的对应点为e dmc emc 再沿着mp折叠 使得am与em重合 折痕为mp amp emp amd 180 pme cme 180 90 cmp是直角三角形 故 正确 沿着cm折叠 点d的对应点为e d mec 90 再沿着mp折叠 使得am与em重合 折痕为mp meg a 90 gec 180 点c e g在同一条直线上 故 错误 ad 2ab 设ab x 则ad 2x 将矩形abcd对折 得到折痕mn dm ad x cm x pmc 90 mn pc cm2 cn cp cp x pn cp cn x pm x pc mp 故 错误 pc x pb 2x x x pb ab 故 cd ce eg ab ab cd ce eg cem g 90 fe pg cf pf pmc 90 cf pf mf 点f是 cmp外接圆的圆心 故 正确 故选 b 2 2019 江苏省淮安市 如图 在矩形abcd中 ab 3 bc 2 h是ab的中点 将 cbh 沿ch折叠 点b落在矩形内点p处 连接ap 则 tan hap 解析 如图 连接pb 交ch于e 由折叠可得 ch垂直平分bp bh ph 又 h为ab的中点 ah bh ah ph bh hap hpa hbp hpb 又 hap hpa hbp hpb 180 apb 90 apb heb 90 ap he bap bhe 又 rt bch中 tan bhc tan hap 故答案为 3 2019 江苏省扬州市 将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形 若 abc 26 则 acd 解析 延长dc 由题意可得 abc bce bca 26 则 acd 180 26 26 128 故答案为 128 4 2019 江苏省盐城市 如图 是一张矩形纸片 按以下步骤进行操作 将矩形纸片沿df折叠 使点a落在cd边上点e处 如图 在第一次折叠的基础上 过点c再次折叠 使得点b落在边cd上点b 处 如图 两次折痕交于点o 展开纸片 分别连接ob oe oc fd 如图 探究 1 证明 obc oed 2 若ab 8 设bc为x ob2为y 求y关于x的关系式 解析 1 证明 由折叠可知 ad ed bco dco ado cdo 45 bc de cod 90 oc od 在 obc oed中 obc oed sas 2 过点o作oh cd于点h 由 1 obc oed oe ob bc x 则ad de x ce 8 x oc od cod 90 ch cd ab 4 oh cd 4 eh ch ce 4 8 x x 4 在 rt ohe中 由勾股定理得 oe2 oh2 eh2 即ob2 42 x 4 2 y关于x的关系式 y x2 8x 32 考向考向 2 平行四边形的折叠平行四边形的折叠 1 2019 江苏省常州市 如图 把平行四边形纸片abcd沿bd折叠 点c落在点c 处 bc 与ad相交于点e 1 连接ac 则ac 与bd的位置关系是 2 eb与ed相等吗 证明你的结论 解析 1 连接ac 则ac 与bd的位置关系是ac bd 故答案为 ac bd 2 eb与ed相等 由折叠可得 cbd c bd ad bc adb cbd edb ebd be de 2 2019 江苏省徐州市 如图 将平行四边形纸片沿一条直线折叠 使点与点abcda 重合 点落在点处 折痕为 求证 cdgef 1 ecbfcg 2 ebcfgc 解析 证明 1 四边形是平行四边形 abcd abcd 由折叠可得 aecg bcdecg bcdecfecgecf ecbfcg 2 四边形是平行四边形 abcd db adbc 由折叠可得 dg adcg bg bccg 又 ecbfcg ebcfgc asa 考向考向 3 正方形的折叠正方形的折叠 1 2019 江苏省连云港市 问题情境 如图 1 在正方形abcd中 e为边bc上一点 不与 点b c重合 垂直于ae的一条直线mn分别交ab ae cd于点m p n 判断线段 dn mb ec之间的数量关系 并说明理由 问题探究 在 问题情境 的基础上 1 如图 2 若垂足p恰好为ae的中点 连接bd 交mn于点q 连接eq 并延长交边 ad于点f 求 aef的度数 2 如图 3 当垂足p在正方形abcd的对角线bd上时 