（江苏版）2020年中考数学热点专题冲刺8 动态几何问题

热点专题热点专题 8 8 动点几何问题动点几何问题 动态几何问题 是近年来的热点问题 它几乎成了每个城市中考试卷中的亮点 拿到 一套试卷 总是习惯先看看有没有关于动态几何的问题 动态几何问题也就是关于图形运 动的一类问题 它主要是牵扯到图形的三种变换 平移 旋转 轴对称及动点问题 当然 考查图形的运动问题有小题 也有大题 小题主要分布在选择和填空的最后一两个题 也 就是小压轴题 解答题中也会有关于图形的运动问题 主要有两类 一类是关于平移 旋 转 轴对称的作图 这个比较简单 我们这里就不说了 另一类就是我们介绍的重点 研究图形在运动过程中产生的一些图形性质上的变化和不变的情况 这几乎成了压轴题基 本上共同的特点 课程标准和中考说明都要求学生要具备一定的用运动观点分析问题的能 力 学会在运动变化中寻求不变的图形性质 中考 要求 学会运用函数的观点研究关于图形运动中性质的变化情况 考向考向 1 图形的运动与最值图形的运动与最值 1 2019 江苏省连云港市 如图 在矩形abcd中 ab 4 ad 3 以点c为圆心作 c与 直线bd相切 点p是 c上一个动点 连接ap交bd于点t 则的最大值是 解析 如图 过点p作pe bd交ab的延长线于e aep abd ape atb ab 4 ae ab be 4 be be最大时 最大 四边形abcd是矩形 bc ad 3 cd ab 4 过点c作ch bd于h 交pe于m 并延长交ab于g bd是 c的切线 gme 90 在 rt bcd中 bd 5 bhc bcd 90 cbh dbc bhc bcd bh ch bhg bad 90 gbh dba bhg bad hg bg 在 rt gme中 gm eg sin aep eg eg 而be ge bg ge ge最大时 be最大 gm最大时 be最大 gm hg hm hm 即 hm最大时 be最大 延长mc交 c于p 此时 hm最大 hp 2ch gp hp hg 过点p 作p f bd交ab的延长线于f be最大时 点e落在点f处 即 be最大 bf 在 rt gp f中 fg bf fg bg 8 最大值为 1 3 故答案为 3 2 2019 江苏省无锡市 如图 在中 为边上一abc 5abac 4 5bc dab 动点点除外 以为一边作正方形 连接 则面积的最大值为 bcdcdefbebde 解析 过d作dg bc于g 过a作an bc于n 过e作eh hg于h 延长ed交bc于 m 易证 ehd dgc 可设dg he x ab ac 5 bc an bc 4 5 bn bc 2 an 1 2 5 22 5abbn g bc an bc dg an 2 bgbn dgan bg 2x cg hd 4 2x 5 易证 hed gmd 于是 即mg hehd gmgd 4 52xx gmx 2 4 52 x x 所以s bde bm hd 2x 4 2x 1 2 1 2 2 4 52 x x 5 2 5 4 5 2 xx 2 54 5 8 25 x 当x 时 s bde的最大值为 8 因此本题答案为 8 4 5 5 3 2019 江苏省宿迁市 如图 man 60 若 abc的顶点b在射线am上 且ab 2 点c在射线an上运动 当 abc是锐角三角形时 bc的取值范围是 解析 如图 过点b作bc1 an 垂足为c1 bc2 am 交an于点c2 在 rt abc1中 ab 2 a 60 abc1 30 ac1 ab 1 由勾股定理得 bc1 在 rt abc2中 ab 2 a 60 ac2b 30 ac2 4 由勾股定理得 bc2 2 当 abc是锐角三角形时 点c在c1c2上移动 此时 bc 2 故答案为 bc 2 4 2019 江苏省宿迁市 如图 正方形abcd的边长为 4 e为bc上一点 且be 1 f为 ab边上的一个动点 连接ef 以ef为边向右侧作等边 efg 连接cg 则cg的最小值为 解析 由题意可知 点f是主动点 点g是从动点 点f在线段上运动 点g也一定在 直线轨迹上运动 将 efb绕点e旋转 60 使ef与eg重合 得到 efb ehg 从而可知 ebh为等边三角形 点g在垂直于he的直线hn上 作cm hn 则cm即为cg的最小值 作ep cm 可知四边形hepm为矩形 则cm mp cp he ec 1 故答案为 5 2019 江苏省扬州市 如图 已知等边 abc的边长为 8 点p是ab边上的一个动点 与点a b不重合 直线 1 是经过点p的一条直线 把 abc沿直线 1 折叠 点b的对 应点是点b 1 如图 1 当pb 4 时 若点b 恰好在ac边上 则ab 的长度为 2 如图 2 当pb 5 时 若直线 1 ac 则bb 的长度为 3 如图 3 点p在ab边上运动过程中 若直线 1 始终垂直于ac acb 的面积是否变 化 若变化 说明理由 若不变化 求出面积 4 当pb 6 时 在直线 1 变化过程中 求 acb 面积的最大值 解析 1 如图 1 中 abc是等边三角形 a 60 ab bc ac 8 pb 4 pb pb pa 4 a 60 apb 是等边三角形 ab ap 4 故答案为 4 2 如图 2 中 设直线l交bc于点e 连接bb 交pe于o pe ac bpe a 60 bep c 60 peb是等边三角形 pb 5 b b 关于pe对称 bb pe bb 2ob ob pb sin60 bb 5 故答案为 5 3 如图 3 中 结论 面积不变 b b 关于直线l对称 bb 直线l 直线l ac ac bb s acb s acb 82 16 4 如图 4 中 当b p ac时 acb 的面积最大 设直线pb 交ac于e 在 rt ape中 pa 2 pae 60 pe pa sin60 b e 6 s acb 的最大值 8 6 4 24 6 2019 江苏省苏州市 已知矩形abcd中 ab 5cm 点p为对角线ac上的一点 且 ap 如图 动点m从点a出发 在矩形边上沿着的方向匀速运动2 5cmabc 不包含点c 设动点m的运动时间为t s 的面积为s cm s与t的函数apm 关系如图 所示 1 直接写出动点m的运动速度为 bc的长度为 cm scm 2 如图 动点m重新从点a出发 在矩形边上 按原来的速度和方向匀速运动 同时 另一个动点n从点d出发 在矩形边上沿着的方向匀速运动 设动点n的运动dcb 速度为 已知两动点m n经过时间在线段bc上相遇 不包含点c 动点 v cm s x s m n相遇后立即停止运动 记此时的面积为 apmdpn 与 22 12 scmscm 求动点n运动速度的取值范围 v cm s 试探究是否存在最大值 若存在 求出的最大值并确定运动速度时间的值 12 ss 12 ss x 若不存在 请说明理由 图 图图 p b cd a m s cm t s 图 o 2 57 5 解析 1 2 10 cm scm 2 解 在边bc上相遇 且不包含c点 5 7 5 15 2 5 c v b v 在点 在点 2 6 3 cm svcm s 如右图 12 padcdmabm nabcd ssssss n 矩形 5152525 7510 22 xx 15 过m点做mh ac 则 1152 25 x mhcm 10 5 15 2x 2x 5 h p b cd a m n 1 1 215 2 smh apx 2 2sx 12 2152ssxx 2 430 xx 2 15225 4 44 x 因为 所以当时 取最大值 15 2 57 5 4 15 4 x 12 ss 225 4 7 2019 江苏省扬州市 如图 四边形abcd是矩形 ab 20 bc 10 以cd为一边向矩 形外部作等腰直角 