连接an 将 apn沿着an翻折 点p落在点p 处 若正方形abcd的边长为 4 ad的中点为s 求p s的最小值 问题拓展 如图 4 在边长为 4 的正方形abcd中 点m n分别为边ab cd上的点 将正 方形abcd沿着mn翻折 使得bc的对应边b c 恰好经过点a c n交ad于点f 分别过点 a f作ag mn fh mn 垂足分别为g h 若ag 请直接写出fh的长 解析 线段dn mb ec之间的数量关系为 dn mb ec 理由如下 四边形abcd是正方形 abe bcd 90 ab bc cd ab cd 过点b作bf mn分别交ae cd于点g f 如图 1 所示 四边形mbfn为平行四边形 nf mb bf ae bge 90 cbf aeb 90 bae aeb 90 cbf bae 在 abe和 bcf中 abe bcf asa be cf dn nf cf be ec dn mb ec 问题探究 解 1 连接aq 过点q作hi ab 分别交ad bc于点h i 如图 2 所示 四边形abcd是正方形 四边形abih为矩形 hi ad hi bc hi ab ad bd是正方形abcd的对角线 bda 45 dhq是等腰直角三角形 hd hq ah qi mn是ae的垂直平分线 aq qe 在 rt ahq和 rt qie中 rt ahq rt qie hl aqh qei aqh eqi 90 aqe 90 aqe是等腰直角三角形 eaq aeq 45 即 aef 45 2 连接ac交bd于点o 如图 3 所示 则 apn的直角顶点p在ob上运动 设点p与点b重合时 则点p 与点d重合 设点p与点o重合时 则点p 的落点为 o ao od aod 90 oda ado 45 当点p在线段bo上运动时 过点p作pg cd于点g 过点p 作p h cd交cd延长线于 点h 连接pc 点p在bd上 ap pc 在 apb和 cpb中 apb cpb sss bap bcp bcd mpa 90 pcn amp ab cd amp pnc pcn pnc pc pn ap pn pna 45 pnp 90 p nh png 90 p nh np h 90 png npg 90 npg p nh png np h 由翻折性质得 pn p n 在 pgn和 nhp 中 pgn nhp asa pg nh gn p h bd是正方形abcd的对角线 pdg 45 易得pg gd gn dh dh p h p dh 45 故 p da 45 点p 在线段do 上运动 过点s作sk do 垂足为k 点s为ad的中点 ds 2 则p s的最小值为 问题拓展 解 延长ag交bc于e 交dc的延长线于q 延长fh交cd于p 如图 4 则eg ag ph fh ae 5 在 rt abe中 be 3 ce bc be 1 b ecq 90 aeb qec abe qce 3 qe ae aq ae qe ag mn agm 90 b mag eab agm abe 即 解得 am 由折叠的性质得 ab eb 3 b b 90 c bcd 90 b m ac 1 bad 90 b am c fa afc mab 解得 af df 4 ag mn fh mn ag fh aq fp dfp daq 即 解得 fp fh fp 考向考向 4 三角形的折叠三角形的折叠 2019 江苏省扬州市 如图 已知等边 abc的边长为 8 点p是ab边上的一个动点 与点 a b不重合 直线 1 是经过点p的一条直线 把 abc沿直线 1 折叠 点b的对应点是点 b 1 如图 1 当pb 4 时 若点b 恰好在ac边上 则ab 的长度为 2 如图 2 当pb 5 时 若直线 1 ac 则bb 的长度为 3 如图 3 点p在ab边上运动过程中 若直线 1 始终垂直于ac acb 的面积是否变 化 若变化 说明理由 若不变化 求出面积 4 当pb 6 时 在直线 1 变化过程中 求 acb 面积的最大值 解析 1 如图 1 中 abc是等边三角形 a 60 ab bc ac 8 pb 4 pb pb pa 4 a 60 apb 是等边三角形 ab ap 4 故答案为 4 2 如图 2 中 设直线l交bc于点e 连接bb 交pe于o pe ac bpe a 60 bep c 60 p