gdc g 90 点m在线段ab上 且am a 点p沿折线ad dg 运动 点q沿折线bc cg运动 与点g不重合 在运动过程中始终保持线段pq ab 设 pq与ab之间的距离为x 1 若a 12 如图 1 当点p在线段ad上时 若四边形amqp的面积为 48 则x的值为 在运动过程中 求四边形amqp的最大面积 2 如图 2 若点p在线段dg上时 要使四边形amqp的面积始终不小于 50 求a的取值 范围 解析 p在线段ad上 pq ab 20 ap x am 12 四边形amqp的面积 12 20 x 48 解得 x 3 故答案为 3 当p 在ad上运动时 p到d点时四边形amqp面积最大 为直角梯形 0 x 10 时 四边形amqp面积的最大值 12 20 10 160 当p在dg上运动 10 x 20 四边形amqp为不规则梯形 作ph ab于m 交cd于n 作ge cd于e 交ab于f 如图 2 所示 则pm x pn x 10 ef bc 10 gdc是等腰直角三角形 de ce ge cd 10 gf ge ef 20 gh 20 x 由题意得 pq cd gpq gdc 即 解得 pq 40 2x 梯形amqp的面积 12 40 2x x x2 26x x 13 2 169 当x 13 时 四边形amqp的面积最大 169 2 解 p在dg上 则 10 x 20 am a pq 40 2x 梯形amqp的面积s a 40 2x x x2 x 对称轴为 x 10 0 x 20 10 10 15 对称轴在 10 和 15 之间 10 x 20 二次函数图象开口向下 当x 20 时 s最小 202 20 50 a 5 综上所述 a的取值范围为 5 a 20 考向考向 2 动点与函数的结合问题动点与函数的结合问题 1 2019 江苏省连云港市 如图 在平面直角坐标系xoy中 抛物线l1 y x2 bx c过 点c 0 3 与抛物线l2 y x2 x 2 的一个交点为a 且点a的横坐标为 2 点p q分别是抛物线l1 l2上的动点 1 求抛物线l1对应的函数表达式 2 若以点a c p q为顶点的四边形恰为平行四边形 求出点p的坐标 3 设点r为抛物线l1上另一个动点 且ca平分 pcr 若oq pr 求出点q的坐标 解析 1 将x 2 代入y x2 x 2 得y 3 故点a的坐标为 2 3 将a 2 1 c 0 3 代入y x2 bx c 得 解得 抛物线l1 y x2 2x 3 2 设点p的坐标为 x x2 2x 3 第一种情况 ac为平行四边形的一条边 当点q在点p右侧时 则点q的坐标为 x 2 2x 3 将q x 2 2x 3 代入y x2 x 2 得 2x 3 x 2 2 x 2 2 解得 x 0 或x 1 因为x 0 时 点p与c重合 不符合题意 所以舍去 此时点p的坐标为 1 0 当点q在点p左侧时 则点q的坐标为 x 2 x2 2x 3 将q x 2 x2 2x 3 代入y x2 x 2 得 y x2 x 2 得 x2 2x 3 x 2 2 x 2 2 解得 x 3 或x 此时点p的坐标为 3 0 或 第二种情况 当ac为平行四边形的一条对角线时 由ac的中点坐标为 1 3 得pq的中点坐标为 1 3 故点q的坐标为 2 x x2 2x 3 将q 2 x x2 2x 3 代入y x2 x 2 得 x2 2x 3 2 x 2 2 x 2 解得 x 0 或x 3 因为x 0 时 点p与点c重合 不符合题意 所以舍去 此时点p的坐标为 3 12 综上所述 点p的坐标为 1 0 或 3 0 或 或 3 12 3 当点p在y轴左侧时 抛物线l1不存在点r使得ca平分 pcr 当点p在y轴右侧时 不妨设点p在ca的上方 点r在ca的下方 过点p r分别作y轴的垂线 垂足分别为s t 过点p作ph tr于点h 则有 psc rtc 90 由ca平分 pcr 得 pca rca 则 pcs rct psc rtc 设点p坐标为 x1 点r坐标为 x2 所以有 整理得 x1 x2 4 在 rt prh中 tan prh 过点q作qk x轴于点k 设点q坐标为 m 若oq pr 则需 qok prh 所以 tan qok tan prh 2 所以 2m 解得 m 所以点q坐标为 7 或 7 2 2019 江苏省常州市 已知平面图形s 点p q是s上任意两点 我们把线段pq的长 度的最大值称为平面图形s的 宽距 例如 正方形的宽距等于它的对角线的长度 1 写出下列图形的宽距 半径为 1 的圆 如图 1 上方是半径为 1 的半圆 下方是正方形的三条边的 窗户形 2 如图 2 在平面直角坐标系中 已知点a 1 0 b 1 0 c是坐标平面内的点 连接ab bc ca所形成的图形为s 记s的宽距为d 若d 2 用直尺和圆规画出点c所在的区域并求它的面积 所在区域用阴影表示 若点c在 m上运动 m的半径为 1 圆心m在过点 0 2 且与y轴垂直的直线 上 对于 m上任意点c 都有 5 d 8 直接写出圆心m的横坐标x的取值范围 解析 1 半径为 1 的圆的宽距离为 1 故答案为 1 如图 1 正方形abcd的边长为 2 设半圆的圆心为o 点p是 o上一点 连接 op pc oc 在 rt odc中 oc op oc pc pc 1 这个 窗户形 的宽距为 1 故答案为 1 2 如图 2 1 中 点c所在的区域是图中正方形aebf 面积为 2 如图 2 2 中 当点m在y轴的右侧时 连接am 作mt x轴于t ac am cm 又 5 d 8 当d 5 时 am 4 at 2 此时m 2 1 2 当d 8 时 am 7 at 2 此时m 2 1 2 满足条件的点m的横坐标的范围为 2 1 x 2 1 当点m在y轴的左侧时 满足条件的点m的横坐标的范围为 2 1 x 2 1 考向考向 3 运动过程中的定值问题运动过程中的定值问题 1 2019 江苏省宿迁市 如图 在钝角 abc中 abc 30 ac 4 点d为边ab中 点 点e为边bc中点 将 bde绕点b逆时针方向旋转 度 0 180 1 如图 当 0 180 时 连接ad ce 求证 bda bec 2 如图 直线ce ad交于点g 在旋转过程中 agc的大小是否发生变化 如变化 请说明理由 如不变 请求出这个角的度数 3 将 bde从图 位置绕点b逆时针方向旋转 180 求点g的运动路程 解析 1 如图 中 由图 点d为边ab中点 点e为边bc中点 de ac dbe abc dba ebc dba ebc 2 agc的大小不发生变化 agc 30 理由 如图 中 设ab交cg于点o dba ebc dab ecb dab aog g 180 ecb cob abc 180 aog cob g abc 30 3 如图 1 中 设ab的中点为k 连接dk 以ac为边向右作等边 aco 连接 og ob 以o为圆心 oa为半径作 o agc 30 aoc 60 agc aoc 点g在 o上运动 以b为圆心 bd为半径作 b 当直线与 b相切时 bd ad adb 90 bk ak dk bk ak bd bk bd dk bk bdk是等边三角形 dbk 60 dab 30 dog 2 dab 60 的长 观察图象可知 点g的运动路程是的长的两倍 2 2019 江苏省无锡市 如图 1 在矩形中 动点从出发 以每秒 1abcd3bc pb 个单位的速度 沿射线方向移动 作关于直线的对称 设点的运动bcpab papab p 时间为 t s 1 若 2 3ab 如图 2 当点落在上时 显然是直角三角形 求此时 的值 b acpab t 是否存在异于图 2 的时刻 使得是直角三角形 若存在 请直接写出所有符合题pcb 意的 的值 若不存在 请说明理由 t 2